Эквивалентность (теория меры)

В математике , и в частности в теории меры , эквивалентность — это понятие двух мер , которые качественно подобны. В частности, две меры согласны в том, какие события имеют меру ноль.

Определение

Пусть и будут двумя мерами на измеримом пространстве , а и будут множествами - нулевых множеств и -нулевых множеств соответственно. Тогда говорят, что мера абсолютно непрерывна относительно тогда и только тогда, когда Это обозначается как ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \mu (A)=0\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \nu (A)=0\}}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }\supseteq {\mathcal {N}}_{\mu }.}$ ${\displaystyle \nu \ll \mu .}$

Две меры называются эквивалентными тогда и только тогда, когда и ^[1] , что обозначается как То есть, две меры эквивалентны, если они удовлетворяют ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ ${\displaystyle \mu \sim \nu .}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }={\mathcal {N}}_{\nu }.}$

Примеры

На реальной линии

Определим две меры на вещественной прямой как для всех борелевских множеств Тогда и эквивалентны, поскольку все множества вне имеют нулевую меру , а множество внутри является -нулевым множеством или -нулевым множеством в точности тогда, когда оно является нулевым множеством относительно меры Лебега . $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$ $${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Абстрактное измерение пространства

Рассмотрим некоторое измеримое пространство и пусть будет мерой подсчета , тогда где — мощность множества a. Таким образом, мера подсчета имеет только одно нулевое множество, которое является пустым множеством . То есть, Таким образом, согласно второму определению, любая другая мера эквивалентна мере подсчета, если и только если она также имеет только пустое множество в качестве единственного -нулевого множества. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (A)=|A|,}$$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }=\{\varnothing \}.}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

Меры поддержки

Мера называется ${\displaystyle \mu }$Поддерживающая мера меры,еслиявляется-конечнойиэквивалентна^[2] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu .}$

Ссылки

1. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. С. 156. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
2. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Springer. стр. 21. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.