Число Дотти

Математическая константа, связанная с функцией косинуса

Число Дотти — это единственная действительная неподвижная точка косинуса .

В математике число Дотти — это константа , которая является единственным вещественным корнем уравнения.

${\displaystyle \cos x=x}$,

где аргумент выражен в радианах . ${\displaystyle \cos }$

Десятичное разложение числа Дотти равно . ^[1] ${\displaystyle 0.739085133215160641655312087673873404...}$

Поскольку убывает и ее производная отлична от нуля при , она пересекает ноль только в одной точке. Это означает, что уравнение имеет только одно вещественное решение. Это единственная вещественная неподвижная точка функции косинуса и нетривиальный пример универсальной притягивающей неподвижной точки. Это также трансцендентное число согласно теореме Линдеманна-Вейерштрасса . ^[2] Обобщенный случай комплексной переменной имеет бесконечно много корней, но в отличие от числа Дотти они не притягивают неподвижные точки. ${\displaystyle \cos(x)-x}$ ${\displaystyle \cos(x)-x=0}$ ${\displaystyle \cos(x)=x}$ ${\displaystyle \cos z=z}$ ${\displaystyle z}$

Решение квадрисекции круга на четыре части одной площади с хордами, выходящими из одной точки, можно выразить через число Дотти.

Используя ряд Тейлора , обратный at (или, что эквивалентно, теорему об обращении Лагранжа ), число Дотти можно выразить в виде бесконечного ряда . Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин браузера): Неверный ответ («Расширение Math невозможно подключиться к Restbase.") с сервера "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\textstyle \frac{\pi}{2}+\sum_{n\,\ mathrm{odd}} a_{n} \pi^{n}} где каждое является рациональным числом , определенным для нечетного n как ^{[3] [4] [5] [nb 1]} ${\displaystyle f(x)=\cos(x)-x}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}$

Название константы происходит от имени профессора французского языка по имени Дотти, которая наблюдала число, неоднократно нажимая кнопку косинуса на своем калькуляторе. ^[3]

Если калькулятор настроен на измерение углов в градусах , последовательность чисел вместо этого будет сходиться к , ^[6] корню . ${\displaystyle 0.999847...}$ ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{180}}x\right)=x}$

Число Дотти, для которого точное разложение в ряд можно получить с помощью формулы Фаа ди Бруно, имеет интересную связь с задачами Кеплера и круга Бертрана. ^[7]

Закрытая форма

Число Дотти можно выразить как

${\displaystyle D={\sqrt {1-\left(2I_{\frac {1}{2}}^{-1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)-1\right)^{2}}},}$

где – обратная регуляризованная бета-функция .[1] Это значение можно получить с помощью уравнения Кеплера , а также других эквивалентных замкнутых форм. ^[8] ${\displaystyle I^{-1}}$

В таблицах Microsoft Excel и LibreOffice Calc число Дотти может быть выражено в закрытой форме как . В системе компьютерной алгебры Mathematica число Дотти равно .SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2,1/2,3/2)-1)^2) Sqrt[1 - (2 InverseBetaRegularized[1/2, 1/2, 3/2] - 1)^2]

Интегральные представления

Число Дотти можно представить как

${\displaystyle D={\sqrt {1-\left(1-\left(\int _{0}^{\infty }{\frac {32(z-\sinh(z))^{2}+24\pi ^{2}}{\left(4(z-\sinh(z))^{2}+3\pi ^{2}\right)^{2}+16\pi ^{2}(z-\sinh(z))^{2}}}\,dz\right)^{-1}\right)^{2}}}}$.[2]

Или как

${\displaystyle D={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {2\pi \cosh(x)+\pi ^{2}}{x^{2}+\cosh ^{2}(x)}}+1\right)\,dx}$

Примечания

1. Каплан не дает явной формулы для членов ряда, что тривиально следует из теоремы обращения Лагранжа .

Рекомендации

1. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003957». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
2. Эрик В. Вайсштейн . «Номер Дотти».
3. Каплан, Сэмюэл Р. (февраль 2007 г.). «Число Дотти» (PDF) . Журнал «Математика» . 80:73 . дои :10.1080/0025570X.2007.11953455. S2CID  125871044 . Проверено 29 ноября 2017 г.
4. "OEIS A302977 Числители рационального множителя ряда Каплана для числа Дотти" . oeis.org . Проверено 26 мая 2019 г.
5. "A306254 - OEIS" . oeis.org . Проверено 22 июля 2019 г.
6. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A330119». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
7. Боль, Жан-Кристоф (2023). «Точное разложение в ряд числа Дотти». arXiv : 2303.17962 .
8. Гайдаш, Тима (23 февраля 2022 г.). "Почему Dottie$=2\sqrt{I^{-1}_\frac12(\frac 12,\frac 32)-I^{-1}_\frac12(\frac 12,\frac 32)^2} = \sin^{-1}\big(1-2I^{-1}_\frac12(\frac 12,\frac 32)\big)$?". Математический обмен стеками . Проверено 11 августа 2023 г.

Внешние ссылки

• Миллер, TH (февраль 1890 г.). «О числовых значениях корней уравнения cosx = x». Труды Эдинбургского математического общества . 9 : 80–83. дои : 10.1017/S0013091500030868 .
• Салов, Валерий (2012). «Неизбежное число Дотти. Итералы косинуса и синуса». arXiv : 1212.1027 .
• Азарян, Мохаммад К. (2008). «О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ И НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ ЕЕ СОСТАВНЫХ ФУНКЦИЙ» (PDF) . Международный журнал чистой и прикладной математики .