Гексаэдр ( мн. ч .: гексаэдры или гексаэдры ) или сексаэдр ( мн. ч.: сексаэдры или сексаэдры ) — это любой многогранник с шестью гранями . Куб , например, — это правильный шестигранник, все грани которого квадратные , а вокруг каждой вершины — три квадрата .
Существует семь топологически различных выпуклых гексаэдров, [1] один из которых существует в двух зеркальных формах. Существуют дополнительные невыпуклые гексаэдры, число которых зависит от того, как определяются многогранники. Два многогранника являются «топологически различными», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что невозможно исказить один в другой, просто изменив длины ребер или углы между ребрами или гранями.
Гексаэдр, который комбинаторно эквивалентен кубу, можно назвать кубоидом , хотя этот термин часто используется более конкретно для обозначения прямоугольного кубоида , шестигранника с шестью прямоугольными сторонами. Различные типы кубоидов включают те, что изображены и связаны ниже.
Существует семь топологически различных выпуклых гексаэдров, [1] кубоид и шесть других, которые изображены ниже. Один из них является хиральным , в том смысле, что его нельзя деформировать в его зеркальное отражение.
Три других топологически различных гексаэдра могут быть реализованы только как вогнутые акоптические многогранники . Они определяются как поверхности, образованные непересекающимися простыми многоугольными гранями, каждое ребро которых принадлежит ровно двум граням, а каждая вершина окружена циклом из трех или более граней. [3]
Они не могут быть выпуклыми, поскольку не удовлетворяют условиям теоремы Штейница , которая гласит, что выпуклые многогранники имеют вершины и ребра, которые образуют графы с тремя вершинами . [4] Для других типов многогранников, которые допускают грани, не являющиеся простыми многоугольниками, таких как сферические многогранники Хонга и Нагамочи, существует больше возможностей. [5]