Алгебраическое число

Комплексное число, являющееся корнем ненулевого многочлена от одной переменной с рациональными коэффициентами.

Квадратный корень из 2 — алгебраическое число, равное длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1.

Алгебраическое число — это число, которое является корнем ненулевого многочлена от одной переменной с целыми (или, что то же самое, рациональными ) коэффициентами. Например, золотое сечение является алгебраическим числом, поскольку оно является корнем многочлена x ² − x − 1 . То есть это значение x, для которого полином равен нулю. Другой пример: комплексное число является алгебраическим, поскольку оно является корнем x ⁴ + 4 . ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$ ${\displaystyle 1+i}$

Все целые и рациональные числа являются алгебраическими, как и все корни целых чисел . Действительные и комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, такие как π и e , называются трансцендентными числами .

Множество алгебраических чисел счетно бесконечно и имеет нулевую меру по мере Лебега как подмножество несчетных комплексных чисел . В этом смысле почти все комплексные числа трансцендентны .

Примеры

• Все рациональные числа алгебраические. Любое рациональное число, выраженное как частное целого числа a и (ненулевого) натурального числа b , удовлетворяет приведенному выше определению, поскольку x =а/бявляется корнем ненулевого многочлена, а именно bx − a . ^[1]
• Квадратичные иррациональные числа , иррациональные решения квадратичного многочлена ax ² + bx + c с целыми коэффициентами a , b и c , являются алгебраическими числами. Если квадратичный многочлен является моническим ( a = 1 ), корни далее квалифицируются как квадратичные целые числа .
  • Гауссовы целые числа , комплексные числа a + bi , для которых a и b являются целыми числами, также являются квадратичными целыми числами. Это потому, что a + bi и a − bi являются двумя корнями квадратного x ² − 2 ax + a ² + b ² .
• Конструктивное число можно составить из заданной единичной длины с помощью линейки и циркуля. Он включает в себя все квадратичные иррациональные корни, все рациональные числа и все числа, которые можно образовать из них с помощью основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. (При обозначении сторон света для +1, −1, + i и − i комплексные числа, такие как, считаются конструктивными.) ${\displaystyle 3+i{\sqrt {2}}}$
• Любое выражение, составленное из алгебраических чисел с использованием любой комбинации основных арифметических операций и извлечения корней n -й степени , дает другое алгебраическое число.
• Полиномиальные корни, которые невозможно выразить с помощью основных арифметических операций и извлечения корней n -й степени (например, корней x ⁵ − x + 1 ). Это происходит со многими , но не со всеми полиномами степени 5 и выше.
• Значения тригонометрических функций рациональных кратных π (кроме случаев, когда они не определены): например, cosπ/7, потому что3 π/7и потому что5 π/7удовлетворить 8 Икс ³ - 4 Икс ² - 4 Икс + 1 знак равно 0 . Этот многочлен неприводим к рациональным числам, поэтому три косинуса являются сопряженными алгебраическими числами. Аналогично, загар3 π/16, загар7 π/16, загар11 π/16и загар15 π/16удовлетворяют неприводимому многочлену x ⁴ − 4 x ³ − 6 x ² + 4 x + 1 = 0 , и поэтому являются сопряженными алгебраическими целыми числами . Это эквивалент углов, которые, измеряемые в градусах, имеют рациональные числа. ^{[ нужна цитата ]}
• Некоторые, но не все иррациональные числа являются алгебраическими:
  • Числа и являются алгебраическими, поскольку являются корнями многочленов x ² − 2 и 8 x ³ − 3 соответственно. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$
  • Золотое сечение φ является алгебраическим, поскольку оно является корнем многочлена x ² − x − 1 .
  • Числа π и e не являются алгебраическими числами (см. теорему Линдеманна–Вейерштрасса ). ^[2]

Характеристики

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные по степени (ярко-оранжевый/красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

• Если многочлен с рациональными коэффициентами умножить на наименьший общий знаменатель , то полученный многочлен с целыми коэффициентами будет иметь одинаковые корни. Это показывает, что алгебраическое число можно эквивалентным образом определить как корень многочлена с целыми или рациональными коэффициентами.
• Учитывая алгебраическое число, существует уникальный монический многочлен с рациональными коэффициентами наименьшей степени , имеющий корень этого числа. Этот многочлен называется его минимальным многочленом . Если его минимальный многочлен имеет степень n , то говорят, что алгебраическое число имеет степень n . Например, все рациональные числа имеют степень 1, а алгебраическое число степени 2 является квадратичным иррациональным .
• Алгебраические числа плотны в действительных числах . Это следует из того, что они содержат рациональные числа, плотные в самих действительных числах.
• Множество алгебраических чисел счетно (перечислимо), ^{[3] [4]} и, следовательно, его мера Лебега как подмножества комплексных чисел равна 0 (по сути, алгебраические числа не занимают места в комплексных числах). То есть «почти все» действительные и комплексные числа трансцендентны.
• Все алгебраические числа вычислимы и, следовательно, определимы и арифметичны .
• Для действительных чисел a и b комплексное число a + bi является алгебраическим тогда и только тогда, когда оба a и b являются алгебраическими. ^[5]

Поле

Алгебраические числа, раскрашенные по степени (синий = 4, голубой = 3, красный = 2, зелёный = 1). Единичный круг черный.

Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель ненулевой) двух алгебраических чисел снова является алгебраическим, что можно продемонстрировать с помощью результирующего , и таким образом алгебраические числа образуют поле ^[6] (иногда обозначаемое , но обычно это обозначает кольцо аделей ). Каждый корень полиномиального уравнения, коэффициентами которого являются алгебраические числа, снова является алгебраическим. Это можно перефразировать, сказав, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто . Фактически, это наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее рациональные числа, и поэтому оно называется алгебраическим замыканием рациональных чисел. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$

Связанные поля

Числа, определяемые радикалами

Любое число, которое можно получить из целых чисел с помощью конечного числа сложений , вычитаний , умножений , делений и извлечения (возможно, комплексных) корней n-й степени, где n — положительное целое число, является алгебраическим. Обратное, однако, неверно: существуют алгебраические числа, которые невозможно получить таким способом. Эти числа являются корнями многочленов степени 5 или выше, что является результатом теории Галуа (см. Уравнения Квинтика и теорему Абеля – Руффини ). Например, уравнение:

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

имеет единственный действительный корень, который нельзя выразить только через радикалы и арифметические операции.

Номер закрытой формы

Алгебраические числа — это все числа, которые можно явно или неявно определить с помощью многочленов, начиная с рациональных чисел. Это можно обобщить на « числа замкнутой формы », которые можно определить различными способами. В более широком смысле все числа, которые могут быть определены явно или неявно с помощью полиномов, экспонент и логарифмов, называются « элементарными числами », и к ним относятся алгебраические числа, а также некоторые трансцендентные числа. В более узком смысле можно рассматривать числа, явно определенные в терминах полиномов, экспонент и логарифмов – сюда не входят все алгебраические числа, но входят некоторые простые трансцендентные числа, такие как e или ln 2 .

Алгебраические целые числа

Алгебраические числа, окрашенные старшим коэффициентом (красный означает 1 для целого алгебраического числа)

Целое алгебраическое число — это алгебраическое число, которое является корнем многочлена с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1 ( монический многочлен ). Примерами целых алгебраических чисел являются и. Следовательно, целые алгебраические числа составляют собственное надмножество целых чисел , поскольку последние являются корнями монических многочленов x − k для всех . В этом смысле целые алгебраические числа относятся к алгебраическим числам так же, как целые числа относятся к рациональным числам . ${\displaystyle 5+13{\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle 2-6i,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

Сумма, разность и произведение целых алгебраических чисел снова являются целыми алгебраическими числами, а это означает, что целые алгебраические числа образуют кольцо . Название «алгебраическое целое число» происходит от того факта, что единственными рациональными числами, которые являются алгебраическими целыми числами, являются целые числа, а также потому, что целые алгебраические числа в любом числовом поле во многом аналогичны целым числам. Если K — числовое поле, его кольцо целых чисел является подкольцом целых алгебраических чисел в K и часто обозначается _как OK . Это прототипические примеры доменов Дедекинда .

Специальные классы

• Алгебраическое решение
• Гауссово целое число
• целое число Эйзенштейна
• Квадратичное иррациональное число
• Основная единица
• Корень единства
• Гауссов период
• Число Писо – Виджаярагавана
• Салемский номер

Примечания

1. Некоторые из следующих примеров взяты из работы Hardy & Wright (1972, стр. 159–160, 178–179).
2. Кроме того, теорему Лиувилля можно использовать для «приведения любого количества примеров трансцендентных чисел», ср. Харди и Райт (1972, стр. 161 и далее)
3. Харди и Райт 1972, с. 160, 2008:205.
4. Нивен 1956, Теорема 7.5..
5. Нивен 1956, Следствие 7.3..
6. Нивен 1956, с. 92.

Рекомендации

• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл, ISBN 0-13-004763-5, МР  1129886
• Харди, Годфри Гарольд ; Райт, Эдвард М. (1972), Введение в теорию чисел (5-е изд.), Оксфорд: Clarendon, ISBN 0-19-853171-0
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990) [1-е изд. 1982], Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Берлин: Springer, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN. 0-387-97329-Х, МР  1070716
• Ланг, Серж (2002) [1-е изд. 1965], Алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556
• Нивен, Иван М. (1956), Иррациональные числа , Математическая ассоциация Америки
• Оре, Эйстейн (1948), Теория чисел и ее история , Нью-Йорк: McGraw-Hill