Числа Стирлинга второго рода

Числа, параметризирующие способы разделения набора

15 разбиений набора из 4 элементов, упорядоченных по диаграмме Хассе .

Имеется S (4,1), ..., S (4, 4) = 1, 7, 6, 1 разделов, содержащих 1, 2, 3, 4 множества.

В математике , особенно в комбинаторике , число Стирлинга второго рода (или число разбиения Стирлинга ) — это количество способов разделить набор из n объектов на k непустые подмножества и обозначается или . ^[1] Числа Стирлинга второго рода встречаются в области математики , называемой комбинаторикой , и изучении разделов . Они названы в честь Джеймса Стирлинга . ${\displaystyle S(n,k)}$ ${\displaystyle \textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

Числа Стирлинга первого и второго рода можно понимать как обратные друг другу, если рассматривать их как треугольные матрицы . Данная статья посвящена особенностям чисел Стирлинга второго рода. Тождества, связывающие эти два вида, появляются в статье о числах Стирлинга .

Определение

Числа Стирлинга второго рода, записанные или с другими обозначениями, подсчитывают количество способов разбить набор помеченных объектов на непустые немаркированные подмножества. Эквивалентно, они подсчитывают количество различных отношений эквивалентности с точными классами эквивалентности, которые могут быть определены в наборе элементов. Фактически, существует биекция между множеством разбиений и множеством отношений эквивалентности на данном множестве. Очевидно, ${\displaystyle S(n,k)}$ ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left\{{n \atop n}\right\}=1}$для n ≥ 0 и для n ≥ 1 ${\displaystyle \left\{{n \atop 1}\right\}=1}$

поскольку единственный способ разбить набор из n -элементов на n частей — это поместить каждый элемент набора в отдельную часть, а единственный способ разбить непустое множество на одну часть — это поместить все элементы в одну и ту же часть. . В отличие от чисел Стирлинга первого рода , их можно вычислить по формуле одной суммы: ^[2]

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}i^{n}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-i}i^{n}}{(k-i)!i!}}.}$

Числа Стирлинга второго рода можно также охарактеризовать как числа, возникающие при выражении степеней неопределенного x через падающие факториалы ^[3]

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).}$

(В частности, ( x ) ₀ = 1, поскольку это пустой продукт .)

Другими словами

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}.}$

Обозначения

Для чисел Стирлинга второго рода использовались различные обозначения. Фигурные скобки использовались Имануэлем Марксом и Антонио Салмери в 1962 году для вариантов этих чисел. ^{[4] [5]} Это побудило Кнута использовать его, как показано здесь, в первом томе « Искусства компьютерного программирования» (1968). ^{[6] [7]} Согласно третьему изданию «Искусства компьютерного программирования» , это обозначение также использовалось ранее Йованом Караматой в 1935 году. ^{[8] [9]} Обозначение S ( n , k ) использовалось Ричардом Стэнли в его книга «Перечислительная комбинаторика» , а также, гораздо раньше, многие другие авторы. ^[6] ${\textstyle \textstyle \lbrace {n \atop k}\rbrace }$

Используемые на этой странице обозначения чисел Стирлинга не являются универсальными и могут противоречить обозначениям в других источниках.

Связь с числами Белла

Поскольку число Стирлинга учитывает разбиение набора из n -элементов на k частей, сумма ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}}$

по всем значениям k — общее количество разделов набора из n членов. Это число известно как n -е число Белла .

Аналогично упорядоченные числа Белла можно вычислить из чисел Стирлинга второго рода по формуле

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}k!\left\{{n \atop k}\right\}.}$^[10]

Таблица значений

Ниже представлен треугольный массив значений чисел Стирлинга второго рода (последовательность A008277 в OEIS ):

Как и в случае с биномиальными коэффициентами , эту таблицу можно расширить до  k > n , но все записи будут равны 0.

Характеристики

Рекуррентное отношение

Числа Стирлинга второго рода подчиняются рекуррентному соотношению

${\displaystyle \left\{{n+1 \atop k}\right\}=k\left\{{n \atop k}\right\}+\left\{{n \atop k-1}\right\}\quad {\mbox{for}}\;0<k<n}$

с начальными условиями

${\displaystyle \left\{{n \atop n}\right\}=1\quad {\mbox{ for}}\;n\geq 0\quad {\text{ and }}\quad \left\{{n \atop 0}\right\}=\left\{{0 \atop n}\right\}=0\quad {\text{ for }}n>0{\text{.}}}$

Например, число 25 в столбце k  = 3 и строке n  = 5 определяется как 25 = 7 + (3×6), где 7 — это число выше и слева от 25, 6 — это число выше 25 и 3. это столбец, содержащий 6.

Чтобы доказать эту повторяемость, заметим, что разбиение объектов на k непустые подмножества либо содержит -й объект как одиночный, либо нет. Количество способов, которыми синглтон является одним из подмножеств, определяется выражением ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle \left\{{n \atop k-1}\right\}}$

поскольку мы должны разделить оставшиеся n объектов на доступные подмножества. В другом случае -ый объект принадлежит подмножеству, содержащему другие объекты. Количество способов определяется выражением ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle k\left\{{n \atop k}\right\}}$

поскольку мы разделяем все объекты, кроме -го, на k подмножеств, и тогда у нас остается k вариантов вставки объекта . Суммирование этих двух значений дает желаемый результат. ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle n+1}$

Другое рекуррентное соотношение имеет вид

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rbrace ={\frac {k^{n}}{k!}}-\sum _{r=1}^{k-1}{\frac {\left\lbrace {\begin{matrix}n\\r\end{matrix}}\right\rbrace }{(k-r)!}}.}$^{[ нужна цитата ]}

Простые личности

Некоторые простые тождества включают в себя

${\displaystyle \left\{{n \atop n-1}\right\}={\binom {n}{2}}.}$

Это связано с тем, что разделение n элементов на n  - 1 наборов обязательно означает разделение его на один набор размера 2 и n  - 2 набора размера 1. Поэтому нам нужно выбрать только эти два элемента;

и

${\displaystyle \left\{{n \atop 2}\right\}=2^{n-1}-1.}$

Чтобы убедиться в этом, сначала заметим , что существует 2 ⁿ упорядоченных пар дополнительных подмножеств A и B. В одном случае A пусто, а в другом B пусто, поэтому остается 2 ⁿ  − 2 упорядоченных пары подмножеств. Наконец, поскольку нам нужны неупорядоченные пары, а не упорядоченные , мы делим последнее число на 2, получая результат, указанный выше.

Другое явное расширение рекуррентного отношения дает тождества в духе приведенного выше примера.

Личности

Таблица в разделе 6.1 « Конкретной математики» содержит множество обобщенных форм конечных сумм, включающих числа Стирлинга. В число конкретных конечных сумм, имеющих отношение к этой статье, входят:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}&=\sum _{j=k}^{n}{n \choose j}\left\{{j \atop k}\right\}\\\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}&=\sum _{j=k}^{n}(k+1)^{n-j}\left\{{j \atop k}\right\}\\\left\{{n+k+1 \atop k}\right\}&=\sum _{j=0}^{k}j\left\{{n+j \atop j}\right\}\\\left\{{n \atop \ell +m}\right\}{\binom {\ell +m}{\ell }}&=\sum _{k}\left\{{k \atop \ell }\right\}\left\{{n-k \atop m}\right\}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}$

Явная формула

Числа Стирлинга второго рода задаются явной формулой:

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}=\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}j^{n}}{(k-j)!j!}}.}$

Это можно получить, используя метод включения-исключения для подсчета сюръекций от n до k и используя тот факт, что количество таких сюръекций равно . ${\textstyle k!\left\{{n \atop k}\right\}}$

Кроме того, эта формула является частным случаем k -й прямой разности монома, оцененного при x = 0: ${\displaystyle x^{n}}$

${\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.}$

Поскольку полиномы Бернулли можно записать через эти прямые разности, сразу получается соотношение чисел Бернулли :

${\displaystyle B_{m}(0)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {(-1)^{k}k!}{k+1}}\left\{{m \atop k}\right\}.}$

Оценка неполного экспоненциального многочлена Белла B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) на последовательности единиц равна числу Стирлинга второго рода:

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=B_{n,k}(1,1,\dots ,1).}$

Другая явная формула, приведенная в Справочнике математических функций NIST :

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{\begin{array}{c}c_{1}+\ldots +c_{k}=n-k\\c_{1},\ldots ,\ c_{k}\ \geq \ 0\end{array}}1^{c_{1}}2^{c_{2}}\cdots k^{c_{k}}}$

Паритет

Четность чисел Стирлинга второго рода.

Четность числа Стирлинга второго рода равна четности соответствующего биномиального коэффициента :

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}\equiv {\binom {z}{w}}\ {\pmod {2}},}$где ${\displaystyle z=n-\left\lceil \displaystyle {\frac {k+1}{2}}\right\rceil ,\ w=\left\lfloor \displaystyle {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor .}$

Это отношение задается путем отображения координат n и k на треугольник Серпинского .

Более конкретно, пусть два набора содержат позиции единиц в двоичных представлениях результатов соответствующих выражений:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} :\ \sum _{i\in \mathbb {A} }2^{i}&=n-k,\\\mathbb {B} :\ \sum _{j\in \mathbb {B} }2^{j}&=\left\lfloor {\dfrac {k-1}{2}}\right\rfloor .\\\end{aligned}}}$

Можно имитировать побитовую операцию И , пересекая эти два набора:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2={\begin{cases}0,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} \neq \emptyset ;\\1,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} =\emptyset ;\end{cases}}}$

получить четность числа Стирлинга второго рода за время O (1) . В псевдокоде :

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2:=\left[\left(\left(n-k\right)\ \And \ \left(\left(k-1\right)\,\mathrm {div} \,2\right)\right)=0\right];}$

где находится скобка Айверсона . ${\displaystyle \left[b\right]}$

Четность центрального числа Стирлинга второго рода нечетна тогда и только тогда, когда является фиббинарным числом , числом, двоичное представление которого не имеет двух последовательных единиц. ^[11] ${\displaystyle \textstyle \left\{{2n \atop n}\right\}}$ ${\displaystyle n}$

Генерирующие функции

Для фиксированного целого числа n обычная производящая функция для чисел Стирлинга второго рода имеет вид ${\displaystyle \left\{{n \atop 0}\right\},\left\{{n \atop 1}\right\},\ldots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}=T_{n}(x),}$

где – полиномы Тушара . Если вместо этого суммировать числа Стирлинга с падающим факториалом, можно, среди прочего, показать следующие тождества: ${\displaystyle T_{n}(x)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}}$

и

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}\left\{{n+1 \atop k}\right\}(x-1)_{k-1}=x^{n}}$

Что имеет особый случай

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(n)_{k}=n^{n}}$.

Для фиксированного целого числа k числа Стирлинга второго рода имеют рациональную обычную производящую функцию

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}x^{n-k}=\prod _{r=1}^{k}{\frac {1}{1-rx}}={\frac {1}{x^{k+1}(1/x)_{k+1}}}}$

и имеют экспоненциальную производящую функцию, заданную выражением

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {(e^{x}-1)^{k}}{k!}}.}$

Смешанная двумерная производящая функция для чисел Стирлинга второго рода:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}y^{k}=e^{y(e^{x}-1)}.}$

Нижняя и верхняя границы

Если и , то ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(k^{2}+k+2)k^{n-k-1}-1\leq \left\{{n \atop k}\right\}\leq {\frac {1}{2}}{n \choose k}k^{n-k}}$ ^[12]

Асимптотическое приближение

При фиксированном значении асимптотического значения чисел Стирлинга второго рода, определяемого формулой ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {k^{n}}{k!}}.}$

Если (где o обозначает маленькое обозначение o ), то ${\displaystyle k=o({\sqrt {n}})}$

${\displaystyle \left\{{n+k \atop n}\right\}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n^{2k}}{2^{k}k!}}.}$^[13]

Также существует равномерно допустимое приближение: для всех k таких, что 1 < k < n , имеет место

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}\sim {\sqrt {\frac {v-1}{v(1-G)}}}\left({\frac {v-1}{v-G}}\right)^{n-k}{\frac {k^{n}}{n^{k}}}e^{k(1-G)}\left({n \atop k}\right),}$

где , и является единственным решением . ^[14] Относительная ошибка ограничена примерно . ${\displaystyle v=n/k}$ ${\displaystyle G\in (0,1)}$ ${\displaystyle G=ve^{G-v}}$ ${\displaystyle 0.066/n}$

Максимум для фиксированного n

При фиксированном имеет единственный максимум, который достигается не более чем для двух последовательных значений k . То есть существует целое число такое, что ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ ${\displaystyle k_{n}}$

${\displaystyle \left\{{n \atop 1}\right\}<\left\{{n \atop 2}\right\}<\cdots <\left\{{n \atop k_{n}}\right\}\geq \left\{{n \atop k_{n}+1}\right\}>\cdots >\left\{{n \atop n}\right\}.}$

Глядя на таблицу значений выше, первые несколько значений : ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle 0,1,1,2,2,3,3,4,4,4,5,\ldots }$

Когда большой ${\displaystyle n}$

${\displaystyle k_{n}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n}{\log n}},}$

а максимальное значение числа Стирлинга можно аппроксимировать формулой

${\displaystyle \log \left\{{n \atop k_{n}}\right\}=n\log n-n\log \log n-n+O(n\log \log n/\log n).}$ ^[12]

Приложения

Моменты распределения Пуассона

Если X — случайная величина с распределением Пуассона с ожидаемым значением λ, то ее n- й момент равен

${\displaystyle E(X^{n})=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\lambda ^{k}.}$

В частности, n- й момент распределения Пуассона с ожидаемым значением 1 — это в точности количество разбиений множества размера n , т. е. это n -е число Белла (этот факт и есть формула Добиньского ).

Моменты неподвижных точек случайных перестановок

Пусть случайная величина X — это количество неподвижных точек равномерно распределенной случайной перестановки конечного множества размера m . Тогда n- й момент X равен

${\displaystyle E(X^{n})=\sum _{k=0}^{m}\left\{{n \atop k}\right\}.}$

Примечание. Верхняя граница суммирования равна m , а не n .

Другими словами, n- й момент этого распределения вероятностей — это количество разбиений множества размера n не более чем на m частей. Это доказано в статье о статистике случайных перестановок , хотя обозначения немного другие.

Схемы рифмований

Числа Стирлинга второго рода могут представлять общее количество схем рифм для стихотворения из n строк. дает количество возможных схем рифмования для n строк с использованием k уникальных рифмующихся слогов. Например, для стихотворения из 3 строк предусмотрена 1 схема рифмы с использованием всего одной рифмы (ааа), 3 схемы рифмы с использованием двух рифм (ааб, аба, абб) и 1 схема рифмы с использованием трех рифм (abc). ${\displaystyle S(n,k)}$

Варианты

r -числа Стирлинга второго рода

r - число Стирлинга второго рода подсчитывает количество разбиений набора из n объектов на k непустые непересекающиеся подмножества, так что первые r элементов находятся в разных подмножествах. ^[15] Эти числа удовлетворяют рекуррентному соотношению ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}_{r}}$

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}_{r}=k\left\{{n-1 \atop k}\right\}_{r}+\left\{{n-1 \atop k-1}\right\}_{r}}$

Некоторые комбинаторные тождества и связь между этими числами и контекстно-свободными грамматиками можно найти в ^[16].

Ассоциированные числа Стирлинга второго рода

Число Стирлинга второго рода, связанное с r, — это количество способов разбить набор из n объектов на k подмножеств, каждое из которых содержит не менее r элементов. ^[17] Оно обозначается и подчиняется рекуррентному соотношению ${\displaystyle S_{r}(n,k)}$

${\displaystyle S_{r}(n+1,k)=k\ S_{r}(n,k)+{\binom {n}{r-1}}S_{r}(n-r+1,k-1)}$

2-ассоциированные числа (последовательность A008299 в OEIS ) появляются в других местах как «числа Уорда» и как величины коэффициентов полиномов Малера .

Приведенные числа Стирлинга второго рода

Обозначим n объектов, подлежащих разбиению, целыми числами 1, 2, ..., n . Определите приведенные числа Стирлинга второго рода, обозначаемые , как количество способов разбить целые числа 1, 2, ..., n на k непустые подмножества так, что все элементы в каждом подмножестве имеют попарное расстояние не менее d . То есть для любых целых чисел i и j в данном подмножестве требуется, чтобы . Было показано, что эти числа удовлетворяют ${\displaystyle S^{d}(n,k)}$ ${\displaystyle |i-j|\geq d}$

${\displaystyle S^{d}(n,k)=S(n-d+1,k-d+1),n\geq k\geq d}$

(отсюда и название «редуцированный»). ^[18] Заметим (как по определению, так и по формуле приведения), что , знакомые числа Стирлинга второго рода. ${\displaystyle S^{1}(n,k)=S(n,k)}$

Смотрите также

• Число Стирлинга
• Числа Стирлинга первого рода
• Номер колокола - количество разделов набора из n членов.
• Полиномы Стирлинга
• Двенадцатикратный путь
• Учебные материалы, связанные с числовыми треугольниками, связанными с разделами, в Викиверситете

Рекомендации

1. Рональд Л. Грэм, Дональд Э. Кнут, Орен Паташник (1988) Конкретная математика , Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс. ISBN  0-201-14236-8 , с. 244.
2. «Числа Стирлинга второго рода, теорема 3.4.1».
3. Как ни странно, обозначения, которые комбинатористы используют для падающих факториалов, совпадают с обозначениями, используемыми в специальных функциях для возрастающих факториалов; см. символ Поххаммера .
4. Преобразование рядов с помощью варианта чисел Стирлинга, Имануэль Маркс, The American Mathematical Monthly 69 , № 6 (июнь – июль 1962 г.), стр. 530–532, JSTOR  2311194.
5. Антонио Салмери, Introduzione alla teoria dei коэффициенты Fattoriali, Giornale di Matematiche di Battaglini 90 (1962), стр. 44–54.
6. Кнут, DE (1992), «Два примечания к обозначениям», Amer. Математика. Ежемесячно , 99 (5): 403–422, arXiv : math/9205211 , Bibcode : 1992math......5211K, doi : 10.2307/2325085, JSTOR  2325085, S2CID  119584305
7. Дональд Э. Кнут, Фундаментальные алгоритмы , Ридинг, Массачусетс: Аддисон – Уэсли, 1968.
8. с. 66, Дональд Э. Кнут, Фундаментальные алгоритмы , 3-е изд., Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, 1997.
9. Джован Карамата, Теоремы о экспоненциальной соммабилити и других соммабилитах, Mathematica (Клуж) 9 (1935), стр, 164–178.
10. Спруньоли, Ренцо (1994), «Массивы Риордана и комбинаторные суммы» (PDF) , Discrete Mathematics , 132 (1–3): 267–290, doi : 10.1016/0012-365X(92)00570-H , MR  1297386
11. Чан, О-Йит; Манна, Данте (2010), «Сравнения для чисел Стирлинга второго рода» (PDF) , Gems in Experimental Mathematics , Contemporary Mathematics, vol. 517, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 97–111, номер документа : 10.1090/conm/517/10135, MR  2731094.
12. Ренни, Британская Колумбия; Добсон, Эй Джей (1969). «О числах Стирлинга второго рода». Журнал комбинаторной теории . 7 (2): 116–121. дои : 10.1016/S0021-9800(69)80045-1 . ISSN  0021-9800.
13. LC Hsu , Примечание об асимптотическом разложении n-й разности нуля, AMS Vol.19 NO.2 1948, стр. 273–277
14. Н. М. Темме, Асимптотические оценки чисел Стирлинга, ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ 89: 233-243 (1993), Elsevier Science Publishing.
15. Бродер, А. (1984). Числа г-Стирлинга. Дискретная математика 49, 241-259
16. Триана, Дж. (2022). r-числа Стирлинга второго рода через контекстно-свободные грамматики. Журнал автоматов, языков и комбинаторики 27(4), 323-333
17. Л. Конте, Продвинутая комбинаторика , Рейдель, 1974, с. 222.
18. А. Мор и Т.Д. Портер, Применения хроматических полиномов с участием чисел Стирлинга , Журнал комбинаторной математики и комбинаторных вычислений 70 (2009), 57–64.

• Бояджиев, Христо (2012). «Близкие встречи с числами Стирлинга второго рода». Журнал «Математика» . 85 (4): 252–266. arXiv : 1806.09468 . дои : 10.4169/math.mag.85.4.252. S2CID  115176876..

• «Числа Стирлинга второго рода». ПланетаМатематика ..
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Стирлинга второго рода». Математический мир .
• Калькулятор чисел Стирлинга второго рода
• Установить разделы: числа Стирлинга
• Джек ван дер Эльсен (2005). Черно-белые трансформации . Маастрихт. ISBN 90-423-0263-1.