Реальное число

Число, представляющее собой непрерывную величину

В математике вещественное число — это число , которое можно использовать для измерения непрерывной одномерной величины, такой как расстояние , длительность или температура . Здесь непрерывность означает, что пары значений могут иметь произвольно малые различия. ^[a] Каждое вещественное число может быть почти однозначно представлено бесконечным десятичным расширением . ^{[b] [1]}

Действительные числа являются основополагающими в исчислении (и, в более общем смысле, во всей математике), в частности, благодаря их роли в классических определениях пределов , непрерывности и производных . ^[c]

Множество действительных чисел, иногда называемых «действительными», традиционно обозначается жирным шрифтом R , часто с использованием шрифта blackboard bold , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . ^{[2] [3]} Прилагательное «действительный» , использовавшееся в 17 веке Рене Декартом , отличает действительные числа от мнимых чисел, таких как квадратные корни из −1 . ^[4]

Действительные числа включают рациональные числа , такие как целое число −5 и дробь 4 / 3. Остальные действительные числа называются иррациональными числами . Некоторые иррациональные числа (а также все рациональные числа) являются корнями многочлена с целыми коэффициентами, такими как квадратный корень √2 = 1,414... ; они называются алгебраическими числами . Существуют также действительные числа, которые не являются таковыми, такие как π = 3,1415... ; они называются трансцендентными числами . ^[4]

Действительные числа можно рассматривать как все точки на прямой, называемой числовой прямой или действительной прямой , где точки, соответствующие целым числам ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ), расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Действительные числа можно рассматривать как все точки на числовой прямой.

Напротив, аналитическая геометрия — это сопоставление точек на линиях (особенно осевых линиях ) с действительными числами таким образом, что геометрические смещения пропорциональны разнице между соответствующими числами.

Неформальные описания действительных чисел, приведенные выше, недостаточны для обеспечения корректности доказательств теорем, включающих действительные числа. Осознание того, что необходимо лучшее определение, и разработка такого определения были важным достижением математики 19-го века и являются основой действительного анализа , изучения действительных функций и действительных последовательностей . Современное аксиоматическое определение состоит в том, что действительные числа образуют единственное ( с точностью до изоморфизма ) дедекиндово-полное упорядоченное поле . ^[d] Другие общие определения действительных чисел включают классы эквивалентности последовательностей Коши (рациональных чисел), сечения Дедекинда и бесконечные десятичные представления . Все эти определения удовлетворяют аксиоматическому определению и, таким образом , эквивалентны.

Характеризующие свойства

Действительные числа полностью характеризуются своими фундаментальными свойствами, которые можно суммировать, сказав, что они образуют упорядоченное поле , которое является полным по Дедекинду . Здесь «полностью характеризуются» означает, что существует уникальный изоморфизм между любыми двумя полными по Дедекинду упорядоченными полями, и, таким образом, их элементы имеют точно такие же свойства. Это подразумевает, что можно манипулировать действительными числами и производить с ними вычисления, не зная, как их можно определить; именно это делали математики и физики в течение нескольких столетий, прежде чем были предоставлены первые формальные определения во второй половине 19-го века. См. Построение действительных чисел для получения подробной информации об этих формальных определениях и доказательстве их эквивалентности.

Арифметика

Действительные числа образуют упорядоченное поле . Интуитивно это означает, что к ним применяются методы и правила элементарной арифметики . Точнее, существуют две бинарные операции , сложение и умножение , и общий порядок , которые обладают следующими свойствами.

• Сложение двух действительных чисел a и b дает действительное число, обозначаемое как сумма a и b . ${\displaystyle a+b,}$
• Умножение двух действительных чисел a и b дает действительное число, обозначаемое или , которое является произведением a и b . ${\displaystyle ab,}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle a\times b,}$
• Сложение и умножение являются коммутативными , что означает, что и для любых действительных чисел a и b . ${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle ab=ba}$
• Сложение и умножение являются ассоциативными , что означает, что и для любых действительных чисел a , b и c , и что скобки можно опустить в обоих случаях. ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$
• Умножение является дистрибутивным относительно сложения, что означает, что для каждого действительного числа a , b и c . ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$
• Существует действительное число, называемое нулем и обозначаемое 0 , которое является аддитивным тождеством , что означает, что для каждого действительного числа a . ${\displaystyle a+0=a}$
• Существует действительное число, обозначаемое 1 , которое является мультипликативным тождеством , что означает, что для каждого действительного числа a . ${\displaystyle a\times 1=a}$
• Каждое действительное число a имеет аддитивное обратное число, обозначаемое Это означает, что для каждого действительного числа a . ${\displaystyle -a.}$ ${\displaystyle a+(-a)=0}$
• Каждое ненулевое действительное число a имеет мультипликативное обратное, обозначаемое или Это означает, что для каждого ненулевого действительного числа a . ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a}}.}$ ${\displaystyle aa^{-1}=1}$
• Полный порядок обозначается тем, что он является полным порядком, который подразумевает два свойства: если даны два действительных числа a и b , то только одно из них или является истинным; а если и то также имеет место ${\displaystyle a<b.}$ ${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b<a}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b<c,}$ ${\displaystyle a<c.}$
• Порядок совместим со сложением и умножением, что означает, что подразумевает для каждого действительного числа c , и подразумевается посредством и ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a+c<b+c}$ ${\displaystyle 0<ab}$ ${\displaystyle 0<a}$ ${\displaystyle 0<b.}$

Из вышеперечисленных свойств можно вывести и многие другие. В частности:

• ${\displaystyle 0\cdot a=0}$для каждого действительного числа а
• ${\displaystyle 0<1}$
• ${\displaystyle 0<a^{2}}$для каждого ненулевого действительного числа a

Вспомогательные операции

Широко используются и другие операции, которые можно вывести из вышеперечисленных.

• Вычитание : вычитание двух действительных чисел a и b дает сумму a и аддитивного обратного числа − b для b ; то есть, $${\displaystyle a-b=a+(-b).}$$
• Деление : деление действительного числа a на ненулевое действительное число b обозначается или и определяется как умножение a на мультипликативное обратное число b ; то есть, ${\textstyle {\frac {a}{b}},}$ ${\displaystyle a/b}$ $${\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{-1}.}$$
• Абсолютное значение : абсолютное значение действительного числа a , обозначаемое как мера его расстояния от нуля, определяется как ${\displaystyle |a|,}$ $${\displaystyle |a|=\max(a,-a).}$$

Вспомогательные порядковые отношения

Общий порядок , который рассматривается выше, обозначается и читается как " a меньше b " . Также обычно используются три других отношения порядка : ${\displaystyle a<b}$

• Больше чем : читается как « a больше b », определяется как если и только если ${\displaystyle a>b,}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle b<a.}$
• Меньше или равно : читается как « a меньше или равно b » или « a не больше b », определяется как или эквивалентно как ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle (a<b){\text{ or }}(a=b),}$ ${\displaystyle {\text{not }}(b<a).}$
• Больше или равно : читается как « a больше или равно b » или « a не меньше b », определяется как или эквивалентно как ${\displaystyle a\geq b,}$ ${\displaystyle (b<a){\text{ or }}(a=b),}$ ${\displaystyle {\text{not }}(a<b).}$

Целые числа и дроби как действительные числа

Действительные числа 0 и 1 обычно отождествляются с натуральными числами 0 и 1. Это позволяет отождествить любое натуральное число n с суммой n действительных чисел, равной 1 .

Эту идентификацию можно осуществить, отождествив отрицательное целое число (где — натуральное число) с аддитивным обратным числом действительного числа, отождествляемым с Аналогично рациональное число (где p и q — целые числа, а ) отождествляется с делением действительных чисел, отождествляемых с p и q . ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle q\neq 0}$

Эти идентификации делают множество рациональных чисел упорядоченным подполем действительных чисел. Полнота Дедекинда, описанная ниже, подразумевает, что некоторые действительные числа, такие как , не являются рациональными числами; они называются иррациональными числами . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$

Вышеуказанные идентификации имеют смысл, поскольку натуральные числа, целые числа и действительные числа, как правило, определяются не своей индивидуальной природой, а определяющими свойствами ( аксиомами ). Таким образом, отождествление натуральных чисел с некоторыми действительными числами оправдано тем, что аксиомы Пеано удовлетворяются этими действительными числами, причем сложение с 1 принимается в качестве функции-последователя .

Формально, имеется инъективный гомоморфизм упорядоченных моноидов из натуральных чисел в целые числа, инъективный гомоморфизм упорядоченных колец из в рациональные числа и инъективный гомоморфизм упорядоченных полей из в действительные числа. Отождествления состоят в том, чтобы не различать источник и образ каждого инъективного гомоморфизма, и, таким образом, записать ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} .}$

Эти идентификации формально являются злоупотреблениями обозначениями (поскольку формально рациональное число является классом эквивалентности пар целых чисел, а действительное число является классом эквивалентности рядов Коши) и, как правило, безвредны. Только в очень специфических ситуациях следует избегать их и заменять их явным использованием вышеуказанных гомоморфизмов. Так обстоит дело в конструктивной математике и компьютерном программировании . В последнем случае эти гомоморфизмы интерпретируются как преобразования типов , которые часто могут быть выполнены автоматически компилятором .

Дедекиндова полнота

Предыдущие свойства не различают действительные числа от рациональных чисел . Это различие обеспечивается полнотой Дедекинда , которая гласит, что каждый набор действительных чисел с верхней границей допускает наименьшую верхнюю границу . Это означает следующее. Набор действительных чисел ограничен сверху, если существует действительное число такое, что для всех ; такое называется верхней границей Итак , полнота Дедекинда означает, что если S ограничено сверху, то оно имеет верхнюю границу, которая меньше любой другой верхней границы. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle s\leq u}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S.}$

Дедекиндова полнота подразумевает другие виды полноты (см. ниже), но также имеет некоторые важные последствия.

• Свойство Архимеда : для каждого действительного числа x существует целое число n такое, что (возьмем, где — точная верхняя граница целых чисел, меньших x ). ${\displaystyle x<n}$ ${\displaystyle n=u+1,}$ ${\displaystyle u}$
• Эквивалентно, если x — положительное действительное число, то существует положительное целое число n такое, что . ${\displaystyle 0<{\frac {1}{n}}<x}$
• Каждое положительное действительное число x имеет положительный квадратный корень , то есть существует положительное действительное число такое, что ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{2}=x.}$
• Каждый одномерный многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень (если старший коэффициент положительный, берется наименьшая верхняя граница действительных чисел, для которых значение многочлена отрицательно).

Последние два свойства суммируются, говоря, что действительные числа образуют действительное замкнутое поле . Это подразумевает действительную версию фундаментальной теоремы алгебры , а именно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на многочлены с действительными коэффициентами степени не более двух.

Десятичное представление

Наиболее распространенный способ описания действительного числа — через его десятичное представление , последовательность десятичных цифр, каждая из которых представляет собой произведение целого числа от нуля до девяти на степень десяти , простирающуюся до конечного числа положительных степеней десяти влево и до бесконечного числа отрицательных степеней десяти вправо. Для числа x, десятичное представление которого простирается на k позиций влево, стандартная запись — это сопоставление цифр в порядке убывания степени десяти, с неотрицательными и отрицательными степенями десяти, разделенными десятичной точкой , представляющей бесконечный ряд ${\displaystyle b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots ,}$

${\displaystyle x=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots .}$

Например, для окружности константа k равна нулю и т. д. ${\displaystyle \pi =3.14159\cdots ,}$ ${\displaystyle b_{0}=3,}$ ${\displaystyle a_{1}=1,}$ ${\displaystyle a_{2}=4,}$

Более формально, десятичное представление неотрицательного действительного числа x состоит из неотрицательного целого числа k и целых чисел от нуля до девяти в бесконечной последовательности

${\displaystyle b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots .}$

(Если тогда по соглашению ) ${\displaystyle k>0,}$ ${\displaystyle b_{k}\neq 0.}$

Такое десятичное представление определяет действительное число как наименьшую верхнюю границу десятичных дробей , которые получаются путем усечения последовательности: если задано положительное целое число n , то усечение последовательности в позиции n представляет собой конечную частичную сумму

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}10^{-j}\end{aligned}}}$

Действительное число x, определяемое последовательностью, является точной верхней границей , которая существует по полноте по Дедекинду. ${\displaystyle D_{n},}$

Наоборот, если задано неотрицательное действительное число x , можно определить десятичное представление x по индукции следующим образом. Определим как десятичное представление наибольшего целого числа, такого что (это целое число существует из-за свойства Архимеда). Затем, предположив по индукции , что десятичная дробь была определена для одного, определяем как наибольшую цифру, такую ​​что и устанавливаем ${\displaystyle b_{k}\cdots b_{0}}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle D_{0}\leq x}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i<n,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle D_{n-1}+a_{n}/10^{n}\leq a,}$ ${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+a_{n}/10^{n}.}$

Можно использовать определяющие свойства действительных чисел, чтобы показать, что x является точной верхней границей числа x. Таким образом, полученная последовательность цифр называется десятичным представлением числа x . ${\displaystyle D_{n}.}$

Другое десятичное представление можно получить, заменив на в предыдущей конструкции. Эти два представления идентичны, если только x не является десятичной дробью вида В этом случае в первом десятичном представлении все равны нулю , а во втором представлении все равны 9. ( подробнее см. 0,999... ). ${\displaystyle \leq x}$ ${\displaystyle <x}$ ${\textstyle {\frac {m}{10^{h}}}.}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n>h,}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Подводя итог, можно сказать, что существует биекция между действительными числами и десятичными представлениями, которые не заканчиваются бесконечным количеством конечных цифр 9.

Предыдущие соображения применимы непосредственно к любой системе счисления, просто заменив 10 на и 9 на ${\displaystyle B\geq 2,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B-1.}$

Топологическая полнота

Основная причина использования действительных чисел заключается в том, что многие последовательности имеют пределы . Более формально, действительные числа являются полными (в смысле метрических пространств или равномерных пространств , что отличается от полноты по Дедекинду порядка в предыдущем разделе):

Последовательность ( x _n ) действительных чисел называется последовательностью Коши , если для любого ε > 0 существует целое число N (возможно, зависящее от ε) такое, что расстояние | x _n − x _m | меньше ε для всех n и m , которые оба больше N . Это определение, первоначально данное Коши , формализует тот факт, что x _n в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близко друг к другу.

Последовательность ( x _n ) сходится к пределу x , если ее элементы в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими к x , то есть если для любого ε > 0 существует целое число N (возможно, зависящее от ε) такое, что расстояние | x _n − x | меньше ε для n больше N .

Каждая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши, и обратное верно для действительных чисел, и это означает, что топологическое пространство действительных чисел является полным.

Множество рациональных чисел не является полным. Например, последовательность (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...), где каждый член добавляет цифру десятичного разложения положительного квадратного корня из 2, является последовательностью Коши, но она не сходится к рациональному числу (в действительных числах, напротив, она сходится к положительному квадратному корню из 2).

Свойство полноты вещественных чисел является основой, на которой построено исчисление и, в более общем смысле, математический анализ . В частности, проверка того, что последовательность является последовательностью Коши, позволяет доказать, что последовательность имеет предел, не вычисляя его и даже не зная его.

Например, стандартный ряд показательной функции

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

сходится к действительному числу для каждого x , потому что суммы

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

можно сделать произвольно малым (независимо от M ), выбрав N достаточно большим. Это доказывает, что последовательность является последовательностью Коши и, таким образом, сходится, показывая, что она хорошо определена для любого x . ${\displaystyle e^{x}}$

«Полное упорядоченное поле»

Действительные числа часто описываются как «полное упорядоченное поле», фраза, которую можно интерпретировать несколькими способами.

Во-первых, порядок может быть решеточно-полным . Легко видеть, что никакое упорядоченное поле не может быть решеточно-полным, поскольку оно не может иметь наибольшего элемента (для любого элемента z , z + 1 больше).

Кроме того, порядок может быть Дедекиндово-полным, см. § Аксиоматический подход. Результат уникальности в конце этого раздела оправдывает использование слова "the" во фразе "полное упорядоченное поле", когда именно в этом смысле подразумевается "полный". Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из сечений Дедекинда, поскольку это построение начинается с упорядоченного поля (рациональных чисел), а затем стандартным образом формирует его Дедекиндово-заполнение.

Эти два понятия полноты игнорируют структуру поля. Однако упорядоченная группа (в данном случае аддитивная группа поля) определяет равномерную структуру, а равномерные структуры имеют понятие полноты ; описание в § Полнота является особым случаем. (Мы ссылаемся на понятие полноты в равномерных пространствах, а не на связанное и более известное понятие для метрических пространств , поскольку определение метрического пространства опирается на уже имеющуюся характеристику действительных чисел.) Неверно, что является единственным равномерно полным упорядоченным полем, но это единственное равномерно полное архимедово поле , и действительно, часто можно услышать фразу «полное архимедово поле» вместо «полное упорядоченное поле». Каждое равномерно полное архимедово поле также должно быть дедекиндово-полным (и наоборот), оправдывая использование «the» во фразе «полное архимедово поле». Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из последовательностей Коши (построение, полностью выполненное в этой статье), поскольку оно начинается с архимедова поля (рациональных чисел) и образует его единообразное завершение стандартным образом. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Но первоначальное использование фразы «полное архимедово поле» было у Дэвида Гильберта , который подразумевал под ней еще кое-что. Он имел в виду, что действительные числа образуют наибольшее архимедово поле в том смысле, что каждое другое архимедово поле является подполем . Таким образом, является «полным» в том смысле, что к нему нельзя ничего добавить, не сделав его больше архимедовым полем. Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из сюрреалистических чисел , поскольку это построение начинается с надлежащего класса, который содержит каждое упорядоченное поле (сюрреалисты), а затем выбирает из него наибольшее архимедово подполе. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Мощность

Множество всех действительных чисел несчетно в том смысле, что, хотя и множество всех натуральных чисел {1, 2, 3, 4, ...}, и множество всех действительных чисел являются бесконечными множествами , не существует взаимно однозначной функции от действительных чисел к натуральным числам. Мощность множества всех действительных чисел обозначается и называется мощностью континуума . Она строго больше мощности множества всех натуральных чисел (обозначаемого и называемого «алеф-ноль» ) и равна мощности множества мощности множества натуральных чисел. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}.}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Утверждение, что не существует подмножества вещественных чисел с мощностью строго больше и строго меньше, известно как континуум-гипотеза (CH). Она не доказуема и не опровергаема с помощью аксиом теории множеств Цермело–Френкеля, включая аксиому выбора (ZFC) — стандартного фундамента современной математики. Фактически, некоторые модели ZFC удовлетворяют CH, в то время как другие ее нарушают. ^[5] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Другие свойства

Как топологическое пространство, действительные числа являются сепарабельными . Это происходит потому, что множество рациональных чисел, которое является счетным, плотно в действительных числах. Иррациональные числа также плотны в действительных числах, однако они несчетны и имеют ту же мощность, что и действительные числа.

Действительные числа образуют метрическое пространство : расстояние между x и y определяется как абсолютное значение | x − y | . В силу того, что они являются полностью упорядоченным множеством, они также несут топологию порядка ; топология , возникающая из метрики, и топология, возникающая из порядка, идентичны, но дают разные представления для топологии — в топологии порядка как упорядоченные интервалы, в топологии метрики как эпсилон-шары. Конструкция разрезов Дедекинда использует представление топологии порядка, в то время как конструкция последовательностей Коши использует представление топологии метрики. Действительные числа образуют стягиваемое (следовательно, связное и односвязное ), сепарабельное и полное метрическое пространство размерности Хаусдорфа  1. Действительные числа локально компактны , но не компактны . Существуют различные свойства, которые однозначно их определяют; например, все неограниченные, связные и сепарабельные топологии порядка обязательно гомеоморфны действительным числам.

Каждое неотрицательное действительное число имеет квадратный корень в , хотя ни одно отрицательное число не имеет. Это показывает, что порядок на определяется его алгебраической структурой. Кроме того, каждый многочлен нечетной степени допускает по крайней мере один действительный корень: эти два свойства составляют главный пример действительного замкнутого поля . Доказательство этого является первой половиной одного доказательства фундаментальной теоремы алгебры . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Действительные числа имеют каноническую меру , меру Лебега , которая является мерой Хаара на их структуре как топологической группы, нормализованной таким образом, что единичный интервал [0;1] имеет меру 1. Существуют множества действительных чисел, которые не измеримы по Лебегу, например множества Витали .

Аксиома супремума вещественных чисел относится к подмножествам вещественных чисел и, следовательно, является логическим утверждением второго порядка. Невозможно охарактеризовать вещественные числа только с помощью логики первого порядка : теорема Лёвенгейма–Скулема подразумевает, что существует счетное плотное подмножество вещественных чисел, удовлетворяющее точно таким же предложениям в логике первого порядка, как и сами вещественные числа. Множество гипервещественных чисел удовлетворяет тем же предложениям первого порядка, что и . Упорядоченные поля, удовлетворяющие тем же предложениям первого порядка, что и , называются нестандартными моделями . Это то, что заставляет нестандартный анализ работать; доказывая утверждение первого порядка в некоторой нестандартной модели (что может быть проще, чем доказывать его в ), мы знаем, что то же самое утверждение должно быть верным и для . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Поле действительных чисел является полем расширения поля рациональных чисел и, следовательно, может рассматриваться как векторное пространство над . Теория множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора гарантирует существование базиса этого векторного пространства: существует множество B действительных чисел, такое, что каждое действительное число может быть записано единственным образом как конечная линейная комбинация элементов этого множества, используя только рациональные коэффициенты, и такое, что ни один элемент B не является рациональной линейной комбинацией других. Однако эта теорема о существовании является чисто теоретической, поскольку такая база никогда не была явно описана. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теорема о хорошем порядке подразумевает, что действительные числа могут быть хорошо упорядочены, если предполагается аксиома выбора: существует полный порядок на со свойством, что каждое непустое подмножество из имеет наименьший элемент в этом порядке. (Стандартный порядок ≤ действительных чисел не является хорошим порядком, поскольку, например, открытый интервал не содержит наименьшего элемента в этом порядке.) Опять же, существование такого хорошего порядка является чисто теоретическим, поскольку оно не было явно описано. Если V=L предполагается в дополнение к аксиомам ZF, можно показать, что хорошее упорядочение действительных чисел явно определяется формулой. ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Действительное число может быть вычислимым или невычислимым; алгоритмически случайным или нет; арифметически случайным или нет.

История

Действительные числа включают в себя рациональные числа , которые включают в себя целые числа , которые в свою очередь включают в себя натуральные числа. ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} )}$

Простые дроби использовались египтянами около 1000 г. до н. э.; ведические « Шульба-сутры » («Правила хорд») около 600 г. до н. э. включают то, что может быть первым «использованием» иррациональных чисел. Концепция иррациональности была неявно принята ранними индийскими математиками , такими как Манава ( ок. 750–690 до н. э.) , который знал, что квадратные корни некоторых чисел, таких как 2 и 61, не могут быть точно определены. ^[7]

Около 500 г. до н. э. греческие математики во главе с Пифагором также поняли, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом.

Для греческих математиков числами были только натуральные числа . Действительные числа назывались «пропорциями», будучи отношениями двух длин, или, что эквивалентно, являясь мерами длины в терминах другой длины, называемой единичной длиной. Две длины «соизмеримы», если есть единица, в которой они обе измеряются целыми числами, то есть, в современной терминологии, если их отношение является рациональным числом . Евдокс Книдский (ок. 390−340 до н. э.) дал определение равенства двух иррациональных пропорций способом, который похож на сечения Дедекинда (введенные более 2000 лет спустя), за исключением того, что он не использовал никаких арифметических операций, кроме умножения длины на натуральное число (см. Евдокс Книдский ). Это можно рассматривать как первое определение действительных чисел.

Средние века привели к принятию нуля , отрицательных чисел , целых чисел и дробных чисел, сначала индийскими и китайскими математиками , а затем арабскими математиками , которые также были первыми, кто рассматривал иррациональные числа как алгебраические объекты (последнее стало возможным благодаря развитию алгебры). ^[8] Арабские математики объединили понятия « число » и « величина » в более общую идею действительных чисел. ^[9] Египетский математик Абу Камиль Шуджа ибн Аслам ( ок. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в уравнении (часто в форме квадратных корней, кубических корней и корней четвертой степени ). ^[10] В Европе такие числа, несоизмеримые с числовой единицей, назывались иррациональными или сурд («глухими»).

В XVI веке Симон Стевин создал основу современной десятичной системы счисления и настаивал на том, что в этом отношении нет никакой разницы между рациональными и иррациональными числами.

В XVII веке Декарт ввел термин «действительный» для описания корней многочлена , отличая их от «мнимых» чисел.

В XVIII и XIX веках было много работ по иррациональным и трансцендентным числам. Ламберт (1761) дал ошибочное доказательство того, что π не может быть рациональным; Лежандр (1794) завершил доказательство ^[11] и показал, что π не является квадратным корнем рационального числа. ^[12] Лиувилль (1840) показал, что ни e, ^ни e2 не могут быть корнями целочисленного квадратного уравнения , а затем установил существование трансцендентных чисел; Кантор (1873) расширил и значительно упростил это доказательство. ^[13] Эрмит (1873) доказал, что e трансцендентно, а Линдеманн (1882) показал, что π трансцендентно. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885), Гильбертом (1893), Гурвицем [ ^14] и Горданом ^[15] .

Концепция, что между рациональными числами, такими как квадратный корень из 2, существует множество точек, была хорошо известна древним грекам. Существование непрерывной числовой линии считалось самоочевидным, но природа этой непрерывности, в настоящее время называемая полнотой , не была понята. Строгость, разработанная для геометрии, не перешла к концепции чисел до 1800-х годов. ^[16]

Современный анализ

Разработчики исчисления использовали действительные числа и пределы , не определяя их строго. В своем Cours d'Analyse (1821) Коши сделал исчисление строгим, но он использовал действительные числа, не определяя их, и предполагал без доказательства, что каждая последовательность Коши имеет предел и что этот предел является действительным числом.

В 1854 году Бернхард Риман подчеркнул ограничения исчисления в методе рядов Фурье , подчеркнув необходимость строгого определения действительных чисел. ^{[17] : 672}

Начиная с Рихарда Дедекинда в 1858 году, несколько математиков работали над определением действительных чисел, включая Германа Ганкеля , Шарля Мере и Эдуарда Гейне , что привело к публикации в 1872 году двух независимых определений действительных чисел, одного Дедекинда, как сечений Дедекинда , и другого Георга Кантора , как классов эквивалентности последовательностей Коши. ^[18] Несколько проблем остались открытыми из-за этих определений, что способствовало фундаментальному кризису математики . Во-первых, оба определения предполагают, что рациональные числа и, следовательно, натуральные числа строго определены; это было сделано несколько лет спустя с помощью аксиом Пеано . Во-вторых, оба определения включают бесконечные множества (сечения Дедекинда и множества элементов последовательности Коши), и теория множеств Кантора была опубликована несколько лет спустя. В-третьих, эти определения подразумевают квантификацию на бесконечных множествах, а это не может быть формализовано в классической логике предикатов первого порядка . Это одна из причин, по которой в первой половине 20-го века были разработаны логики более высокого порядка .

В 1874 году Кантор показал, что множество всех действительных чисел несчетно бесконечно , но множество всех алгебраических чисел счетно бесконечно . Первое доказательство несчетности Кантора отличалось от его знаменитого диагонального аргумента, опубликованного в 1891 году.

Формальные определения

Действительная числовая система может быть определена аксиоматически с точностью до изоморфизма , который описан ниже. Существует также много способов построения "действительной" числовой системы, и популярный подход включает в себя начало с натуральных чисел, затем определение рациональных чисел алгебраически и, наконец, определение действительных чисел как классов эквивалентности их последовательностей Коши или как сечений Дедекинда, которые являются определенными подмножествами рациональных чисел. ^[19] Другой подход состоит в том, чтобы начать с некоторой строгой аксиоматизации евклидовой геометрии (скажем, Гильберта или Тарского ), а затем определить действительную числовую систему геометрически. Было показано, что все эти конструкции действительных чисел эквивалентны, в том смысле, что полученные числовые системы изоморфны . ${\displaystyle (\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})}$

Аксиоматический подход

Пусть обозначает множество всех действительных чисел. Тогда: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Множество представляет собой поле , что означает, что сложение и умножение определены и имеют обычные свойства. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Поле упорядочено, что означает, что существует общий порядок ≥ такой, что для всех действительных чисел x , y и z : ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • если x ≥ y , то x + z ≥ y + z ;
  • если x ≥ 0 и y ≥ 0, то xy ≥ 0.
• Порядок является полным по Дедекинду, что означает, что каждое непустое подмножество S из с верхней границей в имеет наименьшую верхнюю границу (иначе говоря, супремум) в . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Последнее свойство применимо к действительным числам, но не к рациональным числам (или к другим более экзотическим упорядоченным полям ). Например, имеет рациональную верхнюю границу (например, 1,42), но не имеет наименьшей рациональной верхней границы, поскольку не является рациональным. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Эти свойства подразумевают свойство Архимеда (которое не подразумевается другими определениями полноты), которое гласит, что множество целых чисел не имеет верхней границы в действительных числах. Фактически, если бы это было ложно, то целые числа имели бы наименьшую верхнюю границу N ; тогда N – 1 не было бы верхней границей, и существовало бы целое число n такое, что n > N – 1 , и, таким образом, n + 1 > N , что противоречит свойству верхней границы N .

Действительные числа однозначно определяются указанными выше свойствами. Точнее, для любых двух полных по Дедекинду упорядоченных полей и существует уникальный изоморфизм полей из в . Эта уникальность позволяет нам думать о них как о по сути одном и том же математическом объекте. ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R_{2}} }$

Для получения другой аксиоматизации см. аксиоматизацию действительных чисел Тарского . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Построение из рациональных чисел

Действительные числа могут быть построены как дополнение рациональных чисел таким образом, что последовательность, определяемая десятичным или двоичным расширением, например (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...), сходится к уникальному действительному числу — в данном случае π . Подробности и другие конструкции действительных чисел см. в разделе Построение действительных чисел .

Приложения и соединения

Физика

В физических науках большинство физических констант, таких как универсальная гравитационная постоянная, и физические переменные, такие как положение, масса, скорость и электрический заряд, моделируются с использованием действительных чисел. Фактически, фундаментальные физические теории, такие как классическая механика , электромагнетизм , квантовая механика , общая теория относительности и стандартная модель, описываются с использованием математических структур, как правило, гладких многообразий или гильбертовых пространств , которые основаны на действительных числах, хотя фактические измерения физических величин имеют конечную точность и правильность .

Физики время от времени предполагают, что более фундаментальная теория заменит действительные числа величинами, которые не образуют континуум, но такие предложения остаются спекулятивными. ^[20]

Логика

Действительные числа чаще всего формализуются с помощью аксиоматизации Цермело–Френкеля теории множеств, но некоторые математики изучают действительные числа с помощью других логических основ математики. В частности, действительные числа также изучаются в обратной математике и в конструктивной математике . ^[21]

Гипердействительные числа , разработанные Эдвином Хьюиттом , Абрахамом Робинсоном и другими, расширяют множество действительных чисел, вводя бесконечно малые и бесконечные числа, что позволяет строить исчисление бесконечно малых способом, более близким к исходным интуициям Лейбница , Эйлера , Коши и других.

Внутренняя теория множеств Эдварда Нельсона обогащает теорию множеств Цермело–Френкеля синтаксически, вводя унарный предикат «стандарт». В этом подходе бесконечно малые являются (не «стандартными») элементами множества действительных чисел (а не элементами его расширения, как в теории Робинсона).

Гипотеза континуума утверждает, что мощность множества действительных чисел равна ; т.е. наименьшее бесконечное кардинальное число после , мощности целых чисел. Пол Коэн доказал в 1963 году, что это аксиома, независимая от других аксиом теории множеств; то есть: можно выбрать либо гипотезу континуума, либо ее отрицание в качестве аксиомы теории множеств, без противоречия. ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Вычисление

Электронные калькуляторы и компьютеры не могут оперировать произвольными действительными числами, поскольку конечные компьютеры не могут напрямую хранить бесконечно много цифр или других бесконечных представлений. Они также обычно не оперируют даже произвольными определяемыми действительными числами , которые неудобно обрабатывать.

Вместо этого компьютеры обычно работают с приближениями конечной точности, называемыми числами с плавающей точкой , представлением, похожим на научную нотацию . Достижимая точность ограничена пространством хранения данных , выделенным для каждого числа, будь то числа с фиксированной точкой , с плавающей точкой или числа произвольной точности , или какое-либо другое представление. Большинство научных вычислений используют двоичную арифметику с плавающей точкой, часто 64-битное представление с точностью около 16 десятичных знаков . Действительные числа удовлетворяют обычным правилам арифметики , но числа с плавающей точкой — нет . Область численного анализа изучает устойчивость и точность численных алгоритмов, реализованных с помощью приближенной арифметики.

С другой стороны, системы компьютерной алгебры могут работать с иррациональными величинами точно, манипулируя символическими формулами для них (такими как или ), а не их рациональными или десятичными приближениями. ^[22] Но точная и символическая арифметика также имеют ограничения: например, они более затратны в вычислительном отношении; в общем случае невозможно определить, равны ли два символических выражения ( константная проблема ); и арифметические операции могут вызвать экспоненциальный взрыв в размере представления одного числа (например, возведение в квадрат рационального числа примерно удваивает количество цифр в его числителе и знаменателе, а возведение в квадрат многочлена примерно удваивает количество его членов), что перегружает конечную память компьютера. ^[23] ${\textstyle {\sqrt {2}},}$ ${\textstyle \arctan 5,}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx}$

Действительное число называется вычислимым, если существует алгоритм, который выдает его цифры. Поскольку существует только счетное множество алгоритмов ^[24] , но несчетное число действительных чисел, почти все действительные числа не могут быть вычислимыми. Более того, равенство двух вычислимых чисел является неразрешимой проблемой . Некоторые конструктивисты принимают существование только тех действительных чисел, которые вычислимы. Множество определяемых чисел шире, но все еще только счетно.

Теория множеств

В теории множеств , в частности, в описательной теории множеств , пространство Бэра используется в качестве заменителя действительных чисел, поскольку последние обладают некоторыми топологическими свойствами (связностью), которые являются техническими неудобствами. Элементы пространства Бэра называются «действительными числами».

Словарь и обозначения

Множество всех действительных чисел обозначается ( черный жирный ) или R (вертикальный жирный). Поскольку оно естественным образом наделено структурой поля , выражение поля действительных чисел часто используется при рассмотрении его алгебраических свойств. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Множества положительных действительных чисел и отрицательных действительных чисел часто обозначаются и , ^[25] соответственно; и также используются. ^[26] Неотрицательные действительные числа могут быть обозначены, но часто можно увидеть это множество обозначенным ^[25] Во французской математике положительные действительные числа и отрицательные действительные числа обычно включают ноль , и эти множества обозначаются соответственно и ^[26] В этом понимании соответствующие множества без нуля называются строго положительными действительными числами и строго отрицательными действительными числами, и обозначаются и ^[26] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R_{+}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}.}$

Обозначение относится к набору n -кортежей элементов ( реального координатного пространства ), которые могут быть идентифицированы как декартово произведение n копий Это n -мерное векторное пространство над полем действительных чисел, часто называемое координатным пространством размерности n ; это пространство может быть идентифицировано как n -мерное евклидово пространство , как только в последнем выбрана декартова система координат . В этой идентификации точка евклидова пространства идентифицируется с кортежем ее декартовых координат . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

В математике real используется как прилагательное, означающее, что лежащее в основе поле является полем действительных чисел (или действительным полем ). Например, действительная матрица , действительный многочлен и действительная алгебра Ли . Слово также используется как существительное , означающее действительное число (как в «множестве всех действительных чисел»).

Обобщения и расширения

Действительные числа можно обобщить и расширить в нескольких различных направлениях:

• Комплексные числа содержат решения всех полиномиальных уравнений и, следовательно, являются алгебраически замкнутым полем в отличие от действительных чисел. Однако комплексные числа не являются упорядоченным полем.
• Аффинно расширенная система действительных чисел добавляет два элемента +∞ и −∞ . Это компактное пространство . Это больше не поле и даже не аддитивная группа, но оно все еще имеет полный порядок; более того, это полная решетка .
• Действительная проективная прямая добавляет только одно значение ∞ . Это также компактное пространство. Опять же, это больше не поле и даже не аддитивная группа. Однако она допускает деление ненулевого элемента на ноль. Она имеет циклический порядок, описываемый отношением разделения .
• Длинная вещественная линия склеивает ℵ ₁ * + ℵ ₁ копий вещественной линии плюс одну точку (здесь ℵ ₁ * обозначает обратный порядок ℵ ₁ ), чтобы создать упорядоченный набор, который «локально» идентичен вещественным числам, но каким-то образом длиннее; например, существует сохраняющее порядок вложение ℵ ₁ в длинную вещественную линию, но не в вещественные числа. Длинная вещественная линия — это наибольшее упорядоченное множество, которое является полным и локально архимедовым. Как и в предыдущих двух примерах, этот набор больше не является полем или аддитивной группой.
• Упорядоченные поля, расширяющие действительные числа, — это гиперреальные числа и сюрреальные числа ; оба они содержат бесконечно малые и бесконечно большие числа и, следовательно, являются неархимедовыми упорядоченными полями .
• Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве (например, самосопряженные квадратные комплексные матрицы ) во многих отношениях обобщают действительные числа: их можно упорядочить (хотя и не полностью упорядочить), они полны, все их собственные значения действительны, и они образуют действительную ассоциативную алгебру . Положительно-определенные операторы соответствуют положительным действительным числам, а нормальные операторы соответствуют комплексным числам.

Смотрите также

• Математический портал

• Полнота действительных чисел
• Продолженная дробь
• Определимые действительные числа
• Положительные действительные числа
• Реальный анализ

Примечания

1. Этого недостаточно для различения действительных чисел от рациональных ; требуется также свойство полноты .
2. Конечные рациональные числа могут иметь два десятичных представления (см. 0,999... ); остальные действительные числа имеют ровно одно десятичное представление.
3. Пределы и непрерывность могут быть определены в общей топологии без ссылки на действительные числа, но эти обобщения появились сравнительно недавно и используются только в очень частных случаях.
4. Точнее, если заданы два полных полностью упорядоченных поля, между ними существует единственный изоморфизм. Это подразумевает, что тождество является единственным автоморфизмом поля вещественных чисел, совместимым с порядком. Фактически, тождество является единственным автоморфизмом поля вещественных чисел, поскольку эквивалентно и вторая формула устойчива относительно автоморфизмов поля. ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle \exists z\mid x-y=z^{2},}$

Ссылки

Цитаты

1. "Действительное число". Oxford Reference . 2011-08-03.
2. "real" . Oxford English Dictionary (3rd ed.). 2008. 'real', n.2 , B.4. Математика. Действительное число. Обычно во множественном числе
3. Уэбб, Стивен (2018). «Набор натуральных чисел ℕ» . Столкновение символов: путешествие по богатствам глифов . Springer. стр. 198–199.
4. "Действительное число". Энциклопедия Британника .
5. Кельнер, Питер (2013). «Гипотеза континуума». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Стэнфордский университет.
6. Мошовакис, Яннис Н. (1980), "5. Конструктивная Вселенная" , Описательная теория множеств , Северная Голландия, стр. 274–285, ISBN 978-0-444-85305-9
7. TK Puttaswamy, «Достижения древних индийских математиков», стр. 410–11. В: Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , ред. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1.
8. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999), «Арабская математика: забытое великолепие?», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
9. Матвиевская, Галина (1987), «Теория квадратичных иррациональностей в средневековой восточной математике», Annals of the New York Academy of Sciences , 500 (1): 253–77 [254], Bibcode : 1987NYASA.500..253M, doi : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x, S2CID  121416910
10. Жак Сезиано, «Исламская математика», с. 148, в Селине, Хелейн; Д'Амброзио, Убиратан (2000), Математика в разных культурах: история незападной математики , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
11. Бекман, Петр (1971). История числа π (PI) . St. Martin's Press. стр. 170. ISBN 9780312381851.
12. Арндт, Йорг; Хэнель, Кристоф (2001), Pi Unleashed, Springer, стр. 192, ИСБН 978-3-540-66572-4, получено 2015-11-15.
13. Данэм, Уильям (2015), Галерея исчисления: шедевры от Ньютона до Лебега, Princeton University Press, стр. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, получено 17.02.2015 , Кантор нашел замечательный кратчайший путь к заключению Лиувилля с помощью части работы
14. Гурвиц, Адольф (1893). «Beweis der Transendenz der Zahl e». Mathematische Annalen (43): 134–35.
15. Гордан, Пол (1893). «Трансценденц фон е и π». Математические Аннален . 43 (2–3): 222–224. дои : 10.1007/bf01443647. S2CID  123203471.
16. Стефан Дробот «Действительные числа». Prentice-Hall, Inc., Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1964, vii+102 стр.
17. Робсон, Элеанор; Стедалл, Жаклин А., ред. (2009). Оксфордский справочник по истории математики. Оксфордские справочники. Оксфорд; Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921312-2. OCLC  229023665.
18. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (октябрь 2005 г.), «Действительные числа: от Стевина до Гильберта», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
19. "Лекция № 1" (PDF) . 18.095 Серия лекций по математике . 2015-01-05.
20. Уилер, Джон Арчибальд (1986). «Герман Вейль и единство знания: в связи четырех тайн — «как» существует, времени, математического континуума и прерывистого да-или-нет квантовой физики — может лежать ключ к глубокому новому пониманию». American Scientist . 74 (4): 366–75. Bibcode :1986AmSci..74..366W. JSTOR  27854250.
    Бенгтссон, Ингемар (2017). «Число, стоящее за простейшим SIC-POVM». Основы физики . 47 (8): 1031–41. arXiv : 1611.09087 . Bibcode :2017FoPh...47.1031B. doi :10.1007/s10701-017-0078-3. S2CID  118954904.
21. Бишоп, Эрретт; Бриджес, Дуглас (1985), Конструктивный анализ , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 279, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-15066-4, глава 2.
22. Коэн, Джоэл С. (2002), Компьютерная алгебра и символьные вычисления: элементарные алгоритмы , т. 1, AK Peters, стр. 32, ISBN 978-1-56881-158-1
23. Трефетен, Ллойд Н. (2007). «Численные вычисления с функциями вместо чисел» (PDF) . Математика в информатике . 1 (1): 9–19. doi :10.1007/s11786-007-0001-y.
24. Хайн, Джеймс Л. (2010), "14.1.1", Дискретные структуры, логика и вычислимость (3-е изд.), Садбери, Массачусетс: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 97-80763772062, получено 2015-11-15
25. Шумахер, Кэрол (1996). Глава ноль: основные понятия абстрактной математики . Эддисон-Уэсли. стр. 114–115. ISBN 9780201826531.
26. École Normale Supérieure в Париже , "Nombres réels" ("Реальные числа"). Архивировано 8 мая 2014 г. в Wayback Machine , стр. 6

Источники

• Bos, Henk JM (2001). Переосмысление геометрической точности: Декартово преобразование раннего современного понятия построения . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer. doi :10.1007/978-1-4613-0087-8. ISBN 978-1-4612-6521-4.
• Боттаццини, Умберто (1986). Высшее исчисление: История действительного и комплексного анализа от Эйлера до Вейерштрасса . Springer. ISBN 9780387963020.
• Кантор, Георг (1874). « Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen алгебраишен Zahlen» [Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел]. Журнал Крелля (на немецком языке). 77 : 258–62.
• Дьедонне, Жан (1960). Основы современного анализа . Академическая пресса.
• Феферман, Соломон (1964). Системы чисел: основы алгебры и анализа . Эддисон-Уэсли.
• Howie, John M. (2001). Действительный анализ . Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. doi :10.1007/978-1-4471-0341-7. ISBN 978-1-85233-314-0.
• Кац, Роберт (1964). Аксиоматический анализ . Хит.
• Кранц, Дэвид Х.; Люс, Р. Дункан ; Саппс, Патрик ; Тверски, Амос (1971). Основы измерения, т. 1. Academic Press. ISBN 9780124254015.Том 2, 1989. Том 3, 1990.
• Mac Lane, Saunders (1986). "4. Действительные числа" . Математика: форма и функция . Springer. ISBN 9780387962177.
• Ландау, Эдмунд (1966). Основы анализа (3-е изд.). Челси. ISBN 9780828400794.Перевод с немецкого Grundlagen der Analysis, 1930.
• Стивенсон, Фредерик В. (2000). Исследование действительных чисел . Prentice Hall. ISBN 9780130402615.
• Стиллвелл, Джон (2013). Действительные числа: Введение в теорию множеств и анализ . Бакалаврские тексты по математике. Springer. doi :10.1007/978-3-319-01577-4. ISBN 978-3-319-01576-7.

Внешние ссылки

• «Действительное число», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]