числа Эйлера

Integers occurring in the coefficients of the Taylor series of 1/cosh t

В математике числа Эйлера представляют собой последовательность _целых чисел En (последовательность A122045 в OEIS ) , определяемую разложением в ряд Тейлора.

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$,

где – гиперболический косинус . Числа Эйлера связаны со специальным значением полиномов Эйлера , а именно: ${\displaystyle \cosh(t)}$

${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

Числа Эйлера появляются в разложении секущей и гиперболической секущей функций в ряд Тейлора . Последняя является функцией в определении. Они также встречаются в комбинаторике , в частности при подсчете количества попеременных перестановок множества с четным числом элементов.

Примеры

Все числа Эйлера с нечетным индексом равны нулю . Чётные индексы (последовательность A028296 в OEIS ) имеют чередующиеся знаки. Некоторые значения:

Некоторые авторы переиндексируют последовательность, чтобы опустить нечетные числа Эйлера со значением ноль или изменить все знаки на положительные (последовательность A000364 в OEIS ). Данная статья соответствует принятой выше конвенции.

Явные формулы

В терминах чисел Стирлинга второго рода

Следующие две формулы выражают числа Эйлера через числа Стирлинга второго рода ^{[1] [2]}

${\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(\ell )}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )}\right),}$

${\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )},}$

где обозначает числа Стирлинга второго рода , а обозначает возрастающий факториал . ${\displaystyle S(n,\ell )}$ ${\displaystyle x^{(\ell )}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)}$

В виде двойной суммы

Следующие две формулы выражают числа Эйлера в виде двойных сумм ^[3]

${\displaystyle E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},}$

${\displaystyle E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.}$

Как повторная сумма

Явная формула для чисел Эйлера: ^[4]

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}$

где i обозначает мнимую единицу с i ² = −1 .

Как сумма по разделам

Число Эйлера E _{2 n} можно выразить как сумму по четным разбиениям 2 n , [ ^5]

${\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}$

а также сумма по нечетным разбиениям 2 n − 1 , ^[6]

${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}$

где в обоих случаях K = k ₁ + ··· + k _n и

${\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

является полиномиальным коэффициентом . Дельты Кронекера в приведенных выше формулах ограничивают суммы по k s до 2 k ₁ + 4 k ₂ + ··· + 2 nk _n = 2 n и до k ₁ + 3 k ₂ + ··· + (2 n − 1) k _n = 2 n − 1 соответственно.

В качестве примера,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}$

В качестве определяющего фактора

E _{2 n} определяется определителем

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Как интеграл

E _{2 n} также определяется следующими интегралами:

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Сравнения

В. Чжан ^[7] получил следующие комбинационные тождества относительно чисел Эйлера: для любого простого числа имеем ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{if }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{if }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}$

В. Чжан и З. Сюй ^[8] доказали, что для любого простого и целого числа мы имеем ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$

${\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}$

где – функция Эйлера . ${\displaystyle \phi (n)}$

Асимптотическое приближение

Числа Эйлера растут довольно быстро для больших индексов, поскольку они имеют следующую нижнюю границу

${\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}$

Зигзагообразные числа Эйлера

Ряд Тейлора _ _ ${\displaystyle \sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}$

где An _— зигзагообразные числа Эйлера , начиная с

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (последовательность A000111 в OEIS )

Для всех четных n ,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},}$

где Е _н — число Эйлера; и для всех нечетных n

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}$

где B _n — число Бернулли .

Для каждого n

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.}$^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

• Номер звонка
• число Бернулли
• Бета-функция Дирихле
• Константа Эйлера – Маскерони

Рекомендации

1. Джа, Сумит Кумар (2019). «Новая явная формула для чисел Бернулли, включающая число Эйлера». Московский журнал комбинаторики и теории чисел . 8 (4): 385–387. дои :10.2140/москва.2019.8.389. S2CID  209973489.
2. Джа, Сумит Кумар (15 ноября 2019 г.). «Новая явная формула чисел Эйлера через числа Стирлинга второго рода».
3. Вэй, Чун-Фу; Ци, Фэн (2015). «Несколько замкнутых выражений для чисел Эйлера». Журнал неравенств и приложений . 219 (2015). дои : 10.1186/s13660-015-0738-9 .
4. Тан, Росс (11 мая 2012 г.). «Явная формула для зигзагообразных чисел Эйлера (числа вверх/вниз) из степенного ряда» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 апреля 2014 г.
5. Велла, Дэвид К. (2008). «Явные формулы для чисел Бернулли и Эйлера». Целые числа . 8 (1): А1.
6. Маленфант, Дж. (2011). «Конечные выражения в замкнутой форме для статистической суммы и чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга». arXiv : 1103.1585 [math.NT].
7. Чжан, WP (1998). «Некоторые тождества, включающие Эйлера и центральные факториалы» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 36 (4): 154–157. Архивировано (PDF) из оригинала 23 ноября 2019 г.
8. Чжан, WP; Сюй, ZF (2007). «К гипотезе о числах Эйлера». Журнал теории чисел . 127 (2): 283–291. дои : 10.1016/j.jnt.2007.04.004 .

Внешние ссылки

• «Числа Эйлера», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Эйлера». Математический мир .