Механизм Кельвина–Гельмгольца

Процесс высвобождения энергии сжимающейся звезды или планеты

Механизм Кельвина -Гельмгольца — это астрономический процесс, который происходит, когда поверхность звезды или планеты охлаждается . Охлаждение приводит к падению внутреннего давления, и в результате звезда или планета сжимается. Это сжатие, в свою очередь, нагревает ядро ​​звезды/планеты. Этот механизм очевиден на Юпитере и Сатурне , а также на коричневых карликах , центральные температуры которых недостаточно высоки для прохождения реакции водородного синтеза . По оценкам, Юпитер излучает больше энергии через этот механизм, чем получает от Солнца, но Сатурн может этого не делать. По оценкам, Юпитер сжимается со скоростью приблизительно 1 мм/год в результате этого процесса ^[1] , что соответствует внутреннему потоку 7,485 Вт/м ² . ^[2]

Первоначально этот механизм был предложен Кельвином и Гельмгольцем в конце девятнадцатого века для объяснения источника энергии Солнца . К середине девятнадцатого века был принят закон сохранения энергии , и одним из следствий этого закона физики стало то, что у Солнца должен быть какой-то источник энергии, чтобы продолжать светить. Поскольку ядерные реакции были неизвестны, основным кандидатом на источник солнечной энергии было гравитационное сжатие.

Однако вскоре сэр Артур Эддингтон и другие признали , что общее количество энергии, доступное через этот механизм, позволило Солнцу светить только в течение миллионов лет, а не миллиардов лет, как предполагали геологические и биологические данные относительно возраста Земли . (Сам Кельвин утверждал, что Земле миллионы, а не миллиарды лет.) Истинный источник энергии Солнца оставался неопределенным до 1930-х годов, когда Ганс Бете показал, что это ядерный синтез .

Мощность, генерируемая сокращением Кельвина-Гельмгольца

Было высказано предположение, что гравитационная потенциальная энергия от сжатия Солнца может быть его источником энергии. Чтобы вычислить общее количество энергии, которое будет высвобождаться Солнцем в таком механизме (предполагая равномерную плотность ), оно было приближено к идеальной сфере, состоящей из концентрических оболочек. Гравитационная потенциальная энергия затем могла быть найдена как интеграл по всем оболочкам от центра до ее внешнего радиуса.

Гравитационная потенциальная энергия из ньютоновской механики определяется как: ^[3]

${\displaystyle U=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}},}$

где G — гравитационная постоянная , а две массы в этом случае — это масса тонких оболочек шириной dr и масса, заключенная в радиусе r, как одно интегрирование между нулем и радиусом полной сферы. Это дает: ^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {m(r)4\pi r^{2}\rho }{r}}\,dr,}$

где R — внешний радиус сферы, а m ( r ) — масса, содержащаяся в радиусе r . Изменив m ( r ) на произведение объема и плотности, чтобы удовлетворить интегралу, ^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho }{3r}}\,dr=-{\frac {16}{15}}G\pi ^{2}\rho ^{2}R^{5}.}$

Пересчет в термины массы сферы дает полную гравитационную потенциальную энергию как ^[3]

${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}.}$

Согласно теореме Вириала , полная энергия для гравитационно связанных систем, находящихся в равновесии, составляет половину усредненной по времени потенциальной энергии,

${\displaystyle U_{r}={\frac {|\langle U\rangle |}{2}}={\frac {3GM^{2}}{10R}}.}$

Хотя равномерная плотность не является точной, можно получить грубую оценку порядка величины ожидаемого возраста нашей звезды, подставив известные значения массы и радиуса Солнца , а затем разделив на известную светимость Солнца (обратите внимание, что это потребует еще одного приближения, поскольку выходная мощность Солнца не всегда была постоянной): ^[3]

${\displaystyle {\frac {U_{\text{r}}}{L_{\odot }}}\approx {\frac {1.1\times 10^{41}~{\text{J}}}{3.828\times 10^{26}~{\text{W}}}}=2.874\times 10^{14}~\mathrm {s} \,\approx 8\,900\,000~{\text{years}},}$

где - светимость Солнца. Хотя эта величина давала достаточно энергии на значительно более длительный срок, чем многие другие физические методы, такие как химическая энергия , эта величина была явно недостаточной из-за геологических и биологических свидетельств того, что Земле миллиарды лет. В конце концов было обнаружено, что термоядерная энергия отвечает за выходную мощность и длительное время жизни звезд. ^[4] ${\displaystyle L_{\odot }}$

Поток внутреннего тепла для Юпитера определяется производной по времени от полной энергии

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}={\frac {-3GM^{2}}{10R^{2}}}{\frac {dR}{dt}}=-1.46\times 10^{28}~{\text{[J/m]}}~\times {\frac {dR}{dt}}~{\text{[m/s]}}.}$

При уменьшении получаем ${\textstyle -1\mathrm {\frac {~mm}{yr}} =-0.001\mathrm {\frac {~m}{yr}} =-3.17\times 10^{-11}~\mathrm {\frac {m}{s}} }$

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}=4.63\times 10^{17}~{\text{W}},}$

разделив на всю площадь Юпитера, т.е. , получим ${\displaystyle S=6.14\times 10^{16}~\mathrm {m^{2}} }$

${\displaystyle {\frac {1}{S}}{\frac {dU_{r}}{dt}}=7.5~\mathrm {\frac {W}{m^{2}}} .}$

Конечно, обычно это уравнение вычисляют в обратном направлении: экспериментальная величина удельного потока внутреннего тепла, 7,485 Вт/м2 ^, была получена из прямых измерений, проведенных на месте зондом Кассини во время его пролета 30 декабря 2000 года, и мы получаем величину сокращения, ~1 мм/год, что на несколько порядков ниже границ практических измерений.

Ссылки

1. Патрик Г. Дж. Ирвин (2009). Гигантские планеты нашей Солнечной системы: атмосферы, состав и структура. 2-е издание. Springer. стр. 4–5. ISBN 978-3-642-09888-8.
2. Liming, Li; et al. (2018). «Меньше поглощенной солнечной энергии и больше внутреннего тепла для Юпитера». Nature Communications . 9 (3709): 1–10. Bibcode : 2018NatCo...9.3709L. doi : 10.1038/s41467-018-06107-2 . PMC 6137063. PMID  30213944 . 
3. Кэрролл, Брэдли У.; Остли, Дейл А. (2007). Введение в современную астрофизику (2-е изд.). Pearson Addison Wesley. стр. 296–298. ISBN 978-0-8053-0402-2. Архивировано из оригинала 2015-12-22.
4. Погге, Ричард (2006-01-15). "Механизм Кельвина-Гельмгольца". Лекция 12: Пока светит солнце . Университет штата Огайо . Получено 2009-11-05 .