Трансцендентное число

В математике — неалгебраическое число.

В математике трансцендентное число — это действительное или комплексное число , которое не является алгебраическим : то есть не является корнем ненулевого многочлена с целыми (или, что эквивалентно, рациональными ) коэффициентами . Наиболее известными трансцендентными числами являются π и e . ^{[1] [2]} Свойство числа быть трансцендентным называется трансцендентностью .

Хотя известно лишь несколько классов трансцендентных чисел, отчасти потому, что может быть чрезвычайно сложно доказать, что заданное число является трансцендентным, трансцендентные числа не являются редкостью: действительно, почти все действительные и комплексные числа являются трансцендентными, поскольку алгебраические числа образуют счетное множество , в то время как множество действительных чисел и множество комплексных чисел являются несчетными множествами и, следовательно, больше любого счетного множества.

Все трансцендентные действительные числа (также известные как действительные трансцендентные числа или трансцендентные иррациональные числа ) являются иррациональными числами , поскольку все рациональные числа являются алгебраическими. ^{[3] [4] [5] [6]} Обратное неверно : не все иррациональные числа являются трансцендентными. Следовательно, множество действительных чисел состоит из неперекрывающихся множеств рациональных, алгебраических нерациональных и трансцендентных действительных чисел. ^[3] Например, квадратный корень из 2 является иррациональным числом, но он не является трансцендентным числом, поскольку является корнем полиномиального уравнения x ² − 2 = 0. Золотое сечение (обозначаемое или ) является другим иррациональным числом, которое не является трансцендентным, поскольку является корнем полиномиального уравнения x ² − x − 1 = 0 . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$

История

Название «трансцендентный» происходит от латинского trānscendere  «взбираться выше или выше, преодолевать» ^{[7] и впервые} было использовано для математического понятия в работе Лейбница 1682 года, в которой он доказал, что sin x не является алгебраической функцией x . ^[8] Эйлер в восемнадцатом веке, вероятно, был первым человеком, который определил трансцендентные числа в современном смысле. ^[9]

Иоганн Генрих Ламберт в своей работе 1768 года, доказывающей иррациональность числа π , высказал предположение, что e и π являются трансцендентными числами , и предложил предварительный набросок доказательства того, что число π является трансцендентным. ^[10]

Жозеф Лиувилль впервые доказал существование трансцендентных чисел в 1844 году ^[11] , а в 1851 году привел первые десятичные примеры, такие как константа Лиувилля.

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\[2pt]&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\[4pt]&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}}$$

в котором n- я цифра после десятичной точки равна 1, если n равно k ! ( k factorial ) для некоторого k и 0 в противном случае. ^[12] Другими словами, n- я цифра этого числа равна 1, только если n является одним из чисел 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 и т. д. Лиувилль показал, что это число принадлежит к классу трансцендентных чисел, которые могут быть более точно приближены рациональными числами , чем любое иррациональное алгебраическое число, и этот класс чисел называется числами Лиувилля , названными в его честь. Лиувилль показал, что все числа Лиувилля являются трансцендентными. ^[13]

Первым числом, трансцендентность которого была доказана без специального построения с целью доказательства существования трансцендентных чисел, было число e , созданное Шарлем Эрмитом в 1873 году.

В 1874 году Георг Кантор доказал, что алгебраические числа счетны, а действительные числа несчетны. Он также дал новый метод построения трансцендентных чисел. ^[14] Хотя это уже подразумевалось его доказательством счетности алгебраических чисел, Кантор также опубликовал конструкцию, которая доказывает, что существует столько же трансцендентных чисел, сколько и действительных чисел. ^[a] Работа Кантора установила повсеместность трансцендентных чисел.

В 1882 году Фердинанд фон Линдеманн опубликовал первое полное доказательство того, что π трансцендентно. Он впервые доказал, что e ^a трансцендентно, если a — ненулевое алгебраическое число. Тогда, поскольку e ^iπ = −1 является алгебраическим числом (см. тождество Эйлера ), iπ должно быть трансцендентным. Но поскольку i является алгебраическим числом, то π должно быть трансцендентным. Этот подход был обобщен Карлом Вейерштрассом до того, что сейчас известно как теорема Линдемана–Вейерштрасса . Трансцендентность π подразумевает, что геометрические построения, включающие только циркуль и линейку, не могут дать определенных результатов, например, квадратуру круга .

В 1900 году Дэвид Гильберт поставил вопрос о трансцендентных числах, седьмую проблему Гильберта : если a — алгебраическое число , которое не равно нулю или единице, а b — иррациональное алгебраическое число, является ли a ^b обязательно трансцендентным? Утвердительный ответ был дан в 1934 году теоремой Гельфонда–Шнайдера . Эта работа была расширена Аланом Бейкером в 1960-х годах в его работе о нижних оценках линейных форм от любого числа логарифмов (алгебраических чисел). ^[16]

Характеристики

Трансцендентное число — это (возможно, комплексное) число, которое не является корнем никакого целого многочлена. Каждое действительное трансцендентное число также должно быть иррациональным , поскольку рациональное число является корнем целого многочлена первой степени . ^[17] Множество трансцендентных чисел несчетно бесконечно . Поскольку многочлены с рациональными коэффициентами счетны , и поскольку каждый такой многочлен имеет конечное число нулей , алгебраические числа также должны быть счетными. Однако диагональный аргумент Кантора доказывает, что действительные числа (и, следовательно, также комплексные числа ) несчетны. Поскольку действительные числа являются объединением алгебраических и трансцендентных чисел, невозможно, чтобы оба подмножества были счетными. Это делает трансцендентные числа несчетными.

Ни одно рациональное число не является трансцендентным, а все действительные трансцендентные числа являются иррациональными. Иррациональные числа содержат все действительные трансцендентные числа и подмножество алгебраических чисел, включая квадратичные иррациональные числа и другие формы алгебраических иррациональных чисел.

Применение любой непостоянной однопеременной алгебраической функции к трансцендентному аргументу дает трансцендентное значение. Например, зная, что π трансцендентно, можно немедленно вывести, что такие числа, как , , , и также являются трансцендентными. ${\displaystyle 5\pi }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi -3}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle ({\sqrt {\pi }}-{\sqrt {3}})^{8}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi ^{5}+7}}}$

Однако алгебраическая функция нескольких переменных может дать алгебраическое число при применении к трансцендентным числам, если эти числа не являются алгебраически независимыми . Например, π и (1 − π ) оба являются трансцендентными, но π + (1 − π ) = 1, очевидно, не является таковым. Неизвестно, является ли, например, e + π трансцендентным, хотя по крайней мере одно из e + π и eπ должно быть трансцендентным. В более общем смысле, для любых двух трансцендентных чисел a и b по крайней мере одно из a + b и ab должно быть трансцендентным. Чтобы увидеть это, рассмотрим многочлен ( x − a )( x − b ) = x ² − ( a + b ) x + ab  . Если бы ( a + b ) и ab были оба алгебраическими, то это был бы многочлен с алгебраическими коэффициентами. Поскольку алгебраические числа образуют алгебраически замкнутое поле , это означало бы, что корни многочлена, a и b , должны быть алгебраическими. Но это противоречие, и, таким образом, должно быть так, что по крайней мере один из коэффициентов является трансцендентным.

Невычислимые числа являются строгим подмножеством трансцендентных чисел.

Все числа Лиувилля трансцендентны, но не наоборот. Любое число Лиувилля должно иметь неограниченные неполные частные в своем разложении в цепную дробь . Используя аргумент подсчета, можно показать, что существуют трансцендентные числа, которые имеют ограниченные неполные частные и, следовательно, не являются числами Лиувилля.

Используя явное разложение цепной дроби e , можно показать, что e не является числом Лиувилля (хотя неполные частные в его разложении цепной дроби неограниченны). Курт Малер показал в 1953 году, что π также не является числом Лиувилля. Предполагается, что все бесконечные цепные дроби с ограниченными членами, которые имеют «простую» структуру и которые не являются в конечном счете периодическими, являются трансцендентными ^[18] (другими словами, алгебраические иррациональные корни по крайней мере полиномов третьей степени не имеют очевидной закономерности в своих разложениях цепной дроби, поскольку в конечном счете периодические цепные дроби соответствуют квадратичным иррациональным числам, см. задачу Эрмита ).

Числа, доказавшие свою трансцендентность

Числа, доказанные как трансцендентные:

• π (по теореме Линдеманна–Вейерштрасса ).
• ${\displaystyle e^{a}}$если является алгебраическим и ненулевым (по теореме Линдемана–Вейерштрасса), в частности числом Эйлера e . ${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$где — положительное целое число; в частности, постоянная Гельфонда (по теореме Гельфонда–Шнайдера ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$
• Алгебраические комбинации и такие как и (следуя из их алгебраической независимости ). ^[19] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}},n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \pi +e^{\pi }}$ ${\displaystyle \pi e^{\pi }}$
• ${\displaystyle a^{b}}$где — алгебраическое число, но не 0 или 1, а — иррациональное алгебраическое число, в частности, константа Гельфонда–Шнайдера (по теореме Гельфонда–Шнайдера). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$
• Натуральный логарифм, если является алгебраическим и не равен 0 или 1, для любой ветви функции логарифма (по теореме Линдемана–Вейерштрасса). ${\displaystyle \ln(a)}$ ${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle \log _{b}(a)}$если и — положительные целые числа, не являющиеся степенями одного и того же целого числа, и не равно 1 (по теореме Гельфонда–Шнайдера). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$
• Все числа вида являются трансцендентными, где являются алгебраическими для всех и являются ненулевыми алгебраическими для всех (по теореме Бейкера ). ${\displaystyle \pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$

• Тригонометрические функции и их гиперболические аналоги для любого ненулевого алгебраического числа , выраженные в радианах (по теореме Линдемана–Вейерштрасса). ${\displaystyle \sin(x),\cos(x),...}$ ${\displaystyle x}$
• Ненулевые результаты обратных тригонометрических функций и их гиперболических аналогов для любого алгебраического числа (по теореме Линдемана–Вейерштрасса). ${\displaystyle \arcsin(x),\arccos(x),...}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \pi ^{-1}{\arctan(x)}}$, для рациональных таких, что . ^[20] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\notin \{0,\pm {1}\}}$
• Неподвижная точка функции косинуса (также называемая числом Дотти ) – единственное действительное решение уравнения , где в радианах (по теореме Линдемана–Вейерштрасса). ^[21] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \cos(x)=x}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle W(a)}$если является алгебраической и отличной от нуля, для любой ветви функции Ламберта W (по теореме Линдемана–Вейерштрасса), в частности, омега-константы Ω . ${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle W(r,a)}$если и порядок являются алгебраическими, такими, что , для любой ветви обобщенной функции Ламберта W. ^[22] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$квадратный суперкорень любого натурального числа является либо целым числом, либо трансцендентным (по теореме Гельфонда–Шнайдера).
• Значения гамма-функции рациональных чисел, которые имеют вид или . ^[23] ${\displaystyle \Gamma (n/2),\Gamma (n/3),\Gamma (n/4)}$ ${\displaystyle \Gamma (n/6)}$
• Алгебраические комбинации и или и такие, как константа лемнискаты (следующая из их соответствующих алгебраических независимости). ^[19] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \varpi }$
• Значения бета-функции, если и являются нецелыми рациональными числами. ^[24] ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a+b}$
• Функция Бесселя первого рода , ее первая производная и частное являются трансцендентными, когда является рациональной, а является алгебраической и не равной нулю, ^[25] и все ненулевые корни и являются трансцендентными, когда является рациональной. ^[26] ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$ ${\displaystyle J'_{\nu }(x)}$ ${\displaystyle \nu }$
• Число , где и — функции Бесселя, а — постоянная Эйлера–Маскерони . ^{[27] [28]} ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \gamma }$
• Любое число Лиувилля , в частности: постоянная Лиувилля.
• Числа с большой мерой иррациональности , такие как константа Чамперноуна (по теореме Рота ). ${\displaystyle C_{10}}$
• Числа, искусственно созданные так, чтобы не быть алгебраическими периодами . ^[29]
• Любое невычислимое число , в частности: постоянная Чайтина .
• Построил иррациональные числа, которые не являются просто нормальными в любой системе счисления. ^[30]
• Любое число, цифры которого относительно некоторого фиксированного основания образуют слово Штурма . ^[31]
• Константа Пруэ-Туэ-Морса ^[32] и связанная с ней константа кролика. ^[33]
• Константа Коморника –Лорети . ^[34]
• Константа складывания бумаги (также называемая «гауссовым числом Лиувилля»). ^[35]
• Значения бесконечного ряда с быстрой скоростью сходимости , определенные Y. Gao и J. Gao, такие как . ^[36] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}}$
• Числа вида и Для b > 1 , где — функция пола . ^{[11] [37] [38] [39] [40] [41]} ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-b^{k}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor b^{k}\right\rfloor }}$ ${\displaystyle b\mapsto \lfloor b\rfloor }$

• Любое число вида (где , — многочлены от переменных , а , — алгебраическое число, а , — любое целое число больше 1). ^[42] ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}(\beta ^{r^{n}})}{F_{n}(\beta ^{r^{n}})}}}$ ${\displaystyle E_{n}(z)}$ ${\displaystyle F_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle r}$
• Числа и с двумя различными десятичными цифрами, чьи ненулевые позиции цифр задаются последовательностью Мозера–де Брейна и ее двойником. ^[43] ${\displaystyle \alpha =3.3003300000...}$ ${\displaystyle \alpha ^{-1}=0.3030000030...}$
• Значения непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана , где является алгебраической и . ^[44] Лемнискатные значения тета-функции (при тех же условиях для ) также являются трансцендентными. ^[45] ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<|q|<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$ ${\displaystyle {q}}$
• j ( q ), где— алгебраическая, но не мнимая квадратичная функция (т.е.исключительным множествомэтой функции является числовое поле, степень расширения которогоравна2). ${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Константы и в формуле для первого индекса появления последовательности Гейсвейта , где k — любое целое число больше 1. ^[46] ${\displaystyle \epsilon _{k}}$ ${\displaystyle \nu _{k}}$

Предполагаемые трансцендентные числа

Числа, для которых еще не доказано, что они являются трансцендентными или алгебраическими:

• Большинство нетривиальных комбинаций двух или более трансцендентных чисел сами по себе не известны как трансцендентные или даже иррациональные: eπ , e + π , π ^π , e ^e , π ^e , π ^{√ 2} , e ^{π 2} . Было показано, что как e + π , так и π / e не удовлетворяют никакому полиномиальному уравнению степени и целочисленных коэффициентов среднего размера 10 ⁹ . ^{[47] [48]} По крайней мере одно из чисел e ^e и e ^{e 2} является трансцендентным. ^[49] Гипотеза Шануэля подразумевала бы, что все вышеуказанные числа являются трансцендентными и алгебраически независимыми . ^[50] ${\displaystyle \leq 8}$
• Константа Эйлера -Маскерони γ : В 2010 году было показано, что бесконечный список констант Эйлера-Лемера (включая γ /4 ) содержит не более одного алгебраического числа. ^{[51] [52]} В 2012 году было показано, что по крайней мере одна из констант γ и Гомпертца δ является трансцендентной. ^[53]
• Значения дзета-функции Римана ζ (n) при нечетных положительных целых числах ; в частности, константа Апери ζ (3) , которая, как известно, иррациональна. Для других чисел ζ (5), ζ (7), ζ (9), ... даже это неизвестно. ${\displaystyle n\geq 3}$
• Значения бета-функции Дирихле β (n) при четных положительных целых числах ; в частности, константа Каталана β (2) . (ни одна из них не является иррациональной). ^[54] ${\displaystyle n\geq 2}$
• Значения гамма-функции Γ (1/n) для положительных целых чисел не известны как иррациональные, не говоря уже о трансцендентных. ^{[55] [56]} По крайней мере для одного из чисел Γ (1/n) и Γ (2/n) являются трансцендентными. ^[24] ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle n\geq 7}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Любое число, заданное каким-либо пределом , который не является явно алгебраическим. ^[56]

Доказательства для конкретных чисел

Доказательство того, чтоеявляется трансцендентным

Первое доказательство того, что основание натуральных логарифмов, e , является трансцендентным, датируется 1873 годом. Теперь мы будем следовать стратегии Давида Гильберта (1862–1943), который дал упрощение первоначального доказательства Шарля Эрмита . Идея заключается в следующем:

Предположим, с целью нахождения противоречия , что e является алгебраическим. Тогда существует конечный набор целочисленных коэффициентов c ₀ , c ₁ , ..., c _{n ,} удовлетворяющих уравнению: Трудно использовать целочисленный статус этих коэффициентов при умножении на степень иррационального e , но мы можем поглотить эти степени в интеграл, который «в основном» будет принимать целочисленные значения. Для положительного целого числа k определим многочлен и умножим обе части приведенного выше уравнения на , чтобы получить уравнение: $${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0~.}$$ $${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}(x)\,e^{-x}\,\mathrm {d} x\ ,}$$ $${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)=0~.}$$

Разделив соответствующие области интегрирования, это уравнение можно записать в виде , где Здесь P окажется целым числом, но, что более важно, оно быстро растет с k . $${\displaystyle P+Q=0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\end{aligned}}}$$

Лемма 1

Существуют произвольно большие k, такие, что — целое число, отличное от нуля. ${\displaystyle \ {\tfrac {P}{k!}}\ }$

Доказательство. Вспомним стандартный интеграл (случай гамма-функции ), действительный для любого натурального числа . В более общем смысле, $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{j}e^{-t}\,\mathrm {d} t=j!}$$ ${\displaystyle j}$

если то . ${\displaystyle g(t)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}t^{j}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=0}^{m}b_{j}j!}$

Это позволило бы нам вычислить точно, потому что любой член из можно переписать как с помощью замены переменных . Следовательно Эта последняя сумма является полиномом от с целыми коэффициентами, т.е. это линейная комбинация степеней с целыми коэффициентами. Следовательно, число является линейной комбинацией (с теми же целыми коэффициентами) факториалов ; в частности, является целым числом. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x=c_{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-(x-a)}\,\mathrm {d} x=\left\{{\begin{aligned}t&=x-a\\x&=t+a\\\mathrm {d} x&=\mathrm {d} t\end{aligned}}\right\}=c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$ $${\displaystyle P=\sum _{a=0}^{n}c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a){\biggr )}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{j}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j!}$ ${\displaystyle P}$

Меньшие факториалы делят большие факториалы, поэтому наименьший, встречающийся в этой линейной комбинации, также будет делить все . Мы получаем это из наименьшего члена степени, появляющегося с ненулевым коэффициентом в , но этот наименьший показатель степени также является кратностью как корня этого многочлена. выбран так, чтобы иметь кратность корня и кратность корней для , так что наименьший показатель степени равен и для с . Следовательно, делит . ${\displaystyle j!}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j!}$ ${\displaystyle t^{j}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle a=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle t^{k}}$ ${\displaystyle f_{k}(t)}$ ${\displaystyle t^{k+1}}$ ${\displaystyle f_{k}(t+a)}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle P}$

Чтобы установить последнее утверждение в лемме, которое отлично от нуля, достаточно доказать, что не делит . Для этого пусть будет любым простым числом, большим и . Из вышеизложенного мы знаем, что делит каждое из для , поэтому, в частности, все они делятся на . Это сводится к первому члену . У нас есть (см. падающие и растущие факториалы ) , и все эти члены более высокой степени порождают факториалы или больше. Следовательно, эта правая часть является произведением ненулевых целых множителей, меньших простого числа , поэтому это произведение не делится на , и то же самое справедливо для ; в частности, не может быть равно нулю. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |c_{0}|}$ ${\displaystyle (k+1)!}$ ${\displaystyle \textstyle c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle 1\leqslant a\leqslant n}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \textstyle c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$ $${\displaystyle f_{k}(t)=t^{k}{\bigl [}(t-1)\cdots (t-n){\bigr ]}^{k+1}={\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}t^{k}+{\text{higher degree terms}}}$$ ${\displaystyle (k+1)!}$ $${\displaystyle P\equiv c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t\equiv c_{0}{\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}k!{\pmod {(k+1)}}}$$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Лемма 2

При достаточно большом k , . ${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$

Доказательство. Обратите внимание, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}\left[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)\right]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}}$$

где u ( x ), v ( x ) являются непрерывными функциями x для всех x , поэтому ограничены на интервале [0, n ] . То есть существуют константы G , H > 0 такие, что

$${\displaystyle \ \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n~.}$$

Итак, каждый из этих интегралов, составляющих Q , ограничен, наихудший случай —

$${\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\ \mathrm {d} \ x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\ \mathrm {d} \ x=nG^{k}H~.}$$

Теперь можно также ограничить сумму Q :

$${\displaystyle |Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M\ ,}$$

где M — константа, не зависящая от k . Отсюда следует, что

$${\displaystyle \ \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty \ ,}$$

Завершение доказательства этой леммы.

Заключение

Выбор значения k , удовлетворяющего обеим леммам, приводит к ненулевому целому числу, добавленному к исчезающе малому количеству, равному нулю: невозможность. Из этого следует, что исходное предположение о том, что e может удовлетворять полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами, также невозможно; то есть e трансцендентно. ${\displaystyle \left({\tfrac {P}{k!}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {Q}{k!}}\right)}$

Трансцендентностьπ

Похожую стратегию, отличную от оригинального подхода Линдеманна , можно использовать для того, чтобы показать, что число π является трансцендентным. Помимо гамма-функции и некоторых оценок, как в доказательстве для e , факты о симметричных многочленах играют важную роль в доказательстве.

Подробную информацию о доказательствах трансцендентности чисел π и e см. в источниках и внешних ссылках.

Смотрите также

• Математический портал

• Теория трансцендентных чисел , изучение вопросов, связанных с трансцендентными числами.
• Трансцендентный элемент , обобщение трансцендентных чисел в абстрактной алгебре
• Теорема Гельфонда–Шнайдера
• Диофантово приближение
• Периоды — счетное множество чисел (включая все алгебраические и некоторые трансцендентные числа), которые можно определить с помощью интегральных уравнений.

Примечания

1. Конструкция Кантора устанавливает однозначное соответствие между множеством трансцендентных чисел и множеством действительных чисел. В этой статье Кантор применяет свою конструкцию только к множеству иррациональных чисел. ^[15]

Ссылки

1. Пиковер, Клифф. «15 самых известных трансцендентных чисел». sprott.physics.wisc.edu . Получено 23.01.2020 .
2. Шидловский, Андрей Б. (Июнь 2011). Трансцендентные числа . Вальтер де Грюйтер. стр. 1. ISBN 9783110889055.
3. Bunday, BD; Mulholland, H. (20 мая 2014 г.). Чистая математика для продвинутого уровня. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-1-4831-0613-7. Получено 21 марта 2021 г. .
4. Бейкер, А. (1964). «О классификации трансцендентных чисел Малера». Acta Mathematica . 111 : 97–120. doi : 10.1007/bf02391010 . S2CID  122023355.
5. Хойер, Николаус; Лёх, Клара (1 ноября 2019 г.). «Трансцендентальные симплициальные объёмы». arXiv : 1911.06386 [math.GT].
6. "Действительное число". Encyclopaedia Britannica . Mathica . Получено 2020-08-11 .
7. "трансцендентный". Оксфордский словарь английского языка . св
8. Лейбниц, Герхардт и Перц 1858, стр. 97–98; Бурбаки 1994, с. 74
9. Эрдёш и Дадли 1983
10. Ламберт 1768
11. Кемпнер 1916
12. "Weisstein, Eric W. "Константа Лиувилля", MathWorld".
13. Лиувилль 1851
14. Кантор 1874; Грей 1994
15. Кантор 1878, стр. 254
16. Бейкер, Алан (1998). Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон. www-history.mcs.st-andrews.ac.uk (биографии). Архив истории математики MacTutor. Сент-Эндрюс, Шотландия : Университет Сент-Эндрюс .
17. Харди 1979
18. Адамчевский и Бюжо 2005
19. Нестеренко, Ю В (1996-10-31). "Модулярные функции и вопросы трансцендентности". Сборник: Математика . 187 (9): 1319–1348. doi :10.1070/SM1996v187n09ABEH000158. ISSN  1064-5616.
20. Weisstein, Eric W. "Трансцендентное число". mathworld.wolfram.com . Получено 2023-08-09 .
21. Weisstein, Eric W. "Dottie Number". Wolfram MathWorld . Wolfram Research, Inc . Получено 23 июля 2016 г. .
22. Мезё, Иштван; Барич, Арпад (22 июня 2015 г.). «Об обобщении функции Ламберта W». arXiv : 1408.3999 [math.CA].
23. Чудновский, Г. (1984). Вклад в теорию трансцендентных чисел . Математические обзоры и монографии (на английском и русском языках). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1500-7.
24. Вальдшмидт, Мишель (7 сентября 2005 г.). «Трансцендентность периодов: современное состояние» (PDF) . webusers.imj-prg.fr .
25. Сигел, Карл Л. (2014). «Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen: Abhandlungen der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Физико-математический класс 1929, № 1». О некоторых приложениях диофантовых приближений (на немецком языке). Высшая нормальная школа. стр. 81–138. дои : 10.1007/978-88-7642-520-2_2. ISBN 978-88-7642-520-2.
26. Лорх, Ли; Малдун, Мартин Э. (1995). «Трансцендентность нулей высших производных функций, содержащих функции Бесселя». Международный журнал математики и математических наук . 18 (3): 551–560. doi : 10.1155/S0161171295000706 .
27. Малер, Курт; Морделл, Луис Джоэл (1968-06-04). «Применение теоремы А. Б. Шидловски». Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 305 (1481): 149–173. Bibcode : 1968RSPSA.305..149M. doi : 10.1098/rspa.1968.0111. S2CID  123486171.
28. Lagarias, Jeffrey C. (2013-07-19). «Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 527–628. arXiv : 1303.1856 . doi : 10.1090/S0273-0979-2013-01423-X . ISSN  0273-0979.
29. Ёсинага, Масахико (2008-05-03). «Периоды и элементарные действительные числа». arXiv : 0805.0349 [math.AG].
30. Бюжо 2012, стр. 113.
31. Пифей Фогг 2002
32. Малер 1929; Аллуш и Шалит 2003, с. 387
33. Weisstein, Eric W. "Rabbit Constant". mathworld.wolfram.com . Получено 2023-08-09 .
34. Аллуш, Жан-Поль; Коснар, Мишель (2000), «Константа Коморника–Лорети трансцендентна», American Mathematical Monthly , 107 (5): 448–449, doi :10.2307/2695302, JSTOR  2695302, MR  1763399
35. "A143347 - OEIS". oeis.org . Получено 2023-08-09 .
36. "A140654 - OEIS". oeis.org . Получено 2023-08-12 .
37. Адамчевский, Борис (март 2013 г.). «Многоликие лица числа Кемпнера». arXiv : 1303.1685 [math.NT].
38. Шаллит 1996
39. Адамчевский, Борис; Ривоаль, Танги (2009). «Меры иррациональности для некоторых автоматических действительных чисел». Математические труды Кембриджского философского общества . 147 (3): 659–678. doi :10.1017/S0305004109002643. ISSN  1469-8064.
40. Локстон 1988
41. Аллуш и Шалит 2003, стр. 385, 403.
42. Куросава, Такеши (2007-03-01). «Трансцендентность некоторых рядов, включающих бинарные линейные повторения». Журнал теории чисел . 123 (1): 35–58. doi : 10.1016/j.jnt.2006.05.019 . ISSN  0022-314X.
43. Бланшар и Мендес, Франция, 1982 г.
44. Дюверни, Дэниел; Нисиока, Кейджи; Нисиока, Кумико; Сиокава, Иеката (1997). «Трансцендентность непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана и обратных сумм чисел Фибоначчи». Труды Японской академии, серия A, Математические науки . 73 (7): 140–142. дои : 10.3792/pjaa.73.140 . ISSN  0386-2194.
45. Бертран, Даниэль (1997). «Тета-функции и трансцендентность». Журнал Рамануджана . 1 (4): 339–350. doi :10.1023/A:1009749608672. S2CID  118628723.
46. Ван де Поль, Леви. «Первое появление числа в последовательности Гейсвейта». arXiv : 2209.04657 .
47. Бейли, Дэвид Х. (1988). «Численные результаты трансцендентности констант, включающих $\pi, e$ и постоянную Эйлера». Математика вычислений . 50 (181): 275–281. doi :10.2307/2007931. ISSN  0025-5718.
48. Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com . Получено 2023-08-12 .
49. Браунауэлл, В. Дейл (1974-02-01). «Алгебраическая независимость некоторых чисел, связанных экспоненциальной функцией». Журнал теории чисел . 6 : 22–31. doi : 10.1016/0022-314X(74)90005-5 . ISSN  0022-314X.
50. Вальдшмидт, Мишель (2021). «Гипотеза Шануэля: алгебраическая независимость трансцендентных чисел» (PDF) .
51. Murty, M. Ram; Saradha, N. (2010-12-01). «Константы Эйлера–Лемера и гипотеза Эрдёша». Журнал теории чисел . 130 (12): 2671–2682. doi : 10.1016/j.jnt.2010.07.004 . ISSN  0022-314X.
52. Murty, M. Ram; Zaytseva, Anastasia (2013-01-01). «Трансцендентность обобщенных констант Эйлера». The American Mathematical Monthly . 120 (1): 48–54. doi :10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. ISSN  0002-9890. S2CID  20495981.
53. Ривоаль, Танги (2012). «Об арифметической природе значений гамма-функции, постоянной Эйлера и постоянной Гомпертца». Michigan Mathematical Journal . 61 (2): 239–254. doi : 10.1307/mmj/1339011525 . ISSN  0026-2285.
54. Ривоал, Т.; Зудилин, В. (1 августа 2003 г.). «Диофантовы свойства чисел, связанные с константой Каталана». Математические Аннален . 326 (4): 705–721. дои : 10.1007/s00208-003-0420-2. hdl : 1959.13/803688 . ISSN  1432-1807. S2CID  59328860.
55. "Математические константы". Математика (общая). Cambridge University Press . Получено 2022-09-22 .
56. Waldschmidt, Michel (2022). «Трансцендентальная теория чисел: последние результаты и открытые проблемы». Michel Waldschmidt .

Источники

• Адамчевский, Борис; Бюжо, Янн (2005). «О сложности алгебраических чисел II. Цепные дроби». Акта Математика . 195 (1): 1–20. arXiv : math/0511677 . Бибкод : 2005math.....11677A. дои : 10.1007/BF02588048. S2CID  15521751.
• Allouche, J.-P. [на французском] ; Shallit, J. (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-82332-6. Збл  1086.11015.
• Бейкер, А. (1990). Трансцендентальная теория чисел (мягкая обложка). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-20461-3. Збл  0297.10013.
• Бланшар, Андре; Мендес Франс, Мишель (1982). «Симетрия и трансцендентность». Бюллетень математических наук . 106 (3): 325–335. МР  0680277.
• Бурбаки, Н. (1994). Элементы истории математики . Springer. ISBN 9783540647676– через Интернет-архив.
• Бюжо, Янн (2012). Распределение по модулю один и диофантовы приближения . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 193. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-11169-0. Збл  1260.11001.
• Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (2004). Making transcendence transparent. Интуитивный подход к классической теории трансцендентных чисел . Springer . ISBN 978-0-387-21444-3. Збл  1092.11031.
• Calude, Cristian S. (2002). Информация и случайность: алгоритмическая перспектива . Тексты по теоретической информатике (2-е изд. и доп. изд.). Springer . ISBN 978-3-540-43466-5. Збл  1055.68058.
• Кантор, Г. (1874). «Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen алгебраишен Zahlen». Дж. Рейн Анжью. Математика. 77 : 258–262.
• Кантор, Г. (1878). «Эйн Бейтраг зур Маннигфальтигкеитслехре». Дж. Рейн Анжью. Математика. 84 : 242–258.
• Чудновский, Г. В. (1984). Вклад в теорию трансцендентных чисел . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-1500-7.
• Дэвисон, Дж. Лес; Шалит, ДЖО (1991). «Цепные дроби некоторых чередующихся рядов». Монашефте по математике . 111 (2): 119–126. дои : 10.1007/BF01332350. S2CID  120003890.
• Erdős, P. ; Dudley, U. (1983). «Некоторые замечания и проблемы в теории чисел, связанные с работой Эйлера» (PDF) . Mathematics Magazine . 56 (5): 292–298. CiteSeerX  10.1.1.210.6272 . doi :10.2307/2690369. JSTOR  2690369.
• Гельфонд, А. (1960) [1956]. Трансцендентные и алгебраические числа (переиздание). Довер.
• Грей, Роберт (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа». Amer. Math. Monthly . 101 (9): 819–832. doi :10.2307/2975129. JSTOR  2975129. Zbl  0827.01004 – через maa.org.
• Харди, ГХ (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. стр. 159. ISBN 0-19-853171-0.
• Хиггинс, Питер М. (2008). История чисел . Книги Коперника. ISBN 978-1-84800-001-8.
• Гильберт, Д. (1893). «Über die Transcendenz der Zahlen e und π {\displaystyle \pi }». Математические Аннален . 43 (2–3): 216–219. дои : 10.1007/BF01443645. S2CID  179177945.
• Кемпнер, Обри Дж. (1916). «О трансцендентных числах». Труды Американского математического общества . 17 (4): 476–482. doi : 10.2307/1988833 . JSTOR  1988833.
• Ламберт, Дж. Х. (1768). «Мемуар о примечательных свойствах трансцендентных, круговых и логарифмических величин». Мемуары Королевской академии наук Берлина : 265–322.
• Лейбниц, ГВ ; Герхардт, Карл Иммануэль; Перц, Георг Генрих (1858). Лейбниценс Математические Шрифты. Том. 5. А. Ашер и Ко, стр. 97–98 – из Интернет-архива.
• ле Лионне, Ф. (1979). Les nombres remarquables . Германн. ISBN 2-7056-1407-9.
• le Veque, WJ (2002) [1956]. Темы теории чисел . Том I и II. Дувр. ISBN 978-0-486-42539-9– через Интернет-архив.
• Лиувилл, Дж . (1851). «Сюр-де-классы très étendues de quantités не имеют значения, не алгебраического, не сводимого к иррациональным алгебраическим понятиям» (PDF) . Дж. Математика. Приложение Pures . 16 : 133–142.
• Локстон, Дж. Х. (1988). "13. Автоматы и трансцендентность". В Бейкер, А. (ред.). Новые достижения в теории трансцендентности . Cambridge University Press . стр. 215–228. ISBN 978-0-521-33545-4. Збл  0656.10032.
• Малер, К. (1929). «Арифметические собственные методы Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen». Математика. Аннален . 101 : 342–366. дои : 10.1007/bf01454845. ЖФМ  55.0115.01. S2CID  120549929.
• Малер, К. (1937). «Арифметические собственные законы» Учеб. Конин. Недер. Акад. Влажный. Сер. А (40): 421–428.
• Малер, К. (1976). Лекции по трансцендентным числам . Заметки лекций по математике. Том 546. Springer . ISBN 978-3-540-07986-6. Збл  0332.10019.
• Натараджан, Сарадха [на французском языке] ; Тангадурай, Равиндранатан (2020). Столпы трансцендентной теории чисел . Спрингер Верлаг . ISBN 978-981-15-4154-4.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, V. ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1794. Springer . ISBN 978-3-540-44141-0. Збл  1014.11015.
• Shallit, J. (15–26 июля 1996 г.). «Теория чисел и формальные языки». В Hejhal, DA ; Friedman, Joel; Gutzwiller, MC ; Odlyzko, AM (ред.). Новые приложения теории чисел . Летняя программа IMA. Тома IMA по математике и ее приложениям. Том 109. Миннеаполис, MN: Springer (опубликовано в 1999 г.). стр. 547–570. ISBN 978-0-387-98824-5.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентное число». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Лиувилля». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Лиувилля». MathWorld .
• «Доказательство того, что e трансцендентно». planetmath.org .
• «Доказательство трансцендентности постоянной Лиувилля». deanlmoore.com . Получено 12.11.2018 .
• Фрич, Р. (29 марта 1988 г.). Transzendenz von e im Leistungskurs? [ Трансцендентность e на курсах повышения квалификации? ] (PDF) . Rahmen der 79. Hauptversammlung des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts [79-е ежегодное общее собрание Немецкой ассоциации содействия развитию математики и естественнонаучного образования]. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (на немецком языке). Том. 42. Киль, DE (опубликовано в 1989 г.). стр. 75–80 (презентация), 375–376 (ответы). Архивировано из оригинала (PDF) 16 июля 2011 г. - через Мюнхенский университет (mathematik.uni-muenchen.de).— Доказательство трансцендентности числа e на немецком языке.
• Фрич, Р. (2003). «Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π» (PDF) . Дифференциальная геометрия многообразных фигур (на немецком языке). 34 : 144–148. Архивировано из оригинала (PDF) 16 июля 2011 г. - через Мюнхенский университет (mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch).