Теорема Какутани (теория меры)

В теории мер , разделе математики , теорема Какутани является фундаментальным результатом об эквивалентности или взаимной сингулярности счетных произведений мер . Она дает характеристику « тогда и только тогда », когда две такие меры эквивалентны, и, следовательно, она чрезвычайно полезна при попытке установить формулы изменения меры для мер на функциональных пространствах . Результат принадлежит японскому математику Сидзуо Какутани . Теорему Какутани можно использовать, например, для определения того, эквивалентен ли перенос гауссовой меры (только когда вектор переноса лежит в пространстве Камерона–Мартина ), или эквивалентно ли расширение (только когда абсолютное значение фактора расширения равно 1, что является частью теоремы Фельдмана–Хаека ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Формулировка теоремы

Для каждого пусть и будут мерами на действительной прямой , и пусть и будут соответствующими мерами произведения на . Предположим также, что для каждого и эквивалентны (т.е. имеют одинаковые нулевые множества). Тогда либо и эквивалентны, либо они взаимно сингулярны. Более того, эквивалентность имеет место именно тогда, когда бесконечное произведение ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \nu _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu =\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n}}$ ${\displaystyle \nu =\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }\nu _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \nu _{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N} }\int _{\mathbb {R} }{\sqrt {\frac {\mathrm {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} \nu _{n}}}}\,\mathrm {d} \nu _{n}}$

имеет ненулевой предел; или, что то же самое, когда бесконечный ряд

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\log \int _{\mathbb {R} }{\sqrt {\frac {\mathrm {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} \nu _{n}}}}\,\mathrm {d} \nu _{n}}$

сходится.

Ссылки

• Богачев, Владимир (1998). Гауссовские меры . Математические обзоры и монографии. Том 62. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi : 10.1090/surv/062. ISBN 0-8218-1054-5.(См. теорему 2.12.7)
• Какутани, Сидзуо (1948). «Об эквивалентности бесконечных мер произведения». Ann. Math . 49 : 214–224. doi :10.2307/1969123.