Эвольвента

Кривая, прочерченная струной, разворачивающейся из другой кривой

Две эвольвенты (красные) параболы

В математике эвольвента (также известная как развертка ) — это особый тип кривой , которая зависит от другой формы или кривой. Эвольвента кривой — это геометрическое место точки на куске натянутой струны, когда струна либо разматывается с кривой, либо оборачивается вокруг нее. [ ^1]

Эволюта эвольвенты — это исходная кривая.

Она обобщается семейством рулеточных кривых. То есть, эвольвенты кривой являются рулетками кривой, образованной прямой линией.

Понятия эвольвенты и эвольвенты кривой были введены Христианом Гюйгенсом в его работе под названием Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstratos geometricae (1673), где он показал, что эвольвента циклоиды по-прежнему является циклоидой, тем самым предложив метод построения циклоидального маятника , который обладает полезным свойством, заключающимся в том, что его период не зависит от амплитуды колебаний. ^[2]

Эвольвента параметризованной кривой

Пусть — регулярная кривая на плоскости с кривизной , нигде не равной 0 и , тогда кривая с параметрическим представлением ${\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}$

является эвольвентой данной кривой.

Добавление произвольного, но фиксированного числа к интегралу приводит к развертке, соответствующей струне, удлиненной на (подобно клубку шерстяной пряжи , имеющему некоторую длину нити, уже висящей до того, как он размотан). Следовательно, развертку можно изменять с помощью константы и/или добавления числа к интегралу (см. Развертки полукубической параболы). ${\displaystyle l_{0}}$ ${\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}}$ ${\displaystyle l_{0}}$ ${\displaystyle a}$

Если кто-то получает ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}$

Свойства эвольвент

Эвольвента: свойства. Изображенные углы составляют 90 градусов.

Для того чтобы вывести свойства регулярной кривой, выгодно предположить, что длина дуги является параметром данной кривой, что приводит к следующим упрощениям: и , с кривизной и единичной нормалью. Для эвольвенты получается: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;}$ ${\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ }$и

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;}$

и заявление:

• В точке эвольвента не является регулярной (потому что ), ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}$ ${\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}$

и из следующего: ${\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}$

• Нормаль эвольвенты в точке является касательной к данной кривой в точке . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}(s)}$
• Эвольвенты являются параллельными кривыми , поскольку и тот факт, что — единичная нормаль при . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(s)}$ ${\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}$

Семейство эвольвент и семейство касательных к исходной кривой образуют ортогональную систему координат . Следовательно, эвольвенты можно построить графически. Сначала начертим семейство касательных линий. Затем эвольвенту можно построить, всегда оставаясь ортогональной касательной линии, проходящей через точку.

Бугорки

Этот раздел основан на. ^[3]

В целом существует два типа выступов в эвольвентах. Первый тип находится в точке, где эвольвента касается самой кривой. Это выступ порядка 3/2. Второй тип находится в точке, где кривая имеет точку перегиба. Это выступ порядка 5/2.

Это можно визуально увидеть, построив карту, определяемую как , где — параметризация длины дуги кривой, а — угол наклона кривой в точке . Это отображает 2D-плоскость в поверхность в 3D-пространстве. Например, это отображает окружность в однополостный гиперболоид . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)}$$ ${\displaystyle (x(s),y(s))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x(s),y(s))}$

С помощью этой карты эвольвенты получаются в три этапа: карта отображается на , затем на поверхность в , затем проецируется вниз на , удаляя ось z: где — любая действительная константа. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}$$ ${\displaystyle l}$

Поскольку отображение имеет ненулевую производную при всех , то каспы эвольвенты могут возникать только там, где производная вертикальна (параллельна оси z), что может возникать только там, где поверхность имеет вертикальную касательную плоскость. ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

В общем случае поверхность имеет вертикальные касательные плоскости только в двух случаях: когда поверхность касается кривой и когда кривая имеет точку перегиба.

куспид порядка 3/2

Для первого типа можно начать с эвольвенты окружности, затем задать уравнение и разложить его для малых , чтобы получить, таким образом, кривую порядка 3/2 , полукубическую параболу . $${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0}$

куспид порядка 5/2

Касательные и эвольвенты кубической кривой . Острия возврата порядка 3/2 находятся на кубической кривой, а острия возврата порядка 5/2 — на оси x (касательная линия в точке перегиба). ${\displaystyle y=x^{3}}$

Для второго типа рассмотрим кривую . Дуга от до имеет длину , а касательная в имеет угол . Таким образом, эвольвента, начинающаяся от на расстоянии, имеет параметрическую формулу Расширяя ее до порядка , получаем , которая является точкой возврата порядка 5/2. Явно, можно решить для полиномиального разложения, удовлетворяющего : или , который ясно показывает форму точки возврата. ${\displaystyle y=x^{3}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}}$$ ${\displaystyle s^{5}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x,y}$ $${\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0}$$ $${\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}$$

При установке , мы получаем эвольвенту, проходящую через начало координат. Она особенная, так как не содержит ни одного острия. При последовательном расширении она имеет параметрическое уравнение или ${\displaystyle L=0}$ $${\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}$

Примеры

Эвольвенты окружности

Эвольвенты окружности

Для окружности с параметрическим представлением имеем . Следовательно , и длина пути равна . ${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}$ ${\displaystyle r(t-a)}$

Оценивая приведенное выше уравнение эвольвенты, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}$

для параметрического уравнения эвольвенты окружности.

Термин необязателен; он служит для установки начального положения кривой на окружности. На рисунке показаны эвольвенты для (зеленого), (красного), (фиолетового) и (голубого). Эвольвенты выглядят как архимедовы спирали , но на самом деле таковыми не являются. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=-0.5}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a=0.5}$ ${\displaystyle a=1}$

Длина дуги для и эвольвенты равна ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}$

${\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}$

Эвольвенты полукубической параболы (синяя). Только красная кривая является параболой. Обратите внимание, как эвольвенты и касательные образуют ортогональную систему координат. Это общий факт.

Эвольвенты полукубической параболы

Параметрическое уравнение описывает полукубическую параболу . Из получаем и . Расширение струны на значительно упрощает дальнейшие вычисления, и получаем ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

Исключение t показывает , что эта эвольвента является параболой . ${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}$

Таким образом, остальные эвольвенты являются параллельными кривыми параболы, а не параболами, поскольку они являются кривыми шестой степени (см. Параллельная кривая § Дополнительные примеры ).

Красная эвольвента цепной линии (синяя) — это трактриса.

Эвольвенты цепной линии

Для цепной линии касательный вектор равен , а его длина равна . Таким образом, длина дуги из точки (0, 1) равна ${\displaystyle (t,\cosh t)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}$ ${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}$

Следовательно, эвольвента, начинающаяся с (0, 1), параметризуется следующим образом:

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}$

и, таким образом, является трактрисой .

Остальные эвольвенты не являются трактрисами, так как они представляют собой параллельные кривые трактрисы.

Эвольвенты циклоиды

Эвольвенты циклоиды (синяя): Только красная кривая — это еще одна циклоида.

Параметрическое представление описывает циклоиду . Из , получаем (после использования некоторых тригонометрических формул) ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}$

${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}$

и

${\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}$

Следовательно, уравнения соответствующей эвольвенты имеют вид

${\displaystyle X(t)=t+\sin t,}$

${\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}$

которые описывают смещенную красную циклоиду диаграммы. Следовательно

• Эвольвенты циклоиды являются параллельными кривыми циклоиды. ${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}$

${\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}$

(Параллельные кривые циклоиды не являются циклоидами.)

Эвольвента и эволюция

Эволюта данной кривой состоит из центров кривизны . Между эвольвентами и эволютами справедливо следующее утверждение: ^{[4] [5]} ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}}$

Кривая является эволюцией любой из ее эвольвент.

Эвольвента и эволюция

• 
  Трактриса (красная) как эвольвента цепной линии
• 
  Эволюта трактрисы представляет собой цепную линию

Приложение

Наиболее распространенные профили современных зубьев шестерен — это эвольвенты окружности. В эвольвентной системе зубья двух зацепляющихся шестерен контактируют в одной мгновенной точке, которая следует вдоль одной прямой линии действия. Силы, оказываемые контактирующими зубьями друг на друга, также следуют этой линии и перпендикулярны зубьям. Эвольвентная система зубчатых передач, поддерживающая эти условия, следует основному закону зацепления: отношение угловых скоростей между двумя шестернями должно оставаться постоянным на всем протяжении.

При зубьях других форм относительные скорости и силы растут и падают по мере того, как зубья входят в зацепление, что приводит к вибрации, шуму и чрезмерному износу. По этой причине почти все современные плоские зубчатые системы являются либо эвольвентными, либо связанными с ними циклоидальными зубчатыми системами. ^[6]

Механизм спирального компрессора

Эвольвента круга также является важной формой в сжатии газа , поскольку спиральный компрессор может быть построен на основе этой формы. Спиральные компрессоры производят меньше шума, чем обычные компрессоры, и доказали свою высокую эффективность .

В высокопоточном изотопном реакторе используются топливные элементы эвольвентной формы, поскольку они обеспечивают канал постоянной ширины между ними для охлаждающей жидкости.

Смотрите также

• Конверт (математика)
• Эволюция
• Проблема выпаса коз
• Эвольвентная передача
• Рулетка (кривая)
• Спиральный компрессор

Ссылки

1. Раттер, Дж. В. (2000). Геометрия кривых. CRC Press. С. 204. ISBN 9781584881667.
2. Макклири, Джон (2013). Геометрия с дифференцируемой точки зрения . Cambridge University Press. С. 89. ISBN 9780521116077.
3. Арнольд, VI (1990). Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук: пионеры математического анализа и теории катастроф от эвольвент до квазикристаллов. Базель: Birkhaüser Verlag. ISBN 0-8176-2383-3. OCLC  21873606.
4. К. Бург, Х. Хаф, Ф. Вилле, А. Мейстер: Векторный анализ: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ... , Springer-Verlag, 2012, ISBN 3834883468 , S. 30. 
5. Р. Курант: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band , Springer-Verlag, 1955, S. 267.
6. VGA Goss (2013) «Применение аналитической геометрии к форме зубьев шестерен», Resonance 18(9): 817–31 Springerlink (требуется подписка).

Внешние ссылки

• Эвольвента в MathWorld