Число Нуссельта

Соотношение скоростей конвективного и кондуктивного теплообмена жидкости

В термической динамике жидкости число Нуссельта ( Nu , в честь Вильгельма Нуссельта ^{[1] : 336} ) — это отношение общей теплопередачи к кондуктивной теплопередаче на границе жидкости . Общая теплопередача объединяет теплопроводность и конвекцию . Конвекция включает в себя как адвекцию (движение жидкости ), так и диффузию (проводимость). Кондуктивная составляющая измеряется при тех же условиях, что и конвективная, но для гипотетически неподвижной жидкости. Это безразмерное число , тесно связанное с числом Рэлея жидкости . ^{[1] : 466}

Число Нуссельта порядка один представляет перенос тепла путем чистой теплопроводности. ^{[1] : 336} Значение от одного до 10 характерно для снарядного течения или ламинарного течения . ^[2] Большее число Нуссельта соответствует более активной конвекции, при этом турбулентный поток обычно находится в диапазоне 100–1000. ^[2]

Аналогичным безразмерным свойством является число Биота , которое касается теплопроводности твердого тела, а не жидкости. Аналогом числа Нуссельта по массопереносу является число Шервуда .

Определение

Число Нуссельта — это отношение общего теплообмена (конвекция + проводимость) к кондуктивному теплообмену через границу. Конвективный и кондуктивный тепловые потоки параллельны друг другу и нормали к поверхности границы, и все они перпендикулярны среднему потоку жидкости в простом случае.

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}={\frac {\mbox{Total heat transfer }}{\mbox{Conductive heat transfer }}}={\frac {h}{k/L}}={\frac {hL}{k}}}$

где h — коэффициент конвективной теплопередачи потока, L — характерная длина , а k — теплопроводность жидкости.

• Выбор характерной длины должен осуществляться в направлении роста (или толщины) пограничного слоя; некоторые примеры характерной длины: внешний диаметр цилиндра в (внешнем) поперечном потоке (перпендикулярно оси цилиндра), длина вертикальной пластины, подвергающейся естественной конвекции , или диаметр сферы. Для сложных форм длина может быть определена как объем жидкого тела, деленный на площадь поверхности.
• Теплопроводность жидкости обычно (но не всегда) оценивается по температуре пленки , которую для инженерных целей можно рассчитать как среднее значение объемной температуры жидкости и температуры поверхности стенки.

В отличие от определения, данного выше и известного как среднее число Нуссельта , локальное число Нуссельта определяется путем взятия длины как расстояния от границы поверхности ^{[1] [ нужна страница ]} до локальной точки интереса.

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}={\frac {h_{x}x}{k}}}$

Среднее число получается путем интегрирования выражения по интересующему диапазону, например: [ ³ ]

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}={\frac {{\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}h_{x}\ dx\ L}{k}}={\frac {{\overline {h}}L}{k}}}$

Контекст

Понимание конвективных пограничных слоев необходимо для понимания конвективного теплообмена между поверхностью и протекающей мимо нее жидкостью. Тепловой пограничный слой образуется, если температура свободного потока жидкости и температура поверхности различаются. Температурный профиль существует из-за обмена энергией, возникающего в результате этой разницы температур.

Тепловой пограничный слой

Скорость теплопередачи можно записать с использованием закона охлаждения Ньютона как

${\displaystyle Q_{y}=hA\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}$,

где h — коэффициент теплопередачи , а A — площадь поверхности теплопередачи. Поскольку теплопередача на поверхности осуществляется посредством теплопроводности, ту же величину можно выразить через теплопроводность k :

${\displaystyle Q_{y}=-kA{\frac {\partial }{\partial y}}\left.\left(T-T_{s}\right)\right|_{y=0}}$.

Эти два термина равны; таким образом

${\displaystyle -kA{\frac {\partial }{\partial y}}\left.\left(T-T_{s}\right)\right|_{y=0}=hA\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}$.

Перестановка,

${\displaystyle {\frac {h}{k}}={\frac {\left.{\frac {\partial \left(T_{s}-T\right)}{\partial y}}\right|_{y=0}}{\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}}}$.

Умножение на репрезентативную длину L дает безразмерное выражение:

${\displaystyle {\frac {hL}{k}}={\frac {\left.{\frac {\partial \left(T_{s}-T\right)}{\partial y}}\right|_{y=0}}{\frac {\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}{L}}}}$.

Правая сторона теперь представляет собой отношение градиента температуры на поверхности к опорному градиенту температуры, тогда как левая сторона аналогична модулю Био. Это становится отношением кондуктивного теплового сопротивления к конвективному тепловому сопротивлению жидкости, иначе известному как число Нуссельта, Nu.

${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {h}{k/L}}={\frac {hL}{k}}}$.

Вывод

Число Нуссельта можно получить путем безразмерного анализа закона Фурье , поскольку оно равно безразмерному градиенту температуры на поверхности:

${\displaystyle q=-kA\nabla T}$, где q — скорость теплопередачи , k — постоянная теплопроводность , а T — температура жидкости .

Действительно, если: и ${\displaystyle \nabla '=L\nabla }$ ${\displaystyle T'={\frac {T-T_{h}}{T_{h}-T_{c}}}}$

мы прибываем в

${\displaystyle -\nabla 'T'={\frac {L}{kA(T_{h}-T_{c})}}q={\frac {hL}{k}}}$

затем мы определяем

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}={\frac {hL}{k}}}$

поэтому уравнение становится

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}=-\nabla 'T'}$

Интегрируя по поверхности тела:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}=-{{1} \over {S'}}\int _{S'}^{}\mathrm {Nu} \,\mathrm {d} S'\!}$,

где . ${\displaystyle S'={\frac {S}{L^{2}}}}$

Эмпирические корреляции

Обычно для свободной конвекции среднее число Нуссельта выражается как функция числа Рэлея и числа Прандтля , записываемая как:

${\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Ra} ,\mathrm {Pr} )}$

В противном случае, для вынужденной конвекции, число Нуссельта, как правило, является функцией числа Рейнольдса и числа Прандтля , или

${\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Re} ,\mathrm {Pr} )}$

Доступны эмпирические корреляции для широкого спектра геометрий, которые выражают число Нуссельта в вышеупомянутых формах. См. также Коэффициент теплопередачи#Конвективные_теплопереносные_корреляции .

Свободная конвекция

Свободная конвекция у вертикальной стенки

Цитируется ^{[4] : ​​493} как принадлежащее Черчиллю и Чу:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.68+{\frac {0.663\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}}{\left[1+(0.492/\mathrm {Pr} )^{9/16}\,\right]^{4/9}\,}}\quad \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{8}}$

Свободная конвекция от горизонтальных пластин

Если характерная длина определена

${\displaystyle L\ ={\frac {A_{s}}{P}}}$

где - площадь поверхности пластины, - ее периметр. ${\displaystyle \mathrm {A} _{s}}$ ${\displaystyle P}$

Тогда для верхней поверхности горячего объекта в более холодной среде или нижней поверхности холодного объекта в более горячей среде ^{[4] : ​​493}

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.54\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}\,\quad 10^{4}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{7}}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.15\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/3}\,\quad 10^{7}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{11}}$

И для нижней поверхности горячего объекта в более холодной среде или верхней поверхности холодного объекта в более горячей среде ^{[4] : ​​493}

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.52\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/5}\,\quad 10^{5}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{10}}$

Свободная конвекция из кожуха, обогреваемого снизу

Цитируется ^[5] как принадлежащее Бежану:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.069\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/3}Pr^{0.074}\,\quad 3*10^{5}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 7*10^{9}}$

Это уравнение «выполняется, когда горизонтальный слой достаточно широк, так что влияние коротких вертикальных сторон минимально».

Это было эмпирически определено Глобом и Дропкиным в 1959 году: ^[6] «Испытания проводились в цилиндрических контейнерах с медными верхом и дном и изолирующими стенками». Используемые контейнеры были около 5 дюймов в диаметре и 2 дюйма в высоту.

Плоская пластина в ламинарном потоке

Локальное число Нуссельта для ламинарного течения над плоской пластиной на расстоянии вниз по потоку от края пластины определяется по формуле ^{[4] : ​​490} ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}\ =0.332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3},(\mathrm {Pr} >0.6)}$

Среднее число Нуссельта для ламинарного течения над плоской пластиной, от края пластины до расстояния ниже по потоку , определяется по формуле ^{[4] : ​​490} ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}\ ={2}\cdot 0.332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\ =0.664\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3},(\mathrm {Pr} >0.6)}$

Сфера в конвективном потоке

В некоторых приложениях, таких как испарение сферических капель жидкости в воздухе, используется следующая корреляция: ^[7]

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}\ ={2}+0.4\,\mathrm {Re} _{D}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\,}$

Принудительная конвекция в турбулентном потоке в трубе

корреляция Гнелински

Корреляция Гнелинского для турбулентного течения в трубах: ^{[4] : 490, 515  [8]}

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}={\frac {\left(f/8\right)\left(\mathrm {Re} _{D}-1000\right)\mathrm {Pr} }{1+12.7(f/8)^{1/2}\left(\mathrm {Pr} ^{2/3}-1\right)}}}$

где f — коэффициент трения Дарси , который можно получить либо из диаграммы Муди , либо для гладких труб из корреляции, разработанной Петуховым: ^{[4] : 490}

${\displaystyle f=\left(0.79\ln \left(\mathrm {Re} _{D}\right)-1.64\right)^{-2}}$

Корреляция Гнелинского действительна для: ^{[4] : 490}

${\displaystyle 0.5\leq \mathrm {Pr} \leq 2000}$

${\displaystyle 3000\leq \mathrm {Re} _{D}\leq 5\times 10^{6}}$

Уравнение Диттуса–Бёльтера

Уравнение Диттуса–Бёльтера (для турбулентного потока), представленное WH McAdams ^[9], является явной функцией для расчета числа Нуссельта. Его легко решить, но оно менее точно, когда в жидкости большая разница температур. Оно адаптировано для гладких труб, поэтому его использование для шероховатых труб (большинство коммерческих приложений) предостерегает. Уравнение Диттуса–Бёльтера выглядит следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=0.023\,\mathrm {Re} _{D}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{n}}$

где:

${\displaystyle D}$внутренний диаметр круглого воздуховода

${\displaystyle \mathrm {Pr} }$это число Прандтля

${\displaystyle n=0.4}$для нагреваемой жидкости и для охлаждаемой жидкости. ^{[4] : 493} ${\displaystyle n=0.3}$

Уравнение Диттуса–Бёльтера справедливо для ^{[4] : ​​514}

${\displaystyle 0.6\leq \mathrm {Pr} \leq 160}$

${\displaystyle \mathrm {Re} _{D}\gtrsim 10\,000}$

${\displaystyle {\frac {L}{D}}\gtrsim 10}$

Уравнение Диттуса–Бёльтера является хорошим приближением, где разница температур между основной жидкостью и поверхностью теплопередачи минимальна, что позволяет избежать сложности уравнения и итеративного решения. Принимая воду со средней температурой основной жидкости 20 °C (68 °F), вязкость10,07 × 10−4 ^Па.с  и температуре поверхности теплопередачи 40 °C (104 °F) (вязкость6,96 × 10−4  Па.с , коэффициент коррекции вязкости для может быть получен ^как 1,45. Он увеличивается до 3,57 при температуре поверхности теплопередачи 100 °C (212 °F) (вязкость ${\displaystyle ({\mu }/{\mu _{s}})}$2,82 × 10−4  Па.с ), что существенно влияет на ^число Нуссельта и коэффициент теплопередачи.

Корреляция Зидера–Тейта

Корреляция Зидера–Тейта для турбулентного потока является неявной функцией , поскольку она анализирует систему как нелинейную граничную задачу . Результат Зидера–Тейта может быть более точным, поскольку он учитывает изменение вязкости ( и ) из-за изменения температуры между средней температурой объемной жидкости и температурой поверхности теплопередачи соответственно. Корреляция Зидера–Тейта обычно решается итеративным процессом, поскольку коэффициент вязкости будет изменяться при изменении числа Нуссельта. ^[10] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{s}}$

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=0.027\,\mathrm {Re} _{D}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\left({\frac {\mu }{\mu _{s}}}\right)^{0.14}}$^{[4] : 493}

где:

${\displaystyle \mu }$вязкость жидкости при объемной температуре жидкости

${\displaystyle \mu _{s}}$вязкость жидкости при температуре поверхности границы теплопередачи

Корреляция Сидера–Тейта действительна для ^{[4] : ​​493}

${\displaystyle 0.7\leq \mathrm {Pr} \leq 16\,700}$

${\displaystyle \mathrm {Re} _{D}\geq 10\,000}$

${\displaystyle {\frac {L}{D}}\gtrsim 10}$

Принудительная конвекция в полностью развитом ламинарном потоке в трубе

При полностью развитом внутреннем ламинарном течении числа Нуссельта стремятся к постоянному значению для длинных труб.

Для внутреннего потока:

${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {hD_{h}}{k_{f}}}}$

где:

D _h = Гидравлический диаметр

k _f = теплопроводность жидкости

h = коэффициент конвективной теплопередачи

Конвекция с равномерной температурой для круглых труб

Из Инкропера и ДеВитта, ^{[4] : ​​486–487}

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=3.66}$

Последовательность OEIS A282581 дает это значение как . ${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=3.6567934577632923619...}$

Конвекция с равномерным тепловым потоком для круглых труб

Для случая постоянного поверхностного теплового потока, ^{[4] : 486–487}

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=4.36}$

Смотрите также

• Число Шервуда (число Нуссельта для массопереноса)
• Уравнение Черчилля–Бернштейна
• Число Биота
• Число Рейнольдса
• Конвективный теплообмен
• Коэффициент теплопередачи
• Теплопроводность

Ссылки

1. Çengel, Yunus A. (2002). Тепло- и массообмен (2-е изд.). McGraw-Hill.
2. "Число Нуссельта". Whiting School of Engineering . Получено 3 апреля 2019 г.
3. E. Sanvicente; et al. (2012). «Переходный естественный конвекционный поток и теплопередача в открытом канале». Международный журнал тепловых наук . 63 : 87–104. doi :10.1016/j.ijthermalsci.2012.07.004.
4. Incropera, Frank P. ; DeWitt, David P. (2007). Основы тепло- и массообмена (6-е изд.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-0-471-45728-2.
5. Бежан, Адриан (2013). Конвективный перенос тепла (PDF) (4-е изд.). Wiley. ISBN  978-0-470-90037-6.
6. Глоуб, Сэмюэл; Дропкин, Дэвид (1959). «Естественная конвекция теплопередачи в жидкостях, ограниченных двумя горизонтальными пластинами и нагретых снизу». Журнал теплопередачи . 81 (1): 24–28. doi :10.1115/1.4008124 – через ASME Digital Collection.
7. МакАллистер, Сара; Чэнь, Джи-Юань; Фернандес Пельо, Карлос (2011). "Испарение капель в конвективном потоке". Основы процессов горения . Машиностроение. Нью-Йорк: Springer. стр. 159. doi :10.1007/978-1-4419-7943-8. ISBN 978-1-4419-7942-1. LCCN  2011925371.
8. Гнелински, Волкер (1975). «Neue Gleichungen für den Wärme- und den Stoffübergang в неспокойном durchströmten Rohren und Kanälen». Форш. Инж.-Вес . 41 (1): 8–16. дои : 10.1007/BF02559682. S2CID  124105274.
9. Winterton, RHS (февраль 1998 г.). «Откуда взялось уравнение Диттуса и Бёльтера?» (PDF) . International Journal of Heat and Mass Transfer . 41 (4–5). Elsevier: 809–810. Bibcode : 1998IJHMT..41..809W. doi : 10.1016/S0017-9310(97)00177-4.
10. "Профиль температуры в металле трубы парогенератора" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г. . Получено 23 сентября 2009 г. .

Внешние ссылки

• Простой вывод числа Нуссельта из закона охлаждения Ньютона (дата обращения 23 сентября 2009 г.)