Экзотический Р4

Гладкое 4-многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное евклидову пространству.

В математике экзотика — это дифференцируемое многообразие , которое гомеоморфно (т. е. сохраняет форму), но не диффеоморфно (т. е. негладко) евклидову пространству. Первые примеры были найдены в 1982 году Майклом Фридманом и другими, используя контраст между теоремами Фридмана о топологические 4-многообразия и теоремы Саймона Дональдсона о гладких 4-многообразиях. ^{[1] [2]} Существует континуум недиффеоморфных дифференцируемых структур , как это было впервые показано Клиффордом Таубсом . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

До этой конструкции уже было известно о существовании недиффеоморфных гладких структур на сферах – экзотических сферах  , хотя вопрос о существовании таких структур для частного случая 4-сферы оставался открытым (и остается открытым по состоянию на 2023 г.). ). Для любого положительного целого числа n, отличного от 4, не существует экзотических гладких структур, другими словами, если n ≠ 4, то любое гладкое многообразие, гомеоморфное, диффеоморфно ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Маленькая экзотика R 4 s

Экзотика называется маленькой , если ее можно плавно встроить как открытое подмножество стандарта. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Малую экзотику можно построить, начав с нетривиального гладкого 5-мерного h - кобордизма (который существует благодаря доказательству Дональдсона о несостоятельности теоремы о h -кобордизме в этом измерении) и используя теорему Фридмана о том, что в этом измерении верна топологическая теорема о h -кобордизме. измерение. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Большая экзотика R 4 s

Экзотическое называется большим , если его нельзя плавно встроить в открытое подмножество стандартного. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Примеры большой экзотики можно построить, используя тот факт, что компактные 4-многообразия часто можно разделить как топологическую сумму (по работе Фридмана), но не могут быть разделены как гладкая сумма (по работе Дональдсона). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Майкл Хартли Фридман и Лоуренс Р. Тейлор (1986) показали, что существует максимальная экзотика, в которую все остальные могут быть плавно встроены как открытые подмножества. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Родственные экзотические структуры

Ручки Кассона гомеоморфны по теореме Фридмана (где - замкнутый единичный круг), но из теоремы Дональдсона следует, что не все они диффеоморфны. Другими словами, некоторые ручки Кассона являются экзотическими. ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$

Неизвестно (по состоянию на 2022 год), существуют ли какие-либо экзотические 4-сферы; такая экзотическая 4-сфера была бы контрпримером гладкой обобщенной гипотезе Пуанкаре в размерности 4. Некоторые вероятные кандидаты даются поворотами Глюка .

Смотрите также

• Акбулут пробка - инструмент, используемый для создания экзотических классов из ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )}$
• Атлас (топология)

Примечания

1. Кирби (1989), с. 95
2. Фридман и Куинн (1990), с. 122
3. Таубс (1987), Теорема 1.1
4. Столлингс (1962), в частности следствие 5.2.
5. Ассельмейер-Малуга, Торстен; Кроль, Ежи (28 августа 2014 г.). «Абелевы гербы, обобщенные геометрии и слоения малых экзотических R^4». arXiv : 0904.1276 [геп-й].

Рекомендации

• Фридман, Майкл Х .; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий . Принстонская математическая серия. Том. 39. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08577-3.
• Фридман, Майкл Х .; Тейлор, Лоуренс Р. (1986). «Универсальное сглаживание четырехмерного пространства». Журнал дифференциальной геометрии . 24 (1): 69–78. дои : 10.4310/jdg/1214440258 . ISSN  0022-040X. МР  0857376.
• Кирби, Робион К. (1989). Топология 4-многообразий . Конспект лекций по математике. Том. 1374. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-51148-2.
• Скорпан, Александру (2005). Дикий мир 4-многообразий . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3749-8.
• Столлингс, Джон (1962). «Кусочно-линейная структура евклидова пространства». Учеб. Кембриджская философия. Соц . 58 (3): 481–488. Бибкод : 1962PCPS...58..481S. дои : 10.1017/s0305004100036756. S2CID  120418488. МР 0149457
• Гомпф, Роберт Э .; Стипсич, Андраш И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Аспирантура по математике . Том. 20. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0994-6.
• Таубс, Клиффорд Генри (1987). «Калибровочная теория на асимптотически периодических 4-многообразиях». Журнал дифференциальной геометрии . 25 (3): 363–430. дои : 10.4310/jdg/1214440981 . МР  0882829. ЧП  1214440981.