Новая загадка индукции

Философский парадокс, представленный Нельсоном Гудменом

Новая загадка индукции была представлена ​​Нельсоном Гудманом в работе «Факт, вымысел и прогноз» как преемник оригинальной проблемы Юма . Она представляет логические предикаты grue и bleen , которые необычны из-за их зависимости от времени. Многие пытались решить новую загадку на этих условиях, но Хилари Патнэм и другие утверждали, что такая зависимость от времени зависит от принятого языка, и в некоторых языках это в равной степени верно для естественно звучащих предикатов, таких как «зеленый». Для Гудмана они иллюстрируют проблему проецируемых предикатов и, в конечном счете, какие эмпирические обобщения являются законоподобными , а какие нет. ^{[1] [2]} Конструкция и использование Гудманом grue и bleen иллюстрируют, как философы используют простые примеры в концептуальном анализе .

Грю и блен

Определения grue и bleen , а также то, как исходные цвета blue и green могут быть переопределены на основе двух предикатов.

Гудман определил «grue» относительно произвольного, но фиксированного времени t : ^[a] объект является grue тогда и только тогда, когда он наблюдается до t и является зеленым, или в противном случае не наблюдается и является синим. Объект является «bleen» тогда и только тогда, когда он наблюдается до t и является синим, или в противном случае не наблюдается и является зеленым. ^[3]

Для некоторого произвольного будущего времени t , скажем, 1 января 2034 года, для всех зеленых вещей, наблюдаемых до t , таких как изумруды и хорошо политая трава, применяются оба предиката green и grue . Аналогично для всех синих вещей, наблюдаемых до t , таких как синие птицы или синие цветы , применяются оба предиката blue и bleen . Однако 2 января 2034 года изумруды и хорошо политая трава являются bleen , а синие птицы или синие цветы являются grue . Предикаты grue и bleen не являются видами предикатов, используемых в повседневной жизни или в науке, но они применяются точно так же, как предикаты green и blue вплоть до некоторого будущего времени t . С точки зрения наблюдателей до времени t неопределенно, какие предикаты являются проецируемыми в будущее ( зеленый и синий или grue и bleen ).

Новая загадка индукции

В этом разделе излагается новая загадка индукции Гудмена, чтобы задать контекст для введения им предикатов grue и bleen и тем самым проиллюстрировать их философское значение . ^{[2] [4]}

Старая проблема индукции и ее разрешение

Гудман формулирует проблему индукции Юма как проблему обоснованности наших предсказаний . Поскольку предсказания касаются того, что еще предстоит наблюдать, и поскольку нет необходимой связи между тем, что наблюдалось, и тем, что будет наблюдаться, нет и объективного обоснования для этих предсказаний. Дедуктивная логика не может использоваться для вывода предсказаний о будущих наблюдениях на основе прошлых наблюдений, поскольку для таких выводов не существует действительных правил дедуктивной логики. Ответ Юма состоял в том, что наблюдения одного вида событий, следующих за другим видом событий, приводят к привычкам регулярности (т. е. связыванию одного вида событий с другим видом). Предсказания затем основываются на этих регулярностях или привычках ума.

Гудман считает ответ Юма серьезным. Он отвергает возражения других философов о том, что Юм просто объясняет происхождение наших предсказаний, а не их обоснование. Он считает, что Юм выявил нечто более глубокое. Чтобы проиллюстрировать это, Гудман обращается к проблеме обоснования системы правил дедукции . Для Гудмана обоснованность дедуктивной системы оправдывается ее соответствием хорошей дедуктивной практике. Обоснование правил дедуктивной системы зависит от наших суждений о том, следует ли отвергать или принимать конкретные дедуктивные выводы. Таким образом, для Гудмана проблема индукции растворяется в той же проблеме, что и обоснование дедуктивной системы, и хотя, по мнению Гудмана, Юм был на правильном пути с привычками ума, проблема сложнее, чем осознавал Юм.

В контексте обоснования правил индукции это становится проблемой подтверждения обобщений для Гудмена. Однако подтверждение — это не проблема обоснования, а проблема точного определения того, как доказательства подтверждают обобщения. Именно с этим поворотом grue и bleen играют свою философскую роль в представлении Гудмена об индукции.

Проектируемые предикаты

Пример правительства США для зависящих от времени предикатов: до марта 1797 года произвольное количество наблюдений подтверждало бы обе версии предсказания « Войска США всегда находились под командованием {^{Джордж Вашингтон,}
_{президент США}}, следовательно, они будут находиться под его командованием в будущем» , что сегодня известно как {^ложь
_правда}, аналогично "Изумруды всегда были {_{зеленовато-} ^{голубой}
}, следовательно, так будет и в будущем» .

Новая загадка индукции для Гудмена основана на нашей способности различать законоподобные и незаконоподобные обобщения. Законоподобные обобщения могут быть подтверждены, а незаконоподобные — нет. Законоподобные обобщения необходимы для предсказаний. Используя примеры из Гудмена, обобщение о том, что вся медь проводит электричество, может быть подтверждено конкретным куском меди, тогда как обобщение о том, что все люди в данной комнате — третьи сыновья, не является законоподобным , а случайным. Обобщение о том, что вся медь проводит электричество, является основой для предсказания того, что этот кусок меди будет проводить электричество. Однако обобщение о том, что все люди в данной комнате — третьи сыновья, не является основой для предсказания того, что данный человек в этой комнате — третий сын.

Таким образом, вопрос заключается в том, что делает некоторые обобщения законоподобными , а другие — случайными. Для Гудмана это становится проблемой определения того, какие предикаты являются проекционными (т. е. могут использоваться в законоподобных обобщениях, которые служат предсказаниями), а какие — нет. Гудман утверждает, что именно здесь и лежит фундаментальная проблема. Эта проблема известна как парадокс Гудмана : из очевидно веских доказательств того, что все исследованные до сих пор изумруды были зелеными, можно индуктивно заключить, что все будущие изумруды будут зелеными. Однако является ли это предсказание законоподобным или нет, зависит от предикатов, используемых в этом предсказании. Гудман заметил, что (предполагая, что t еще не прошло) одинаково верно, что каждый наблюдаемый изумруд является grue . Таким образом, с помощью тех же доказательств мы можем заключить, что все будущие изумруды будут grue . Новая проблема индукции становится проблемой различения проекционных предикатов, таких как green и blue, от непроецируемых предикатов, таких как grue и bleen .

Юм, утверждает Гудман, упустил эту проблему. Мы не по привычке формируем обобщения из всех ассоциаций событий, которые мы наблюдали, а только из некоторых из них. Все прошлые наблюдаемые изумруды были зелеными, и мы сформировали привычку думать, что следующий изумруд будет зеленым, но они были в равной степени grue, и мы не формируем привычек относительно grueness. Законоподобные предсказания (или проекции) в конечном счете различаются предикатами, которые мы используем. Решение Гудмана состоит в том, чтобы утверждать, что законоподобные предсказания основаны на проецируемых предикатах, таких как green и blue , а не на непроецируемых предикатах, таких как grue и bleen , и то, что делает предикаты проецируемыми, — это их укрепление , которое зависит от их успешных прошлых проекций. Таким образом, grue и bleen функционируют в аргументах Гудмана, чтобы как проиллюстрировать новую загадку индукции, так и проиллюстрировать различие между проецируемыми и непроецируемыми предикатами через их относительное укрепление.

Ответы

Один из ответов — обратиться к искусственно дизъюнктивному определению grue. Понятие предикатного закрепления не требуется. Гудман сказал, что это не удается. Если мы возьмем grue и bleen как примитивные предикаты, мы можем определить green как « grue, если впервые наблюдался до t, и bleen в противном случае», и то же самое для blue. Отрицать приемлемость этого дизъюнктивного определения green было бы предвзятостью .

Другое предлагаемое решение, не требующее закрепления предиката, заключается в том, что « x is grue» является не только предикатом x , но и предикатом x и времени t — мы можем знать, что объект зеленый, не зная времени t , но мы не можем знать, что он grue. Если это так, мы не должны ожидать, что « x is grue» останется истинным при изменении времени. Однако можно спросить, почему « x is green» не считается предикатом конкретного времени t — более общее определение green не требует упоминания времени t , но определение grue требует. Гудман также рассматривает и отвергает это предлагаемое решение как вызывающее вопросы , потому что blue можно определить в терминах grue и bleen , которые явно относятся ко времени. ^[5]

Суинберн

Ричард Суинберн обходит возражение, что green может быть переопределен в терминах grue и bleen, проводя различие, основанное на том, как мы проверяем применимость предиката в конкретном случае. Он различает качественные и локационные предикаты. Качественные предикаты, такие как green, можно оценить, не зная пространственного или временного отношения x к конкретному времени, месту или событию. Локационные предикаты, такие как grue , нельзя оценить, не зная пространственного или временного отношения x к конкретному времени, месту или событию, в данном случае, наблюдается ли x до или после времени t . Хотя green можно дать определение в терминах локационных предикатов grue и bleen , это не имеет отношения к тому факту, что green соответствует критерию качественного предиката, тогда как grue является просто локационным. Он приходит к выводу, что если некоторые рассматриваемые x — например, изумруды — удовлетворяют как качественному, так и локальному предикату, но проецирование этих двух предикатов дает противоречивые предсказания, а именно, будут ли изумруды, рассматриваемые после времени t , казаться суровыми или зелеными, мы должны проецировать качественный предикат, в данном случае зеленый. ^[6]

Карнап

Рудольф Карнап ответил ^[7] на статью Гудмена 1946 года. Подход Карнапа к индуктивной логике основан на понятии степени подтверждения c ( h , e ) данной гипотезы h данным свидетельством e . ^[b] И h и e являются логическими формулами, выраженными на простом языке L , который позволяет

• множественная квантификация («для каждого x существует y такой, что ...»),
• унарные и бинарные предикатные символы (свойства и отношения), а также
• отношение равенства "=".

Вселенная дискурса состоит из счетного множества индивидуумов, каждый из которых обозначается своим собственным постоянным символом; такие индивидуумы должны рассматриваться как позиции («подобно точкам пространства-времени в нашем реальном мире»), а не как протяженные физические тела. ^[9] Описание состояния — это (обычно бесконечное) соединение, содержащее все возможные основные атомарные предложения, как отрицаемые, так и неотрицаемые; такое соединение описывает возможное состояние всей вселенной. ^[10] Карнап требует следующих семантических свойств:

• Атомарные предложения должны быть логически независимы друг от друга. ^[11] В частности, различные постоянные символы должны обозначать различных и совершенно отдельных индивидов. ^[c] Более того, различные предикаты должны быть логически независимы. ^{[d] [e]}
• Качества и отношения, обозначаемые предикатами, должны быть простыми, т. е. они не должны поддаваться анализу на более простые компоненты. ^[13] По-видимому, Карнап имел в виду нерефлексивный , частичный и обоснованный ^[14] порядок ^[f] проще, чем .
• Набор примитивных предикатов в L должен быть полным, т.е. каждое отношение, в котором две позиции во вселенной могут различаться путем прямого наблюдения, должно быть выразимо в L. [ ^15]

Карнап различает три вида свойств:

1. Чисто качественные свойства; то есть свойства, выражаемые без использования индивидуальных констант, но не без примитивных предикатов,
2. Чисто позиционные свойства; то есть свойства, выражаемые без примитивных предикатов, и
3. Смешанные свойства; то есть все оставшиеся выражаемые свойства.

Чтобы прояснить эту таксономию, пусть x будет переменной, а a — постоянным символом; тогда примером 1. может быть « x — синий или x — нетеплый», примером 2. « x = a » и примером 3. « x — красный и не x = a ».

Основываясь на своей теории индуктивной логики, изложенной выше, Карнап формализует понятие Гудмана о проецируемости свойства W следующим образом: чем выше относительная частота W в наблюдаемой выборке, тем выше вероятность того, что ненаблюдаемый индивидуум обладает свойством W. Карнап предлагает «в качестве предварительного ответа» Гудману, что все чисто качественные свойства проецируемы, все чисто позиционные свойства непроецируемы, а смешанные свойства требуют дальнейшего исследования. ^[16]

Куайн

Уиллард Ван Орман Куайн обсуждает подход, при котором в качестве проекционных предикатов рассматриваются только « естественные виды ». ^[17] Сначала он связывает парадокс Гудмена grue с парадоксом ворона Гемпеля , определяя два предиката F и G как (одновременно) проекционные, если все их общие экземпляры учитываются для подтверждения утверждения «каждый F есть G ». ^[18] Затем парадокс Гемпеля просто показывает, что дополнения проекционных предикатов (такие как «является вороном» и «является черным») не обязательно должны быть проекционными, ^[g] в то время как парадокс Гудмена показывает, что «является зеленым» проекционно, а «является grue» — нет.

Далее Куайн сводит проекцию к субъективному понятию сходства . Два зеленых изумруда обычно считаются более похожими, чем два суровых, если только один из них зеленый. Наблюдение за зеленым изумрудом заставляет нас ожидать похожего наблюдения (т. е. зеленого изумруда) в следующий раз. Зеленые изумруды являются естественным видом , а суровые — нет. Куайн исследует «сомнительный научный статус общего понятия сходства или вида». ^[19] Оба являются базовыми для мышления и языка, как и логические понятия, например, тождества , отрицания , дизъюнкции . Однако остается неясным, как соотнести логические понятия со сходством или видом ; ^[h] Поэтому Куайн пытается связать по крайней мере последние два понятия друг с другом.

Связь между сходством и видом

Предполагая, что существует только конечное число видов , понятие сходства можно определить через понятие вида : объект A более похож на B, чем на C , если A и B совместно принадлежат к большему количеству видов ^[i], чем A и C. [ ^{21] [j]}

Наоборот, снова остается неясным, как определить вид по сходству . Определение, например, вида красных вещей как множества всех вещей, которые более похожи на фиксированный «парадигматический» красный объект, чем этот на другой фиксированный «фольгированный» некрасный объект (ср. левую картинку), не является удовлетворительным, поскольку степень общего сходства, включая, например, форму, вес, даст мало доказательств степени красноты. ^[21] (На картинке желтый перец можно считать более похожим на красный, чем на оранжевый.)

Альтернативный подход, вдохновленный Карнапом, определяет естественный вид как множество , члены которого более похожи друг на друга, чем каждый не-член похож хотя бы на одного члена. ^{[22] [k]} Однако Гудман ^[23] утверждал, что это определение сделало бы множество всех красных круглых вещей, красных деревянных вещей и круглых деревянных вещей (см. правую картинку) соответствующим предложенному определению естественного вида, ^[l] в то время как «конечно, это не то, что кто-либо подразумевает под видом». ^{[m] [24]}

Хотя ни одно из понятий сходства и вида не может быть определено другим, они, по крайней мере, изменяются вместе: если A переоценивается как более похожий на C, чем на B, а не наоборот, то назначение A , B , C видам будет переставлено соответствующим образом; и наоборот. ^[24]

Основная важность сходства и вида

В языке каждый общий термин обязан своей общностью некоторому сходству вещей, о которых идет речь . Обучение использованию слова зависит от двойного сходства, а именно между настоящими и прошлыми обстоятельствами, в которых слово было использовано, и между настоящими и прошлыми фонетическими высказываниями слова. ^[25]

Каждое разумное ожидание зависит от сходства обстоятельств, вместе с нашей склонностью ожидать, что схожие причины будут иметь схожие следствия. ^[19] Это включает в себя любой научный эксперимент, поскольку он может быть воспроизведен только при схожих, но не при полностью идентичных обстоятельствах. Уже известное высказывание Гераклита «Никто не входит в одну и ту же реку дважды» подчеркивало различие между схожими и идентичными обстоятельствами.

Генезис подобия и рода

В поведенческом смысле люди и другие животные имеют врожденный стандарт сходства. Это часть нашего животного права рождения, и характерно для животных в его отсутствии интеллектуального статуса, например, его чуждость математике и логике, ^[29] ср. пример с птицами.

Формирование привычки

Индукция сама по себе по сути является ожиданием животных или формированием привычки. Наглядное обучение ^[30] является случаем индукции, и притом на удивление удобным, поскольку интервал между качествами и видами у каждого человека достаточно похож на интервал между качествами и видами у его соседа. ^[31] Напротив, «грубая иррациональность нашего чувства подобия» дает мало оснований ожидать, что оно каким-то образом будет соответствовать неодушевленной природе, чего мы никогда не делали. ^[n] Почему индуктивно полученные теории об этом должны быть достоверными, является извечной философской проблемой индукции . Куайн, следуя Ватанабе , ^[32] предлагает теорию Дарвина в качестве объяснения: если врожденный интервал между качествами у людей является генно-связанной чертой, то интервал, который сделал для наиболее успешных индукций, будет иметь тенденцию преобладать посредством естественного отбора . ^[33] Однако это не может объяснить способность человека динамически совершенствовать свой интервал между качествами в ходе знакомства с новой областью. ^[o]

Похожие предикаты, используемые в философском анализе

Квус

В своей книге «Витгенштейн о правилах и частном языке » Сол Крипке предложил связанный аргумент, который приводит к скептицизму относительно значения, а не к скептицизму относительно индукции, как часть его личной интерпретации (прозванной некоторыми « Крипкенштейном » ^[34] ) аргумента частного языка . Он предложил новую форму сложения, которую он назвал квус , которая идентична «+» во всех случаях, за исключением тех, в которых любое из сложенных чисел равно или больше 57; в этом случае ответ будет 5, то есть:

${\displaystyle x{\text{ quus }}y={\begin{cases}x+y&{\text{for }}x,y<57\\[12pt]5&{\text{for }}x\geq 57{\text{ or }}y\geq 57\end{cases}}}$

Затем он спрашивает, как, учитывая некоторые очевидные обстоятельства, кто-то мог знать, что ранее, когда я думал, что имел в виду «+», я на самом деле не имел в виду квус . Затем Крипке выступает за интерпретацию Витгенштейна , утверждающего, что значения слов не являются индивидуально содержащимися ментальными сущностями.

Смотрите также

• N-вселенные
• Проблема индукции
• Теория индуктивного вывода Соломонова – точка зрения теории информации

Примечания

1. Исторически Гудман использовал « день Победы » и «определенное время t» в «Вопросе о подтверждении» (стр. 383) и «Факт, вымысел и прогноз» (3-е изд. 1973, стр. 73) соответственно.
2. он использует другой вариант, c ^* ( h , e ), для которого он дает формулу для вычисления фактических значений; ^{[8] отличную от} правила следования Лапласа . См. книгу Карнапа Studies in inductive logic and probability , Vol.1. University of California Press, 1971, для получения более подробной информации, в частности, sect.IV.16 для c , и app.A.1 для c ^* .
3. Например, если бы у a и b была общая часть, то « a теплое, а b не теплое» было бы невозможной комбинацией.
4. Например, «является вороном» и «является птицей» не могут быть оба допустимыми предикатами, поскольку первое исключало бы отрицание последнего. В качестве другого примера, «является теплым» и «является теплее, чем» не могут быть оба предикатами, поскольку « a является теплым, а b является теплее, чем a , а b не является теплым» — невозможная комбинация.
5. Карнап утверждает ^[12], что логическая независимость необходима и для дедуктивной логики, чтобы множество аналитических предложений было разрешимым.
6. Карнап не рассматривает предикаты, которые взаимно определяются друг другом, что приводит к предпорядку .
7. Наблюдение за черным вороном считается подтверждением утверждения «все вороны черные», в то время как логически эквивалентное утверждение «все нечерные предметы — не вороны» не считается подтвержденным наблюдением, например, зеленого листа.
8. Определение двух вещей как подобных, если они имеют все, или большинство, или много общих свойств, не имеет смысла, если свойства, как и математические множества , принимают вещи во всех возможных комбинациях. ^[20] Если предположить, что вселенная конечна из n вещей, то любые две из них принадлежат ровно 2 ^{n -2} множествам и разделяют ровно это количество экстенсиональных свойств. Ватанабэ назвал это « теоремой о гадком утенке ».
9. Вместо произвольных наборов
10. Куайнс использует это троичное отношение, чтобы допустить различные уровни сходства, например, красные вещи могут быть более похожи друг на друга, чем просто цветные вещи.
11. Формально: множество K является видом, если ∀ Y ∉ K . ∃ X ₁ ∈ K . ∀ X ₂ ∈ K . ( X ₁ больше похож на X _2, чем на Y ).
12. Каждый элемент множества похож на другой тем, что он красный, или круглый, или деревянный, или даже несколькими из этих свойств.
13. В набор входят, например, желтые шары для крокета и красные резиновые шары, но не желтые резиновые шары.
14. принцип verum factum Вико .
15. Демонстрируется психологическими экспериментами, например, по классификации ранее невиданных искусственных объектов, таких как « Гриблы ».

Ссылки

Цитаты

1. Нельсон Гудман (июль 1946 г.). «Вопрос о подтверждении» (PDF) . The Journal of Philosophy . 43 (14): 383–385. doi :10.2307/2020332. JSTOR  2020332. Архивировано из оригинала (PDF) 28.05.2016 . Получено 27.01.2014 .
2. Goodman 1983, стр. 74.
3. Zalta, Edward N. , ред. (25 марта 2019 г.). «Нельсон Гудман». Стэнфордская энциклопедия философии .
4. Питер Годфри-Смит (2003). Теория и реальность. Издательство Чикагского университета. стр. 53. ISBN 978-0-226-30063-4. Получено 23 октября 2012 г.
5. Гудман 1983, стр. 79.
6. RG Swinburne, «Grue», Анализ, т. 28, № 4 (март 1968 г.), стр. 123-128.
7. Карнап 1947, стр. 139.
8. Карнап 1947, стр. 138, 143 и далее.
9. Карнап 1947, стр. 134.
10. Это можно рассматривать как соответствие « Трактату » Витгенштейна , № 1.11.
11. см. Трактат № 1.21
12. Карнап 1947, стр. 135.
13. Карнап 1947, стр. 136.
14. Карнап 1947, стр. 137: «... довести анализ [сложных предикатов до более простых компонентов] до конца».
15. Карнап 1947, стр. 138.
16. Карнап 1947, стр. 146.
17. Куайн 1970.
18. Куайн 1970, стр. 41.
19. Куайн 1970, стр. 42.
20. Куайн 1970, стр. 43.
21. Куайн 1970, стр. 44.
22. Куайн 1970, стр. 44-45.
23. Гудман 1951, стр. 163 и далее.
24. Куайн 1970, стр. 45.
25. Куайн 1970, стр. 42, 45-48.
26. Хоффман 1998, Глава 1.
27. Тинберген 1951, Глава IV.
28. Тинберген 1948, стр. 34, рис. 21С.
29. Куайн 1970, стр. 46.
30. Куайн 1974, раздел 11.
31. Куайн 1970, стр. 47.
32. Ватанабэ 1965, стр. 41.
33. Куайн 1970, стр. 48.
34. Джон П. Берджесс, Гидеон Розен (1999). Субъект без объекта: стратегии номиналистической интерпретации математики , стр. 53. ISBN 978-0-19-825012-8 . 

Библиография

• Гудман, Нельсон (1983). Факт, вымысел и прогноз. Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-29071-6. Получено 8 марта 2012 г.
• Карнап, Рудольф (1947). «О применении индуктивной логики» (PDF) . Философия и феноменологические исследования . 8 (1): 133–148. doi :10.2307/2102920. JSTOR  2102920. Архивировано из оригинала (PDF) 2006-09-20 . Получено 2014-01-27 .
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1970). «Естественные виды» (PDF) . В Николасе Решере и др. (ред.). Эссе в честь Карла Г. Хемпеля . Дордрехт: Д. Рейдель. стр. 41–56.Перепечатано в: Quine, WV (1969). «Естественные виды». Онтологическая относительность и другие эссе . Нью-Йорк: Columbia University Press. стр. 114.
• Гудман, Нельсон (1951). Структура внешности .
• Ватанабэ, Сатоси (1965). «Математическое объяснение классов объектов». У Станисласа И. Докса; Пол Бернейс (ред.). Информация и прогнозирование в науке . Нью-Йорк: Академическая пресса. стр. 39–76. LCCN  64-24655. ОСЛК  522269.
• Тинберген, Н. (март 1948 г.). «Социальные релизеры и экспериментальный метод, необходимый для их изучения» (PDF) . Wilson Bull . 60 (1): 6–52.
• Хоффман, Дональд Д. (1998). Визуальный интеллект. Как мы создаем то, что видим . Нью-Йорк: Norton.
• Тинберген, Н. (1951). Изучение инстинкта . Кларендон.
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1974). Корни ссылки . Ла-Саль, Иллинойс: Open Court Publishing Co. ISBN 9780812691016.

Дальнейшее чтение

• Гудман, Нельсон (1955). Факт, вымысел и прогноз . Кембридж, Массачусетс: Harvard UP, 1955. 2-е издание, Индианаполис: Bobbs-Merrill, 1965. 3-е издание, Индианаполис: Bobbs-Merrill, 1973. 4-е издание, Кембридж, Массачусетс: Harvard UP, 1983.
• Крипке, Саул (1982). Витгенштейн о правилах и частном языке . Basil Blackwell Publishing. ISBN 0-631-13521-9.
• Вольперт, Дэвид (1996). «Отсутствие априорных различий между алгоритмами обучения». Neural Computation . 8 (7): 1341–1390. doi :10.1162/neco.1996.8.7.1341. S2CID  207609360.
• Сталкер, Дуглас (1994). Грю! Новая загадка индукции . Open Court Publishing. ISBN 0-8126-9218-7.
• Франчески, Пол, Une Solution pour le Paradoxe de Goodman , Dialogue, том 40, 2001, стр. 99–123, английский перевод.
• Элгин, Кэтрин, ред. (1997). Философия Нельсона Гудмена: Избранные эссе. Том 2, Новая загадка индукции Нельсона Гудмена. Нью-Йорк: Гарленд. ISBN 0-8153-2610-6 . 
• Первоначальное определение слова grue, данное Гудменом