Ряды, частичные суммы которых в конечном итоге имеют только фиксированное число членов после сокращения
В математике телескопический ряд — это ряд , общий член которого имеет вид , т. е. разность двух последовательных членов последовательности . [1]
В результате частичные суммы состоят только из двух членов после сокращения. [2] [3] Метод сокращения, при котором часть каждого члена сокращается с частью следующего члена, известен как метод разностей .
Раннее утверждение формулы для суммы или частичных сумм телескопического ряда можно найти в работе Эванджелиста Торричелли 1644 года « О размерах парабол» . [4]
Определение
Телескопические суммы — это конечные суммы, в которых пары последовательных членов отменяют друг друга, оставляя только начальный и конечный члены. [5] Пусть — последовательность чисел. Тогда,
поскольку сходится к 0, результирующая сумма дает:
Еще примеры
Многие тригонометрические функции также допускают представление в виде разности, что позволяет производить телескопическое сокращение между последовательными членами.
Некоторые суммы вида , где f и g — полиномиальные функции , частное которых можно разбить на простейшие дроби , не будут допускать суммирования этим методом. В частности, проблема в том, что члены не сокращаются.
Пусть k — положительное целое число. Тогда где H k — k-й гармонический номер . Все члены после 1/( k − 1) сокращаются.
Пусть k,m, где k m — положительные целые числа. Тогда
Приложения
В теории вероятностей процесс Пуассона — это стохастический процесс, простейший случай которого включает «появления» в случайные моменты времени, время ожидания до следующего появления имеет экспоненциальное распределение без памяти , а число «появлений» в любом временном интервале имеет распределение Пуассона , ожидаемое значение которого пропорционально длине временного интервала. Пусть X t — число «появлений» до момента времени t , а T x — время ожидания до x -го «появления». Мы ищем функцию плотности вероятности случайной величины T x . Мы используем функцию массы вероятности для распределения Пуассона, которая говорит нам, что
где λ — среднее число событий в любом временном интервале длиной 1. Заметьте, что событие { X t ≥ x} такое же, как и событие { T x ≤ t }, и, таким образом, они имеют одинаковую вероятность. Интуитивно, если что-то происходит по крайней мере раз до времени , мы должны ждать максимум до события. Поэтому искомая нами функция плотности равна
Телескопическое произведение — это конечное произведение (или частичное произведение бесконечного произведения), которое можно сократить методом частных, чтобы в конечном итоге получить только конечное число множителей. [6] [7] Это конечные произведения, в которых последовательные члены сокращают знаменатель с числителем, оставляя только начальный и конечный члены. Пусть — последовательность чисел. Тогда,
если сходится к 1, то полученное произведение дает:
Например, бесконечное произведение [6]
упрощается как
Ссылки
^ Апостол, Том (1967). Calculus, Том 1 (Второе издание). John Wiley & Sons. С. 386.
↑ Том М. Апостол , Calculus, том 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, страницы 422–423.
^ Брайан С. Томсон и Эндрю М. Брукнер, Элементарный вещественный анализ, второе издание , CreateSpace, 2008, стр. 85
^ Weil, André (1989). «Предыстория дзета-функции». В Aubert, Karl Egil ; Bombieri, Enrico ; Goldfeld, Dorian (ред.). Теория чисел, формулы следов и дискретные группы: симпозиум в честь Атле Сельберга, Осло, Норвегия, 14–21 июля 1987 г. . Бостон, Массачусетс: Academic Press. стр. 1–9. doi :10.1016/B978-0-12-067570-8.50009-3. MR 0993308.
^ Weisstein, Eric W. "Телескопическая сумма". MathWorld . Wolfram.
^ ab "Telescoping Series - Product". Brilliant Math & Science Wiki . Brilliant.org . Получено 9 февраля 2020 г. .
^ Богомольный, Александр. «Телескопические суммы, ряды и произведения». Cut the Knot . Получено 9 февраля 2020 г.