Математика лотереи

Математика лотереи используется для расчета вероятностей выигрыша или проигрыша в лотерее . Она основана в первую очередь на комбинаторике , в частности, на двенадцатикратном способе и комбинациях без замены .

Probabilities of winning or losing a lottery game

Выбор 6 из 49

В типичной игре 6/49 каждый игрок выбирает шесть различных чисел из диапазона 1–49. Если шесть чисел на билете совпадают с числами, выпавшими в лотерее, владелец билета становится победителем джекпота — независимо от порядка чисел. Вероятность этого события составляет 1 из 13 983 816.

Шанс выигрыша можно продемонстрировать следующим образом: вероятность совпадения первого выпавшего числа составляет 1 к 49. Когда выпадение доходит до второго числа, в мешке остается только 48 шаров, поскольку шары вынимаются без возвращения . Таким образом, теперь вероятность угадать это число составляет 1 к 48.

Таким образом, для каждого из 49 способов выбора первого числа существует 48 различных способов выбора второго. Это означает, что вероятность правильного предсказания 2 чисел, взятых из 49 в правильном порядке, вычисляется как 1 из 49 × 48. При извлечении третьего числа есть только 47 способов выбора числа; но мы могли бы прийти к этой точке любым из 49 × 48 способов, поэтому шансы правильного предсказания 3 чисел, взятых из 49, снова в правильном порядке, составляют 1 из 49 × 48 × 47. Это продолжается до тех пор, пока не будет извлечено шестое число, что дает окончательный расчет, 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44, который также можно записать как или факториал 49 деленный на факториал 43 или ФАКТ(49)/ФАКТ(43) или просто ПЕРМ(49,6) . ${\displaystyle {49! \over (49-6)!}}$

608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000 / 60415263063373835637355132068513997507264512000000000 = 10068347520

Это дает 10 068 347 520, что намного больше, чем ~14 миллионов, указанные выше.

Perm(49,6)=10068347520 и 49 nPr 6 =10068347520.

Однако порядок 6 чисел не имеет значения для выплаты. То есть, если билет имеет числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6, он выигрывает, пока все числа от 1 до 6 вытянуты, независимо от того, в каком порядке они выпадают. Соответственно, учитывая любую комбинацию из 6 чисел, существует 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 ! или 720 порядков, в которых они могут быть вытянуты. Разделив 10 068 347 520 на 720, получаем 13 983 816, также записываемое как , или COMBIN(49,6) или 49 nCr 6 или в более общем виде как ${\displaystyle {49! \over 6!*(49-6)!}}$

${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$, где n — число альтернатив, а k — число выборов. Дополнительная информация доступна в биномиальном коэффициенте и мультиномиальном коэффициенте .

Эта функция называется функцией комбинирования , COMBIN(n,k) . В оставшейся части этой статьи мы будем использовать обозначение . «Комбинация» означает группу выбранных чисел, независимо от порядка, в котором они выпадают. Комбинация чисел обычно представляется в порядке возрастания. Возможный 7-й выпавший номер, резерв или бонус, представляется в конце. ${\displaystyle {n \choose k}}$

Альтернативный метод расчета шансов заключается в том, чтобы отметить, что вероятность того, что первый шар соответствует одному из шести выбранных, составляет 6/49; вероятность того, что второй шар соответствует одному из оставшихся пяти выбранных, составляет 5/48; и т. д. Это дает окончательную формулу

${\displaystyle {n \choose k}={49 \choose 6}={49 \over 6}*{48 \over 5}*{47 \over 4}*{46 \over 3}*{45 \over 2}*{44 \over 1}}$

Седьмой шар часто вытягивается как резервный, в прошлом это был всего лишь второй шанс угадать 5+1 номер при 6 сыгранных номерах.

Шансы получить другие возможности при выборе 6 из 49

Необходимо разделить количество комбинаций, дающих заданный результат, на общее количество возможных комбинаций (например, ). Числитель равен количеству способов выбора выигрышных номеров, умноженному на количество способов выбора проигрышных номеров. ${\displaystyle {49 \choose 6}=13,983,816}$

Для счета n (например, если 3 выбора соответствуют трем из 6 выпавших шаров, то n = 3) описывает шансы выбора n выигрышных номеров из 6 выигрышных номеров. Это означает, что есть 6 - n проигрышных номеров, которые выбираются из 43 проигрышных номеров способами . Общее количество комбинаций, дающих этот результат, равно, как указано выше, первому числу, умноженному на второе. Таким образом, выражение имеет вид . ${\displaystyle {6 \choose n}}$ ${\displaystyle {43 \choose 6-n}}$ ${\displaystyle {6 \choose n}{43 \choose 6-n} \over {49 \choose 6}}$

В общем виде для всех лотерей это можно записать так:

$${\displaystyle {K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

где — количество шаров в лотерее, — количество шаров в одном билете, — количество совпадающих шаров для выигрышного билета. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$

Обобщение этой формулы называется гипергеометрическим распределением .

Это дает следующие результаты:

Если седьмой номер выпадает в качестве бонусного, то мы имеем 49!/6!/1!/42!.=комбинация(49,6)*комбинация(49-6,1)=601304088 различных возможных результатов розыгрыша.

Вы ожидаете получить 3 из 6 или лучше один раз за 36,19 розыгрышей. Обратите внимание, что требуется колесо 3 из 6 из 163 комбинаций, чтобы быть уверенным хотя бы в одном счете 3/6.

1/p меняется, когда несколько различных комбинаций разыгрываются вместе. В основном это касается выигрыша чего-либо, а не только джекпота.

Обеспечение выигрыша джекпота

Существует только один известный способ гарантированно выиграть джекпот. Это купить по крайней мере один лотерейный билет для каждой возможной комбинации чисел. Например, нужно купить 13 983 816 разных билетов, чтобы гарантированно выиграть джекпот в игре 6/49.

Лотерейные организации имеют законы, правила и гарантии, чтобы не допустить, чтобы игроки проводили такие операции. Кроме того, просто выигрыш джекпота путем покупки всех возможных комбинаций не гарантирует, что вы выйдете в ноль или получите прибыль.

Если — вероятность выигрыша; стоимость билета; стоимость получения билета (например, включая логистику); единовременные затраты на операцию (например, на организацию и проведение операции); то джекпот должен содержать не менее ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c_{t}}$ ${\displaystyle c_{l}}$ ${\displaystyle c_{f}}$ ${\displaystyle m_{j}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}}$

чтобы иметь шанс хотя бы выйти в ноль.

Вышеуказанная теоретическая «шанс на точку безубыточности» немного компенсируется суммой мелких выигрышей, также включенных во все лотерейные билеты: ${\displaystyle \sum _{i}{}m_{i}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}m_{i}}$

Тем не менее, даже если вышеуказанное отношение выполняется, это не гарантирует безубыточности. Выплата зависит от количества выигрышных билетов для всех призов , что приводит к соотношению ${\displaystyle n_{x}}$

${\displaystyle {\frac {m_{j}}{n_{j}}}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}}$

В, вероятно, единственных известных успешных операциях ^[1] порог для проведения операции был установлен в размере трехкратной стоимости одних только билетов по неизвестным причинам.

${\displaystyle m_{j}\geq 3\times {\frac {c_{t}}{p}}}$

Т.е.

${\displaystyle {\frac {n_{j}p}{c_{t}}}\left(c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}\right)\ll 3}$

Однако это не устраняет всех рисков не получить прибыль. Успех операций все еще зависел от небольшой удачи. Кроме того, в одной операции логистика дала сбой, и не все комбинации удалось получить. Это добавило риск вообще не выиграть джекпот.

Powerballs и бонусные шары

Во многих лотереях есть Powerball (или «бонусный шар»). Если Powerball вытягивается из пула чисел, отличного от основной лотереи, шансы умножаются на количество Powerball. Например, в лотерее 6 из 49, если дано 10 номеров Powerball, то шансы получить счет 3 и Powerball будут 1 из 56,66 × 10, или 566,6 (вероятность будет разделена на 10, чтобы получить точное значение ). Другим примером такой игры является Mega Millions , хотя и с другими шансами на джекпот. ${\textstyle {\frac {8815}{4994220}}}$

Если из отдельного пула шаров в основную лотерею вытягивается более 1 шара Powerball (например, в игре EuroMillions ), то шансы на различные возможные совпадения очков Powerball рассчитываются с использованием метода, описанного в разделе « Другие результаты » выше (другими словами, шары Powerball сами по себе являются мини-лотереей), а затем умножаются на шансы набрать требуемый счет в основной лотерее.

Если шар powerball вытягивается из того же пула чисел, что и основная лотерея, то для заданного целевого счета количество выигрышных комбинаций включает шар powerball. Для игр, основанных на канадской лотерее (например, лотерее Соединенного Королевства ), после того, как вытянуты 6 основных шаров, из того же пула шаров вытягивается дополнительный шар, и он становится шаром powerball (или «бонусным шаром»). Дополнительный приз дается за совпадение 5 шаров и бонусного шара. Как описано в разделе « другие баллы » выше, количество способов получить балл 5 из одного билета равно . Поскольку количество оставшихся шаров равно 43, а в билете осталось 1 несовпавшее число, ⁠ ${\textstyle {6 \choose 5}{43 \choose 1}=258}$1/43⁠ из этих 258 комбинаций будут соответствовать следующему выпавшему шару (Powerball), оставляя 258/43 = 6 способов его достижения. Таким образом, шансы получить счет 5 и Powerball составляют . ${\textstyle {6 \over {49 \choose 6}}={1 \over 2,330,636}}$

Из 258 комбинаций, в которых совпадают 5 из 6 основных шаров, в 42/43 из них оставшееся число не совпадет с Powerball, что дает шансы на получение результата 5 без совпадения с Powerball. ${\textstyle {{258\cdot {\frac {42}{43}}} \over {49 \choose 6}}={\frac {3}{166,474}}\approx 1.802\times 10^{-5}}$

Используя тот же принцип, шансы получить счет 2 и powerball равны для счета 2, умноженному на вероятность того, что один из оставшихся четырех номеров совпадет с бонусным шаром, что составляет 4/43 . Поскольку , вероятность получить счет 2 и бонусный шар составляет , приблизительные десятичные шансы 1 из 81,2. ${\textstyle {6 \choose 2}{43 \choose 4}=1,\!851,\!150}$ ${\textstyle 1,851,150\cdot {\frac {4}{43}}=172,\!200}$ ${\textstyle {\frac {172,200}{49 \choose 6}}={\frac {1025}{83237}}=1.231\%}$

Общая формула для сопоставления шаров в лотерее с одним бонусным шаром из пула шаров следующая: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\frac {{\frac {K-B}{N-K}}{K \choose B}{N-K \choose K-B}}{N \choose K}}}$$

Общая формула для сопоставления шаров в лотерее с нулевым бонусным шаром из пула шаров выглядит следующим образом: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {N-K-K+B \over N-K}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

Общая формула для сопоставления шаров в лотерее с одним бонусным шаром из отдельного пула шаров выглядит следующим образом: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

Общая формула для сопоставления шаров в лотерее с выбором без бонусного шара из отдельного пула шаров выглядит следующим образом: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {P-1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

Минимальное количество билетов на матч

Это сложная (и часто открытая) проблема — вычислить минимальное количество билетов, которое нужно купить, чтобы гарантировать, что хотя бы один из этих билетов совпадет хотя бы с 2 числами. В лотерее 5 из 90 минимальное количество билетов, которое может гарантировать билет с хотя бы 2 совпадениями, составляет 100. ^[2]

Результаты теории информации

Как дискретное вероятностное пространство , вероятность любого конкретного исхода лотереи является атомарной , то есть больше нуля. Следовательно, вероятность любого события является суммой вероятностей исходов события. Это позволяет легко вычислять интересующие величины из теории информации . Например, информационное содержание любого события легко вычислить по формуле

$${\displaystyle \operatorname {I} (E):=-\log {\left[\Pr {\left(E\right)}\right]}=-\log {\left(P\right)}.}$$

В частности, информационное содержание результата дискретной случайной величины равно ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}(x):=-\log {\left[p_{X}{\left(x\right)}\right]}=\log {\left({\frac {1}{p_{X}{\left(x\right)}}}\right)}.}$$

Например, выигрыш в примере § Выбор 6 из 49 выше является случайной величиной, распределенной по закону Бернулли с ⁠ ${\displaystyle X}$1/13,983,816⁠ шанс на победу («успех») Мы пишем с и . Информационное содержание выигрыша равно ${\textstyle X\sim \mathrm {Bernoulli} \!\left(p\right)=\mathrm {B} \!\left(1,p\right)}$ ${\textstyle p={\tfrac {1}{13,983,816}}}$ ${\textstyle q={\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}({\text{win}})=-\log _{2}{p_{X}{({\text{win}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {1}{13,983,816}}\approx 23.73725}$$шенноны или биты информации. (См. единицы информации для дальнейшего объяснения терминологии.) Содержание информации проигрыша

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{X}({\text{lose}})&=-\log _{2}{p_{X}{({\text{lose}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.0317\times 10^{-7}{\text{ shannons}}.\end{aligned}}}$$

Информационную энтропию распределения вероятностей лотереи также легко рассчитать как ожидаемое значение информационного содержания.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {H} (X)&=\sum _{x}{-p_{X}{\left(x\right)}\log {p_{X}{\left(x\right)}}}\ &=\sum _{x}{p_{X}{\left(x\right)}\operatorname {I} _{X}(x)}\\&{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \mathbb {E} {\left[\operatorname {I} _{X}(x)\right]}\end{alignedat}}}$$

Часто случайная величина, представляющая интерес в лотерее, — это испытание Бернулли . В этом случае может быть использована функция энтропии Бернулли . Используя представление выигрыша в лотерее 6 из 49, энтропия Шеннона для 6 из 49 выше равна ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} (X)&=-p\log(p)-q\log(q)=-{\tfrac {1}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {1}{13,983,816}}-{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.80065\times 10^{-6}{\text{ shannons.}}\end{aligned}}}$

Ссылки

1. Человек, который выиграл в лотерею 14 раз [1]
2. Z. Füredi , GJ Székely и Z. Zubor (1996). «О проблеме лотереи». Journal of Combinatorial Designs . 4 (1): 5–10. doi :10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:1<5::aid-jcd2>3.3.co;2-w.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)[2]

Внешние ссылки

• Анализ генуэзской лотереи Эйлером – Сходимость (август 2010 г.), Математическая ассоциация Америки
• Математика лотереи – издательство INFAROM
• 13,983,816 и лотерея – видео на YouTube с Джеймсом Клеветтом, Numberphile, март 2012 г.