Экранирование электрического поля

Затухание электрических полей

В физике экранирование — это затухание электрических полей , вызванное наличием подвижных носителей заряда . Это важная часть поведения жидкостей , несущих заряд , таких как ионизированные газы (классическая плазма ), электролиты и носители заряда в электронных проводниках ( полупроводники , металлы ). В жидкости с заданной диэлектрической проницаемостью ε , состоящей из электрически заряженных составляющих частиц, каждая пара частиц (с зарядами q ₁ и q ₂ ) взаимодействует посредством силы Кулона как , где вектор r — относительное положение между зарядами. Это взаимодействие усложняет теоретическую трактовку жидкости. Например, наивный квантово-механический расчет плотности энергии основного состояния дает бесконечность, что неразумно. Трудность заключается в том, что, хотя сила Кулона уменьшается с расстоянием как 1/ r ² , среднее число частиц на каждом расстоянии r пропорционально r ² , предполагая, что жидкость достаточно изотропна . В результате флуктуация заряда в любой точке оказывает существенное влияние на больших расстояниях. $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {r} \right|^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

В действительности эти дальнодействующие эффекты подавляются потоком частиц в ответ на электрические поля. Этот поток сводит эффективное взаимодействие между частицами к короткодействующему «экранированному» кулоновскому взаимодействию. Эта система соответствует простейшему примеру перенормированного взаимодействия. ^[1]

В физике твердого тела , особенно для металлов и полупроводников , эффект экранирования описывает электростатическое поле и кулоновский потенциал иона внутри твердого тела. Подобно тому, как электрическое поле ядра уменьшается внутри атома или иона из-за эффекта экранирования , электрические поля ионов в проводящих твердых телах дополнительно уменьшаются облаком электронов проводимости .

Описание

Рассмотрим жидкость, состоящую из электронов, движущихся на однородном фоне положительного заряда (однокомпонентная плазма). Каждый электрон обладает отрицательным зарядом. Согласно кулоновскому взаимодействию, отрицательные заряды отталкиваются друг от друга. Следовательно, этот электрон будет отталкивать другие электроны, создавая вокруг себя небольшую область, в которой меньше электронов. Эту область можно рассматривать как положительно заряженную «экранирующую дыру». При взгляде с большого расстояния эта экранирующая дыра имеет эффект наложенного положительного заряда, который нейтрализует электрическое поле, создаваемое электроном. Только на коротких расстояниях, внутри области дыры, можно обнаружить поле электрона. Для плазмы этот эффект можно сделать явным с помощью расчета -тела. ^{[2] : §5} Если фон состоит из положительных ионов, их притяжение интересующим электроном усиливает вышеуказанный механизм экранирования. В атомной физике для атомов с более чем одной электронной оболочкой существует релевантный эффект: эффект экранирования . В физике плазмы экранирование электрическим полем также называется экранированием Дебая или экранированием. В макроскопических масштабах это проявляется в виде оболочки ( дебаевской оболочки ) вокруг материала, с которым плазма находится в контакте. ${\displaystyle N}$

Экранированный потенциал определяет межатомную силу и дисперсионное соотношение фононов в металлах. Экранированный потенциал используется для расчета электронной зонной структуры большого разнообразия материалов, часто в сочетании с псевдопотенциальными моделями. Эффект экранирования приводит к независимому приближению электронов , что объясняет предсказательную силу вводных моделей твердых тел, таких как модель Друде , модель свободных электронов и модель почти свободных электронов .

Теория и модели

Первая теоретическая трактовка электростатического экранирования, предложенная Петером Дебаем и Эрихом Хюккелем ^[3] , касалась неподвижного точечного заряда, погруженного в жидкость.

Рассмотрим жидкость электронов на фоне тяжелых положительно заряженных ионов. Для простоты мы игнорируем движение и пространственное распределение ионов, аппроксимируя их как однородный фоновый заряд. Это упрощение допустимо, поскольку электроны легче и подвижнее ионов, при условии, что мы рассматриваем расстояния, намного большие, чем ионное разделение. В физике конденсированного состояния эта модель называется желе .

Экранированные кулоновские взаимодействия

Пусть ρ обозначает плотность электронов, а φ — электрический потенциал . Сначала электроны распределены равномерно, так что в каждой точке суммарный заряд равен нулю. Поэтому φ изначально также является константой.

Теперь введем фиксированный точечный заряд Q в начале координат. Соответствующая плотность заряда равна Qδ ( r ), где δ ( r ) — дельта-функция Дирака . После того, как система вернулась в состояние равновесия, пусть изменение электронной плотности и электрического потенциала будет Δ ρ ( r ) и Δ φ ( r ) соответственно. Плотность заряда и электрический потенциал связаны уравнением Пуассона , которое дает где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума . $${\displaystyle -\nabla ^{2}[\Delta \phi (r)]={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[Q\delta (r)-e\Delta \rho (r)],}$$

Для продолжения нам необходимо найти второе независимое уравнение, связывающее Δρ и Δφ . Мы рассмотрим два возможных приближения, при которых эти две величины пропорциональны: приближение Дебая–Хюккеля, справедливое при высоких температурах (например, классическая плазма), и приближение Томаса–Ферми, справедливое при низких температурах (например, электроны в металлах).

Приближение Дебая–Хюккеля

В приближении Дебая–Хюккеля ^[3] мы поддерживаем систему в термодинамическом равновесии при температуре T, достаточно высокой, чтобы частицы жидкости подчинялись статистике Максвелла–Больцмана . В каждой точке пространства плотность электронов с энергией j имеет вид где k _B — постоянная Больцмана . Возмущая по φ и расширяя экспоненту до первого порядка, получаем где $${\displaystyle \rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \left[{\frac {e\phi (r)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]}$$ $${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$ $${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}}$$

Соответствующая длина λ _D ≡ 1/ k ₀ называется длиной Дебая . Длина Дебая является фундаментальным масштабом длины классической плазмы.

Приближение Томаса–Ферми

В приближении Томаса–Ферми ^[4], названном в честь Ллевеллина Томаса и Энрико Ферми , система поддерживается при постоянном электронном химическом потенциале ( уровень Ферми ) и при низкой температуре. Первое условие соответствует в реальном эксперименте поддержанию электрического контакта металла/жидкости с фиксированной разностью потенциалов с землей . Химический потенциал μ по определению является энергией добавления дополнительного электрона к жидкости. Эту энергию можно разложить на часть кинетической энергии T и часть потенциальной энергии − eφ . Поскольку химический потенциал поддерживается постоянным, $${\displaystyle \Delta \mu =\Delta T-e\Delta \phi =0.}$$

Если температура чрезвычайно низкая, поведение электронов приближается к квантово-механической модели газа Ферми . Таким образом, мы аппроксимируем T кинетической энергией дополнительного электрона в модели газа Ферми, которая является просто энергией Ферми E _F . Энергия Ферми для трехмерной системы связана с плотностью электронов (включая вырождение спина) соотношением где k _F — волновой вектор Ферми. Возмущая до первого порядка, мы находим, что $${\displaystyle \rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {4}{3}}\pi k_{\mathrm {F} }^{3}\right),\quad E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},}$$ $${\displaystyle \Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{2E_{\mathrm {F} }}}\Delta E_{\mathrm {F} }.}$$

Подставляя это в приведенное выше уравнение для Δ μ, получаем , где называется волновым вектором экранирования Томаса–Ферми. $${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$ $${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{2\varepsilon _{0}E_{\mathrm {F} }}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{\mathrm {F} }}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}}$$

Этот результат следует из уравнений ферми-газа, который является моделью невзаимодействующих электронов, тогда как жидкость, которую мы изучаем, содержит кулоновское взаимодействие. Поэтому приближение Томаса–Ферми справедливо только при низкой плотности электронов, так что взаимодействия частиц относительно слабы.

Результат: проверенный потенциал

Наши результаты из приближения Дебая–Хюккеля или Томаса–Ферми теперь можно вставить в уравнение Пуассона. Результатом является которое известно как экранированное уравнение Пуассона . Решением является которое называется экранированным кулоновским потенциалом. Это кулоновский потенциал, умноженный на экспоненциальный затухающий член, причем сила коэффициента затухания задается величиной k ₀ , волновым вектором Дебая или Томаса–Ферми. Обратите внимание, что этот потенциал имеет ту же форму, что и потенциал Юкавы . Это экранирование дает диэлектрическую функцию . $${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r),}$$ $${\displaystyle \phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r},}$$ ${\displaystyle \varepsilon (r)=\varepsilon _{0}e^{k_{0}r}}$

Теория многих тел

Классическая физика и линейный отклик

Механический подход тела обеспечивает вывод эффекта экранирования и затухания Ландау . ^{[2] [5]} Он имеет дело с одной реализацией однокомпонентной плазмы, электроны которой имеют дисперсию скоростей (для тепловой плазмы должно быть много частиц в сфере Дебая, объеме, радиус которого равен длине Дебая). Используя линеаризованное движение электронов в их собственном электрическом поле, он дает уравнение типа ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}\Phi =S,}$$

где — линейный оператор, — исходный член, обусловленный частицами, а — преобразование Фурье-Лапласа электростатического потенциала. При замене интеграла по гладкой функции распределения на дискретную сумму по частицам в , получаем где — диэлектрическая проницаемость плазмы или диэлектрическая функция, классически полученная с помощью линеаризованного уравнения Власова-Пуассона , ^{[6] : §6.4} — волновой вектор, — частота, а — сумма исходных членов, обусловленных частицами. ^{[2] : Уравнение 20} ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ $${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )\,\Phi (\mathbf {k} ,\omega )=S(\mathbf {k} ,\omega ),}$$ ${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle N}$

Посредством обратного преобразования Фурье-Лапласа потенциал каждой частицы является суммой двух частей ^{[2] : §4.1} Одна соответствует возбуждению волн Ленгмюра частицей, а другая является ее экранированным потенциалом, как это классически получается с помощью линеаризованного расчета Власова с использованием пробной частицы. ^{[6] : §9.2} Экранированный потенциал является вышеуказанным экранированным кулоновским потенциалом для тепловой плазмы и тепловой частицы. Для более быстрой частицы потенциал модифицируется. ^{[6] : §9.2} Подстановка интеграла по гладкой функции распределения вместо дискретной суммы по частицам в дает выражение Власова, позволяющее вычислить затухание Ландау. ^{[6] : §6.4} ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$

Квантово-механический подход

В реальных металлах эффект экранирования более сложен, чем описано выше в теории Томаса-Ферми. Предположение о том, что носители заряда (электроны) могут реагировать на любой волновой вектор, является лишь приближением. Однако энергетически невозможно, чтобы электрон внутри или на поверхности Ферми реагировал на волновые векторы, которые короче волнового вектора Ферми. Это ограничение связано с явлением Гиббса , когда ряды Фурье для функций, которые быстро меняются в пространстве, не являются хорошими приближениями, если только не удерживается очень большое количество членов ряда. В физике это явление известно как осцилляции Фриделя и применяется как к поверхностному, так и к объемному экранированию. В каждом случае чистое электрическое поле не спадает экспоненциально в пространстве, а скорее как обратный степенной закон, умноженный на колебательный член. Теоретические расчеты можно получить из квантовой гидродинамики и теории функционала плотности (DFT).

Смотрите также

• Длина Бьеррума
• Длина Дебая

Ссылки

1. МакКомб, У. Д. (2007). Методы перенормировки: руководство для начинающих (переиздано с исправлениями, переиздано под ред.). Оксфорд: Oxford University Press. §1.2.1, §3.2. ISBN 978-0199236527.
2. Escande, DF; Elskens, Yves; Doveil, F (1 февраля 2015 г.). "Прямой путь от микроскопической механики к экранированию Дебая, затуханию Ландау и взаимодействию волны и частицы". Plasma Physics and Controlled Fusion . 57 (2): 025017. arXiv : 1409.4323 . Bibcode :2015PPCF...57b5017E. doi :10.1088/0741-3335/57/2/025017. S2CID  8246103.
3. P. Debye и E. Hückel (1923). "Теория электролитов. I. Понижение точки замерзания и связанные с этим явления" (PDF) . Physikalische Zeitschrift . 24 : 185–206. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-11-02.
4. Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976)
5. Escande, DF; Doveil, F; Elskens, Yves (2016). "N-тело описание экранирования Дебая и затухания Ландау". Plasma Physics and Controlled Fusion . 58 (1): 014040. arXiv : 1506.06468 . Bibcode : 2016PPCF...58a4040E. doi : 10.1088/0741-3335/58/1/014040. S2CID  118576116.
6. Николсон, DR (1983). Введение в теорию плазмы . Нью-Йорк: John Wiley. ISBN 978-0471090458.

Внешние ссылки

• Фицпатрик, Ричард (2011-03-31). "Debye Shielding". Техасский университет в Остине . Получено 2018-07-12 .