Номер обмотки

Сколько раз кривая обходит точку на плоскости

Эта кривая имеет виток номер два вокруг точки p .

В математике число витков или индекс витков замкнутой кривой на плоскости вокруг данной точки представляет собой целое число , представляющее общее количество раз, которое кривая проходит вокруг точки против часовой стрелки, т. е. количество витков кривой . Для некоторых кривых с открытой плоскостью количество витков может быть нецелым. Число витков зависит от ориентации кривой и является отрицательным , если кривая движется вокруг точки по часовой стрелке.

Числа витков являются фундаментальными объектами изучения алгебраической топологии и играют важную роль в векторном исчислении , комплексном анализе , геометрической топологии , дифференциальной геометрии и физике (например, в теории струн ).

Интуитивное описание

Объект, движущийся по красной кривой, делает два оборота против часовой стрелки вокруг человека в начале координат.

Предположим, нам дана замкнутая ориентированная кривая в плоскости xy . Мы можем представить кривую как путь движения некоторого объекта, ориентация которого указывает направление движения объекта. Тогда число витков кривой равно общему числу оборотов против часовой стрелки, которые делает объект вокруг начала координат.

При подсчете общего количества оборотов движение против часовой стрелки считается положительным, а движение по часовой стрелке – отрицательным. Например, если объект сначала обходит начало координат четыре раза против часовой стрелки, а затем обходит начало координат один раз по часовой стрелке, то общее количество витков кривой равно трем.

Используя эту схему, кривая, которая вообще не движется вокруг начала координат, имеет нулевой номер витка, а кривая, которая движется по часовой стрелке вокруг начала координат, имеет отрицательный номер витка. Следовательно, номер витка кривой может быть любым целым числом . На следующих рисунках показаны кривые с номерами витков от −2 до 3:

Формальное определение

Пусть – непрерывный замкнутый путь на плоскости минус одна точка. Число оборотов вокруг является целым числом ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,a)=s(1)-s(0),}$

где путь, записанный в полярных координатах, т.е. поднятый путь через карту покрытия ${\displaystyle (\rho ,s)}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(\rho _{0},s_{0})\mapsto a+\rho _{0}e^{i2\pi s_{0}}.}$

Число витков хорошо определено благодаря существованию и единственности поднятого пути (с учетом начальной точки в покрывающем пространстве), а также потому, что все слои имеют форму (поэтому приведенное выше выражение не зависит от выбора начальной точки точка). Это целое число, поскольку путь закрыт. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )}$

Альтернативные определения

Число витков часто определяется по-разному в разных разделах математики. Все приведенные ниже определения эквивалентны приведенному выше:

Александр нумерация

Простое комбинаторное правило для определения числа обмотки было предложено Августом Фердинандом Мёбиусом в 1865 году ^[1] и снова независимо Джеймсом Уодделлом Александром II в 1928 году . ^[2] Любая кривая разбивает плоскость на несколько связанных областей, одна из которых неограничена. Числа витков кривой вокруг двух точек в одной и той же области равны. Число витков вокруг (любой точки) неограниченной области равно нулю. Наконец, числа витков для любых двух соседних областей отличаются ровно на 1; область с большим номером витка появляется на левой стороне кривой (по отношению к движению вниз по кривой).

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии параметрические уравнения обычно считаются дифференцируемыми (или, по крайней мере, кусочно-дифференцируемыми). В этом случае полярная координата θ связана с прямоугольными координатами x и y уравнением:

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Это находится путем дифференцирования следующего определения для θ:

${\displaystyle \theta (t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}}$

Согласно фундаментальной теореме исчисления , общее изменение θ равно интегралу от dθ . Поэтому мы можем выразить число витков дифференцируемой кривой как линейный интеграл :

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,0)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).}$

Одноформа dθ (определенная в дополнении к началу координат) замкнута , но не точна и порождает первую группу когомологий де Рама проколотой плоскости . В частности, если ω — любая замкнутая дифференцируемая форма, определенная в дополнении к началу координат, то интеграл от ω по замкнутым контурам дает кратное число витков.

Комплексный анализ

Числа витков играют очень важную роль в комплексном анализе (см. формулировку теоремы о вычетах ). В контексте комплексного анализа число витков замкнутой кривой в комплексной плоскости можно выразить через комплексную координату z = x + iy . В частности, если мы напишем z  =  re ^iθ , то ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }$

и поэтому

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}$

Поскольку это замкнутая кривая, общее изменение равно нулю, и, таким образом, интеграл равен умноженному на общее изменение . Поэтому число витков замкнутого пути вокруг начала координат определяется выражением ^[3] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \ln(r)}$ ${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}$

В более общем смысле, если это замкнутая кривая, параметризованная , число витков около , также известное как индекс по отношению к , определяется для комплекса как ^[4] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt.}$

Это частный случай знаменитой интегральной формулы Коши .

Некоторые основные свойства числа витков в комплексной плоскости даются следующей теоремой: ^[5]

Теорема. Пусть – замкнутый путь и пусть – множество дополнений к образу , то есть . Тогда индекс по , ${\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}$$

является (i) целочисленным, т. е. для всех ; (ii) константа по каждому компоненту (т. е. максимальному связному подмножеству) ; и (iii) ноль, если находится в неограниченной компоненте . ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle z\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega }$

Как непосредственное следствие, эта теорема дает число витков кругового пути вокруг точки . Как и ожидалось, число витков подсчитывает количество витков (против часовой стрелки), сделанных вокруг : ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$

Следствие. Если путь определяется , то ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}$

Топология

В топологии число витков является альтернативным термином для обозначения степени непрерывного отображения . В физике числа витков часто называют топологическими квантовыми числами . В обоих случаях применяется одна и та же концепция.

Приведенный выше пример кривой, обвивающей точку, имеет простую топологическую интерпретацию. Дополнение точки на плоскости гомотопически эквивалентно кругу , так что на самом деле все, что нужно учитывать, — это отображения круга в себя . Можно показать, что каждое такое отображение может быть непрерывно деформировано (гомотопно) к одному из стандартных отображений , где умножение в окружности определяется путем отождествления его с комплексной единичной окружностью. Совокупность гомотопических классов отображений окружности в топологическое пространство образует группу , которая называется первой гомотопической группой или фундаментальной группой этого пространства. Основная группа круга — это группа целых чисел Z ; а число витков комплексной кривой — это всего лишь ее гомотопический класс. ${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$

Отображения 3-сферы в себя также классифицируются целым числом, которое также называют числом витков или иногда индексом Понтрягина .

Число поворотов

Эта кривая имеет общую кривизну 6 π , номер поворота 3, хотя у нее есть только виток с номером 2 вокруг p .

Можно также учитывать число витков пути по отношению к касательной самого пути. Поскольку путь проходит во времени, это будет номер витка относительно начала вектора скорости. В этом случае пример, показанный в начале этой статьи, имеет номер обмотки 3, поскольку учитывается малая петля .

Это определено только для погруженных путей (т. е. для дифференцируемых путей с никуда не исчезающими производными) и является степенью тангенциального отображения Гаусса .

Это называется числом поворота , числом вращения , ^[6] индексом вращения ^[7] или индексом кривой и может быть вычислено как общая кривизна, деленная на 2 π .

Полигоны

В полигонах число поворотов называется плотностью полигонов . Для выпуклых многоугольников и, в более общем смысле, простых многоугольников (не самопересекающихся) плотность равна 1 по теореме Жордана о кривой . Напротив, для правильного звездчатого многоугольника { p / q } плотность равна q .

Пространственные кривые

Число поворотов невозможно определить для пространственных кривых, поскольку степень требует соответствия размеров. Однако для локально выпуклых кривых в замкнутом пространстве можно определить знак поворота касательной как , где - число поворота стереографической проекции ее касательной индикатрисы . Два его значения соответствуют двум невырожденным гомотопическим классам локально выпуклых кривых. ^{[8] [9]} ${\displaystyle (-1)^{d}}$ ${\displaystyle d}$

Число обмотки и уравнения ферромагнетика Гейзенберга

Число обмотки тесно связано с (2 + 1)-мерным непрерывным уравнением Гейзенберга для ферромагнетика и его интегрируемыми расширениями: уравнением Ишимори и т. д. Решения последних уравнений классифицируются по числу обмотки или топологическому заряду ( топологический инвариант и/или топологический заряд). квантовое число ).

Приложения

Визуализация алгоритма числа витков Дэна Сандея. Число витков 0 означает, что точка находится за пределами многоугольника; другие значения указывают, что точка находится внутри многоугольника

Точка в многоугольнике

Число витков точки относительно многоугольника можно использовать для решения задачи «точка в многоугольнике » (PIP), то есть его можно использовать для определения, находится ли точка внутри многоугольника или нет.

Как правило, алгоритм распределения лучей является лучшей альтернативой задаче PIP, поскольку он не требует тригонометрических функций, в отличие от алгоритма числа витков. Тем не менее, алгоритм числа оборотов можно ускорить, чтобы он также не требовал вычислений с использованием тригонометрических функций. ^[10] Ускоренная версия алгоритма, также известная как алгоритм Санди, рекомендуется в тех случаях, когда необходимо учитывать и непростые многоугольники.

Смотрите также

• Принцип аргументации
• Парадокс вращения монеты
• Коэффициент связи
• Ненулевое правило
• Плотность полигонов
• Теорема о вычетах
• Символ Шлефли
• Теория топологической степени
• Топологическое квантовое число
• Твист (математика)
• Петля Вильсона
• корчиться

Рекомендации

1. Мёбиус, август (1865 г.). «Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders». Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse . 17 : 31–68.
2. Александр, JW (апрель 1928 г.). «Топологические инварианты узлов и связей». Труды Американского математического общества . 30 (2): 275–306. дои : 10.2307/1989123 . JSTOR  1989123.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Число намотки контура». Математический мир . Проверено 7 июля 2022 г.
4. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. МакГроу-Хилл. п. 201. ИСБН 0-07-054235-Х.
5. Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 203. ИСБН 0-07-054234-1.
6. Абельсон, Гарольд (1981). Геометрия черепахи: компьютер как средство изучения математики . МТИ Пресс. п. 24.
7. Ду Карму, Манфредо П. (1976). «5. Глобальная дифференциальная геометрия». Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Прентис-Холл. п. 393. ИСБН 0-13-212589-7.
8. Фельдман, Э.А. (1968). «Деформации кривых замкнутого пространства». Журнал дифференциальной геометрии . 2 (1): 67–75. дои : 10.4310/jdg/1214501138 . S2CID  116999463.
9. Минарчик, Иржи; Бенеш, Михал (2022). «Невырожденная гомотопия и геометрические потоки». Гомология, гомотопия и приложения . 24 (2): 255–264. arXiv : 1807.01540 . doi : 10.4310/HHA.2022.v24.n2.a12. S2CID  252274622.
10. Воскресенье, Дэн (2001). «Включение точки в многоугольник». Архивировано из оригинала 26 января 2013 года.

Внешние ссылки

• Число витков в PlanetMath .