В математике , особенно в областях численного анализа, сосредоточенных на численном решении уравнений в частных производных , трафарет — это геометрическое расположение узловой группы, которая относится к интересующей точке с использованием процедуры численного приближения. Трафареты являются основой для многих алгоритмов численного решения уравнений в частных производных (PDE). Два примера трафаретов — это пятиточечный трафарет и трафарет метода Кранка–Николсона .
Трафареты делятся на две категории: компактные и некомпактные , разница между которыми заключается в слоях, относящихся к интересующей точке, которые также используются для расчета.
В обозначениях, используемых для одномерных трафаретов, n-1, n, n+1 указывают временные шаги, где временные шаги n и n-1 имеют известные решения, а временной шаг n+1 должен быть вычислен. Пространственное расположение конечных объемов, используемых в расчете, указывается j-1, j и j+1.
Графические представления узловых расположений и их коэффициентов возникли на ранних этапах изучения PDE. Авторы продолжают использовать для них различные термины, такие как «модели релаксации», «операционные инструкции», «ромбы» или «точечные модели». [1] [2] Термин «трафарет» был придуман для таких моделей, чтобы отразить концепцию размещения трафарета в обычном смысле на вычислительной сетке для выявления только тех чисел, которые необходимы на определенном шаге. [2]
Коэффициенты конечной разности для заданного шаблона фиксируются выбором узловых точек. Коэффициенты могут быть вычислены путем взятия производной полинома Лагранжа, интерполированного между узловыми точками, [3] путем вычисления разложения Тейлора вокруг каждой узловой точки и решения линейной системы, [4] или путем обеспечения точности шаблона для мономов вплоть до степени шаблона. [3] Для равноотстоящих узлов они могут быть эффективно вычислены как аппроксимация Паде , где — порядок шаблона, а — отношение расстояния между самой левой производной и левыми элементами функции, деленное на шаг сетки. [5]
