Пара брюк (математика)

Сфера с тремя отверстиями

Пара брюк, изображенных в пространстве, граница которого окрашена в красный цвет.

В математике пара брюк — это поверхность , гомеоморфная сфере с тремя отверстиями . Название происходит от того, что один из удаленных дисков рассматривается как талия, а два других — как манжеты пары брюк .

Пары штанов используются в качестве строительных блоков для компактных поверхностей в различных теориях. Два важных приложения — в гиперболической геометрии , где разложения замкнутых поверхностей на пары штанов используются для построения координат Фенхеля-Нильсена на пространстве Тейхмюллера , и в топологической квантовой теории поля , где они являются простейшими нетривиальными кобордизмами между одномерными многообразиями .

Штаны и разложение штанов

Штаны как топологические поверхности

Пара брюк как плоская область (синего цвета с красной границей)

Пара брюк — это любая поверхность, гомеоморфная сфере с тремя отверстиями, которая формально является результатом удаления из сферы трех открытых дисков с попарно непересекающимися замыканиями. Таким образом, пара брюк — это компактная поверхность рода ноль с тремя граничными компонентами .

Эйлерова характеристика пары брюк равна −1, и единственной другой поверхностью с таким свойством является проколотый тор (тор минус открытый диск).

Разложения штанов

Два различных разложения штанов для поверхности рода 2

Важность пар брюк в изучении поверхностей вытекает из следующего свойства: определим сложность связной компактной поверхности рода с граничными компонентами как , а для несвязной поверхности возьмем сумму по всем компонентам. Тогда единственными поверхностями с отрицательной эйлеровой характеристикой и нулевой сложностью будут непересекающиеся объединения пар брюк. Более того, для любой поверхности и любой простой замкнутой кривой , на которой не гомотопна граничной компоненте, компактная поверхность, полученная разрезанием вдоль, имеет сложность, строго меньшую . В этом смысле пары брюк являются единственными «неприводимыми» поверхностями среди всех поверхностей с отрицательной эйлеровой характеристикой. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \xi (S)=3g-3+k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$

По рекурсивному аргументу это подразумевает, что для любой поверхности существует система простых замкнутых кривых, которые разрезают поверхность на пары брюк. Это называется разложением на брюки для поверхности, а кривые называются манжетами разложения. Это разложение не уникально, но, количественно оценив аргумент, можно увидеть, что все разложения на брюки данной поверхности имеют одинаковое количество кривых, что и является сложностью. ^[1] Для связных поверхностей разложение на брюки имеет ровно брюки. ${\displaystyle 2g-2+k}$

Набор простых замкнутых кривых на поверхности является разложением на штаны тогда и только тогда, когда они не пересекаются, никакие две из них не гомотопны и ни одна не гомотопна граничному компоненту, и набор является максимальным для этих свойств.

Комплекс брюк

Элементарные движения между разложением штанов

Заданная поверхность имеет бесконечно много различных разложений на штаны (мы понимаем, что два разложения являются различными, когда они не гомотопны). Один из способов попытаться понять отношения между всеми этими разложениями — это комплекс штанов, связанный с поверхностью . Это граф с вершинами, множеством разложений на штаны , и две вершины соединяются, если они связаны элементарным перемещением, которое является одной из двух следующих операций: ${\displaystyle S}$

• взять кривую в разложении в торе с одним отверстием и заменить ее кривой в торе, пересекающей ее только один раз, ${\displaystyle \alpha }$
• Возьмем кривую в разложении в сфере с четырьмя отверстиями и заменим ее кривой в сфере, пересекающей ее только дважды. ${\displaystyle \alpha }$

Комплекс штанов связан ^[2] (то есть любые два разложения штанов связаны последовательностью элементарных ходов) и имеет бесконечный диаметр (то есть нет верхней границы на количество ходов, необходимых для перехода от одного разложения к другому). В частном случае, когда поверхность имеет сложность 1, комплекс штанов изоморфен графу Фарея .

Действие группы классов отображения на комплексе штанов представляет интерес для изучения этой группы. Например, Аллен Хэтчер и Уильям Терстон использовали его, чтобы дать доказательство того факта, что она конечно представлена .

Штаны в гиперболической геометрии

Пространство модулей гиперболических штанов

Интересные гиперболические структуры на брюках легко классифицируются. ^[3]

Для всех существует гиперболическая поверхность , гомеоморфная паре брюк, граничные компоненты которой являются простыми замкнутыми геодезическими с длинами, равными . Такая поверхность однозначно определяется с точностью до изометрии . ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$

Приняв длину манжеты равной нулю, получаем полную метрику на брюках за вычетом манжеты, которая заменяется точкой каспа . Эта структура имеет конечный объем.

Штаны и шестиугольники

Геометрическое доказательство классификации в предыдущем параграфе важно для понимания структуры гиперболических брюк. Оно происходит следующим образом: дана гиперболическая пара брюк с полностью геодезической границей, существуют три уникальные геодезические дуги, которые попарно соединяют манжеты и которые перпендикулярны им в своих конечных точках. Эти дуги называются швами брюк .

Разрезав брюки по швам, получаем два прямоугольных гиперболических шестиугольника, которые имеют три чередующиеся стороны совпадающей длины. Следующая лемма может быть доказана с помощью элементарной гиперболической геометрии. ^[4]

Если два прямоугольных гиперболических шестиугольника имеют по три чередующиеся стороны одинаковой длины, то они изометричны друг другу.

Итак, мы видим, что пара брюк является двойником прямоугольного шестиугольника вдоль чередующихся сторон. Поскольку класс изометрии шестиугольника также однозначно определяется длинами оставшихся трех чередующихся сторон, классификация брюк следует из классификации шестиугольников.

Если длина одной манжеты равна нулю, то соответствующую сторону в прямоугольном шестиугольнике заменяют идеальной вершиной.

Координаты Фенхеля-Нильсена

Точка в пространстве Тейхмюллера поверхности представляется парой , где — полная гиперболическая поверхность, а — диффеоморфизм. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:S\to M}$

Если имеет разложение брюк по кривым , то можно параметризовать пары Тейхмюллера координатами Фенхеля-Нильсена, которые определяются следующим образом. Длины манжет — это просто длины замкнутых геодезических, гомотопных . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\displaystyle f(\gamma _{i})}$

Параметры скручивания определить сложнее. Они соответствуют тому, насколько сильно поворачивается склеивание двух пар брюк вдоль : это определяет их по модулю . Можно уточнить определение (используя либо аналитическое продолжение ^[5] , либо геометрические методы), чтобы получить параметры скручивания, оцененные в (грубо говоря, суть в том, что когда кто-то делает полный поворот, он изменяет точку в пространстве Тейхмюллера, предварительно составляя скручивание Дена вокруг ) . ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \ell _{i}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

Комплекс брюк и метрика Вейля-Петерссона

Можно определить отображение из комплекса штанов в пространство Тейхмюллера, которое переводит разложение штанов в произвольно выбранную точку в области, где манжетная часть координат Фенхеля-Нильсена ограничена достаточно большой константой. Это квазиизометрия, когда пространство Тейхмюллера наделено метрикой Вейля-Петерссона , которая оказалась полезной при изучении этой метрики. ^[6]

Пары брюк и группы Шоттки

Эти структуры соответствуют группам Шоттки с двумя образующими (точнее, если фактор-объект гиперболической плоскости по группе Шоттки с двумя образующими гомеоморфен внутренности пары брюк, то ее выпуклое ядро ​​представляет собой гиперболическую пару брюк, как описано выше, и все они получаются как таковые).

2-мерные кобордизмы

Этот кобордизм зацепления между зацеплением Хопфа и незацеплением топологически представляет собой пару брюк.

Кобордизм между двумя n -мерными замкнутыми многообразиями — это компактное ( n +1)-мерное многообразие, граница которого является несвязным объединением двух многообразий. Категория кобордизмов размерности n +1 — это категория с объектами — замкнутыми многообразиями размерности n , а морфизмами — кобордизмами между ними (обратите внимание, что определение кобордизма включает идентификацию границы многообразий). Обратите внимание, что одно из многообразий может быть пустым; в частности, замкнутое многообразие размерности n +1 рассматривается как эндоморфизм пустого множества . Можно также составить два кобордизма, когда конец первого равен началу второго. n-мерная топологическая квантовая теория поля (TQFT) — это моноидальный функтор из категории n -кобордизмов в категорию комплексного векторного пространства (где умножение задается тензорным произведением).

В частности, кобордизмы между 1-мерными многообразиями (которые являются объединениями окружностей) являются компактными поверхностями, граница которых разделена на два непересекающихся объединения окружностей. Двумерные TQFT соответствуют алгебрам Фробениуса , где окружность (единственное связное замкнутое 1-многообразие) отображается в лежащее в основе векторное пространство алгебры, в то время как пара брюк дает произведение или копроизведение в зависимости от того, как сгруппированы компоненты границы – коммутативно или кокоммутативно. Кроме того, отображение, связанное с диском, дает коединицу (след) или единицу (скаляры) в зависимости от группировки границы, что завершает соответствие.

Примечания

1. Рэтклифф 2006, Теорема 9.7.1.
2. Хэтчер и Терстон 1980.
3. Рэтклифф 2006, Теорема 9.7.3.
4. Рэтклифф 2006, Теорема 3.5.14.
5. Имаёси и Танигучи 1992, стр. 63.
6. Брок, Джефф (2002). «Разложения штанов и метрика Вейля-Петерссона». В Эрле, Клиффорд Дж.; Харви, Уильям Дж.; Ресильяс-Пишмиш, Севин (ред.). Комплексные многообразия и гиперболическая геометрия . Contemporary Mathematics. Т. 311. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 27–40. doi :10.1090/conm/311/05445. ISBN 978-0-8218-7901-6.

Ссылки

• Хэтчер, Аллен; Терстон, Уильям (1980). "Представление для группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности". Топология . 19 (3): 221–237. doi :10.1016/0040-9383(80)90009-9.
• Имаёси, Ёити; Танигучи, Масахико (1992). Введение в пространства Тейхмюллера . Springer. стр. xiv+279. ISBN 4-431-70088-9.
• Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий, Второе издание . Springer. С. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3.