Логическая эквивалентность

Концепция в логике

В логике и математике утверждения и считаются логически эквивалентными , если они имеют одинаковое значение истинности в каждой модели . ^[1] Логическая эквивалентность и иногда выражается как , , , или , в зависимости от используемой нотации. Однако эти символы также используются для материальной эквивалентности , поэтому правильная интерпретация будет зависеть от контекста. Логическая эквивалентность отличается от материальной эквивалентности, хотя эти два понятия внутренне связаны. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\equiv q}$ ${\displaystyle p::q}$ ${\displaystyle {\textsf {E}}pq}$ ${\displaystyle p\iff q}$

Логические эквивалентности

В логике существует много общих логических эквивалентностей, которые часто перечисляются как законы или свойства. Следующие таблицы иллюстрируют некоторые из них.

Общие логические эквивалентности

Логические эквивалентности, включающие условные операторы

1. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}$
2. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}$
3. ${\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}$
4. ${\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}$
5. ${\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}$
6. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}$
7. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}$
8. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}$
9. ${\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}$

Логические эквивалентности, включающие двусторонние условия

1. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}$
2. ${\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}$
4. ${\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q\equiv p\oplus q}$

Где представляет XOR . ${\displaystyle \oplus }$

Примеры

В логике

Следующие утверждения логически эквивалентны:

1. Если Лиза находится в Дании , то она находится в Европе (утверждение в форме ). ${\displaystyle d\implies e}$
2. Если Лиза не в Европе, то она не в Дании (утверждение в форме ). ${\displaystyle \neg e\implies \neg d}$

Синтаксически (1) и (2) выводятся друг из друга с помощью правил противопоставления и двойного отрицания . Семантически (1) и (2) истинны в абсолютно одинаковых моделях (интерпретациях, оценках); а именно, в тех, в которых либо Лиза находится в Дании, является ложным, либо Лиза находится в Европе, является истинным.

(Обратите внимание, что в этом примере предполагается классическая логика . Некоторые неклассические логики не считают (1) и (2) логически эквивалентными.)

Отношение к материальной эквивалентности

Логическая эквивалентность отличается от материальной эквивалентности. Формулы и логически эквивалентны тогда и только тогда, когда утверждение об их материальной эквивалентности ( ) является тавтологией. ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

Материальная эквивалентность and (часто записываемая как ) сама по себе является другим утверждением на том же объектном языке, что и and . Это утверждение выражает идею "' если и только если '". В частности, истинностное значение может меняться от одной модели к другой. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

С другой стороны, утверждение о том, что две формулы логически эквивалентны, является утверждением на метаязыке , которое выражает связь между двумя утверждениями и . Утверждения логически эквивалентны, если в каждой модели они имеют одинаковое истинностное значение. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Смотрите также

• Философский портал
• Психологический портал

• Логическое следствие
• Равноудовлетворительность
• Если и только если
• Логический двуусловный
• Логическое равенство
• ≡ символ iff (U+2261 ИДЕНТИЧЕН )
• ∷ символ a относится к b так же, как c относится к d (U+2237 ПРОПОРЦИЯ )
• ⇔ двусторонний двусторонний знак (U+21D4 ДВОЙНАЯ СТРЕЛКА ВЛЕВО ВПРАВО )
• ↔ двунаправленная стрелка (U+2194 СТРЕЛКА ВЛЕВО-ВПРАВО )

Ссылки

1. Мендельсон, Эллиотт (1979). Введение в математическую логику (2-е изд.). С. 56. ISBN 9780442253073.
2. Копи, Ирвинг ; Коэн, Карл ; Макмахон, Кеннет (2014). Введение в логику (New International ed.). Пирсон. стр. 348.