Численная теория относительности — это один из разделов общей теории относительности , который использует численные методы и алгоритмы для решения и анализа задач. С этой целью суперкомпьютеры часто используются для изучения черных дыр , гравитационных волн , нейтронных звезд и многих других явлений, описываемых общей теорией относительности Эйнштейна . В настоящее время активной областью исследований в области численной теории относительности является моделирование релятивистских двойных систем и связанных с ними гравитационных волн.
Основная цель численной теории относительности — изучение пространства-времени , точная форма которого неизвестна. Пространство-время, найденное таким образом с помощью вычислений, может быть полностью динамическим , стационарным или статичным и может содержать поля материи или вакуум. В случае стационарных и статических решений численные методы также могут быть использованы для исследования устойчивости равновесного пространства-времени. В случае динамического пространства-времени проблему можно разделить на проблему начального значения и проблему эволюции, каждая из которых требует разных методов.
Численная теория относительности применяется, например, во многих областях, таких как космологические модели , критические явления , возмущенные черные дыры и нейтронные звезды , а также слияние черных дыр и нейтронных звезд. В любом из этих случаев уравнения Эйнштейна можно сформулировать несколькими способами, которые позволяют нам развивать динамику. Хотя методы Коши получили большую часть внимания, также использовались характеристические методы и методы, основанные на исчислении Редже . Все эти методы начинаются со снимка гравитационных полей на некоторой гиперповерхности , исходных данных, и развивают эти данные на соседние гиперповерхности. [1]
Как и во всех задачах численного анализа, пристальное внимание уделяется устойчивости и сходимости численных решений. В этом направлении большое внимание уделяется калибровочным условиям , координатам и различным формулировкам уравнений Эйнштейна, а также влиянию, которое они оказывают на возможность получения точных численных решений.
Исследования в области численной теории относительности отличаются от работы над классическими теориями поля , поскольку многие методы, реализованные в этих областях, неприменимы в теории относительности. Однако многие аспекты являются общими с крупномасштабными проблемами в других вычислительных науках, таких как вычислительная гидродинамика , электромагнетизм и механика твердого тела. Численные релятивисты часто работают с прикладными математиками и черпают идеи из численного анализа , научных вычислений , уравнений в частных производных и геометрии , а также из других математических областей специализации.
Альберт Эйнштейн опубликовал свою теорию общей теории относительности в 1915 году. [2] Она, как и его более ранняя теория специальной теории относительности , описывала пространство и время как единое пространство-время , подчиняющееся тому, что сейчас известно как уравнения поля Эйнштейна . Они образуют набор связанных нелинейных уравнений в частных производных (ЧДУ). Спустя более чем 100 лет с момента первой публикации теории известно относительно мало решений в замкнутой форме для уравнений поля, и большинство из них являются космологическими решениями, которые предполагают специальную симметрию для уменьшения сложности уравнений.
Область численной теории относительности возникла из-за желания построить и изучить более общие решения уравнений поля путем приближенного численного решения уравнений Эйнштейна. Необходимым предшественником таких попыток было разложение пространства-времени обратно на отдельные пространство и время. Впервые это было опубликовано Ричардом Арновиттом , Стэнли Дезером и Чарльзом Миснером в конце 1950-х годов в рамках так называемого формализма ADM . [3] Хотя по техническим причинам точные уравнения, сформулированные в оригинальной статье ADM, редко используются в численном моделировании, большинство практических подходов к числовой теории относительности используют «3+1 разложение» пространства-времени на трехмерное пространство и одномерное время, что тесно связана с формулировкой ADM, поскольку процедура ADM переформулирует уравнения поля Эйнштейна в задачу с ограниченным начальным значением , которую можно решить с использованием вычислительных методологий .
В то время, когда ADM опубликовали свою первоначальную статью, компьютерные технологии не поддерживали численное решение их уравнений ни для одной задачи сколько-нибудь существенного размера. Первой задокументированной попыткой численного решения уравнений поля Эйнштейна была предпринята Ханом и Линдквистом в 1964 году, [4] вскоре после этого последовали Смарр [5] [6] и Эппли. [7] Эти ранние попытки были сосредоточены на развитии данных Мизнера в области осевой симметрии (также известной как «2+1 измерения»). Примерно в то же время Цви Пиран написал первый код, который разработал систему с гравитационным излучением с использованием цилиндрической симметрии. [8] В этом расчете Пиран заложил основу для многих концепций, используемых сегодня при разработке уравнений ADM, таких как «свободная эволюция» и «ограниченная эволюция», [ необходимы пояснения ] , которые имеют дело с фундаментальной проблемой обработки уравнений ограничений, которые возникают в формализме ADM. Применение симметрии снизило требования к вычислительным ресурсам и памяти, связанные с проблемой, что позволило исследователям получать результаты на доступных в то время суперкомпьютерах .
Первые реалистичные расчеты вращающегося коллапса были выполнены в начале восьмидесятых годов Ричардом Старком и Цви Пираном [9] , в которых впервые были рассчитаны формы гравитационных волн, возникающие в результате образования вращающейся черной дыры. В течение почти 20 лет после получения первоначальных результатов других опубликованных результатов в области численной теории относительности было довольно мало, вероятно, из-за отсутствия достаточно мощных компьютеров для решения этой проблемы. В конце 1990-х годов Альянс Binary Black Hole Grand Challenge успешно смоделировал лобовое столкновение двойной черной дыры . На этапе постобработки группа рассчитала горизонт событий для пространства-времени. Этот результат все еще требовал введения и использования осевой симметрии в расчетах. [10]
Некоторые из первых задокументированных попыток решить уравнения Эйнштейна в трех измерениях были сосредоточены на единственной черной дыре Шварцшильда , которая описывается статическим и сферически симметричным решением уравнений поля Эйнштейна. Это обеспечивает превосходный тестовый пример в числовой теории относительности, поскольку он имеет решение в замкнутой форме, так что численные результаты можно сравнить с точным решением, поскольку оно статично и содержит одну из наиболее сложных в численном отношении особенностей теории относительности: физическая сингулярность . Одной из первых групп, попытавшихся смоделировать это решение, была Anninos et al. в 1995 году. [11] В своей статье они отмечают, что
В последующие годы компьютеры не только стали более мощными, но и различные исследовательские группы разработали альтернативные методы повышения эффективности вычислений. Что касается конкретно моделирования черных дыр, то были разработаны два метода, позволяющие избежать проблем, связанных с существованием физических особенностей в решениях уравнений: (1) вырезание и (2) метод «прокола». Кроме того, группа Lazarus разработала методы использования ранних результатов кратковременного моделирования, решающего нелинейные уравнения ADM, чтобы предоставить исходные данные для более стабильного кода, основанного на линеаризованных уравнениях, полученных из теории возмущений . В более общем смысле, методы адаптивного измельчения сетки , уже используемые в вычислительной гидродинамике, были внедрены в область численной теории относительности.
В методе вырезания, который был впервые предложен в конце 1990-х годов [12] , часть пространства-времени внутри горизонта событий , окружающего сингулярность черной дыры, просто не развивается. Теоретически это не должно влиять на решение уравнений за пределами горизонта событий из-за принципа причинности и свойств горизонта событий (т.е. ничто физическое внутри черной дыры не может влиять на физику за пределами горизонта). Таким образом, если кто-то просто не решает уравнения внутри горизонта, он все равно должен быть в состоянии получить действительные решения снаружи. Внутреннюю часть «вырезают», налагая входящие граничные условия на границу, окружающую сингулярность, но внутри горизонта. Хотя применение иссечения оказалось очень успешным, у этого метода есть две незначительные проблемы. Во-первых, нужно быть осторожным с условиями координат. Физические эффекты не могут распространяться изнутри наружу, но эффекты координат могут распространяться. Например, если бы координаты были эллиптическими, изменения координат внутри могли бы мгновенно распространиться за горизонт. Тогда это означает, что для распространения координатных эффектов необходимы координатные условия гиперболического типа с характеристическими скоростями, меньшими, чем у света (например, использование координатных условий гармонических координат). Вторая проблема заключается в том, что по мере движения черных дыр необходимо постоянно корректировать положение области вырезания, чтобы она двигалась вместе с черной дырой.
Техника вырезания разрабатывалась в течение нескольких лет, включая разработку новых калибровочных условий, повышающих стабильность, и работу, демонстрирующую способность областей вырезания перемещаться по расчетной сетке. [13] [14] [15] [16] [17] [18] Первая стабильная долгосрочная эволюция орбиты и слияние двух черных дыр с использованием этого метода была опубликована в 2005 году. [19]
В методе прокола решение разбивается на аналитическую часть [20] , содержащую сингулярность черной дыры, и численно построенную часть, которая в этом случае не содержит сингулярностей. Это обобщение рецепта Брилла-Линдквиста [21] для начальных данных покоящихся черных дыр, которое может быть обобщено до рецепта Боуэна-Йорка [22] для начальных данных вращающихся и движущихся черных дыр. До 2005 года все опубликованные сведения об использовании метода проколов требовали, чтобы координаты всех проколов оставались фиксированными в ходе моделирования. Конечно, черные дыры, находящиеся близко друг к другу, будут стремиться двигаться под действием силы тяжести, поэтому тот факт, что координатное положение прокола оставалось фиксированным, означал, что сами системы координат становились «растянутыми» или «искривленными», и это обычно приводило к численным нестабильностям на некотором этапе моделирования.
В 2005 году группа исследователей впервые продемонстрировала способность позволять проколам перемещаться по системе координат, тем самым устранив некоторые из более ранних проблем с этим методом. Это позволило провести точную долгосрочную эволюцию черных дыр. [19] [23] [24] Путем выбора подходящих координатных условий и принятия грубых аналитических предположений о полях вблизи сингулярности (поскольку никакие физические эффекты не могут распространяться за пределы черной дыры, грубость приближений не имеет значения), численные решения можно было бы решить проблему двух черных дыр, вращающихся вокруг друг друга, а также точно вычислить испускаемое ими гравитационное излучение (рябь в пространстве-времени). 2005 год был переименован в « annus mirabilis » численной теории относительности, через 100 лет после annus mirabilis специальной теории относительности (1905 г.).
Проект «Лазарь» (1998–2005 гг.) был разработан как метод после «Большого вызова» для извлечения астрофизических результатов из недолговечных полных численных моделей двойных черных дыр. Он объединил методы аппроксимации до (постньютоновские траектории) и после (возмущения одиночных черных дыр) с полным численным моделированием, пытаясь решить уравнения поля Общей теории относительности. [25] Все предыдущие попытки численного интегрирования на суперкомпьютерах уравнений Гильберта-Эйнштейна, описывающих гравитационное поле вокруг двойных черных дыр, приводили к сбою программного обеспечения еще до того, как одиночный виток был завершен.
Тем временем подход Лазаруса дал лучшее понимание проблемы двойной черной дыры и дал многочисленные и относительно точные результаты, такие как излучаемая энергия и угловой момент, испускаемый в последнем состоянии слияния, [26] [27] линейный момент излучаемые дырками с неравной массой, [28] и окончательная масса и спин оставшейся черной дыры. [29] Этот метод также рассчитал подробные гравитационные волны, испускаемые в процессе слияния, и предсказал, что столкновение черных дыр является самым энергичным событием во Вселенной, высвобождающим за долю секунды больше энергии в виде гравитационного излучения, чем столкновение черных дыр. всю галактику за время ее существования.
Адаптивное уточнение сетки (AMR) как численный метод имеет корни, выходящие далеко за рамки его первого применения в области численной теории относительности. Уточнение сетки впервые появляется в литературе по числовой относительности в 1980-х годах благодаря работе Чоптуика в его исследованиях критического коллапса скалярных полей . [30] [31] Первоначальная работа была в одном измерении, но впоследствии она была расширена до двух измерений. [32] В двух измерениях AMR также применялся для изучения неоднородных космологий , [33] [34] и для изучения черных дыр Шварцшильда . [35] В настоящее время этот метод стал стандартным инструментом в числовой теории относительности и использовался для изучения слияния черных дыр и других компактных объектов в дополнение к распространению гравитационного излучения , генерируемого такими астрономическими событиями. [36] [37]
За последние несколько лет [ когда? ] , были опубликованы сотни исследовательских работ, которые привели к широкому спектру математической теории относительности, гравитационных волн и астрофизических результатов для проблемы орбитальной черной дыры. Этот метод распространился на астрофизические двойные системы, включающие нейтронные звезды и черные дыры [38] и множественные черные дыры. [39] Одно из самых удивительных предсказаний заключается в том, что слияние двух черных дыр может придать оставшейся дыре скорость до 4000 км/с, что может позволить ей покинуть любую известную галактику. [40] [41] Моделирование также предсказывает огромное высвобождение гравитационной энергии в этом процессе слияния, составляющее до 8% от общей массы покоя. [42]
{{cite book}}
: |work=
игнорируется ( помощь ){{cite book}}
: |work=
игнорируется ( помощь )CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ){{cite book}}
: |work=
игнорируется ( помощь )CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )