Жесткость мер

Понятие в теории меры

В математике теснота — это концепция теории меры . Интуитивная идея заключается в том , что заданный набор мер не «убегает в бесконечность ».

Определения

Пусть будет хаусдорфовым пространством , и пусть будет σ-алгеброй на , содержащей топологию . (Таким образом, каждое открытое подмножество из является измеримым множеством и по крайней мере столь же тонким, как борелевская σ-алгебра на .) Пусть будет набором (возможно, знаковых или комплексных ) мер, определенных на . Набор называется плотным (или иногда равномерно плотным ), если для любого существует компактное подмножество из , такое что для всех мер , ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu \in M}$

${\displaystyle |\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .}$

где — это мера общей вариации . Очень часто рассматриваемые меры являются вероятностными мерами , поэтому последнюю часть можно записать как ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .\,}$

Если плотная коллекция состоит из одной меры , то (в зависимости от автора) ее можно назвать либо плотной мерой , либо внутренней регулярной мерой . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Если — случайная величина со значениями , распределение вероятностей которой является жесткой мерой, то говорят, что это разделимая случайная величина или случайная величина Радона . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Другим эквивалентным критерием плотности набора является последовательно слабо компактность. Мы говорим, что семейство вероятностных мер является последовательно слабо компактным, если для каждой последовательности из семейства существует подпоследовательность мер, которая слабо сходится к некоторой вероятностной мере . Можно показать, что семейство мер является плотным тогда и только тогда, когда оно последовательно слабо компактно. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}$ ${\displaystyle \mu }$

Примеры

Компактные пространства

Если — метризуемое компактное пространство , то любой набор (возможно, комплексных) мер на является плотным. Это не обязательно так для неметризуемых компактных пространств. Если мы возьмем с его топологией порядка , то на нем существует мера , которая не является внутренней регулярной. Следовательно, синглтон не является плотным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{\mu \}}$

Польские пространства

Если — польское пространство , то каждая вероятностная мера на является плотной. Более того, по теореме Прохорова , набор вероятностных мер на является плотным тогда и только тогда, когда он является предкомпактным в топологии слабой сходимости . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Совокупность точечных масс

Рассмотрим действительную линию с ее обычной топологией Бореля. Пусть обозначает меру Дирака , единичную массу в точке в . Набор ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}|n\in \mathbb {N} \}}$

не является плотным, поскольку компактные подмножества являются именно замкнутыми и ограниченными подмножествами, и любое такое множество, поскольку оно ограничено, имеет -меру ноль для достаточно большого . С другой стороны, набор ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}|n\in \mathbb {N} \}}$

является плотным: компактный интервал будет работать как для любого . В общем случае набор дельта-мер Дирака на является плотным тогда и только тогда, когда набор их носителей ограничен. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Коллекция гауссовых мер

Рассмотрим -мерное евклидово пространство с его обычной топологией Бореля и σ-алгеброй. Рассмотрим набор гауссовых мер ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}|i\in I\},}$

где мера имеет ожидаемое значение ( среднее ) и ковариационную матрицу . Тогда коллекция плотная тогда и только тогда, когда коллекции и обе ограничены. ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \{m_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{C_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n\times n}}$

Плотность и конвергенция

Плотность часто является необходимым критерием для доказательства слабой сходимости последовательности вероятностных мер, особенно когда пространство мер имеет бесконечную размерность . См.

• Конечномерное распределение
• Теорема Прохорова
• Метрика Леви–Прохорова
• Слабая конвергенция мер
• Теснота в классическом пространстве Винера
• Теснота в пространстве Скорохода

Экспоненциальная плотность

Усиление плотности — это концепция экспоненциальной плотности, которая имеет приложения в теории больших отклонений . Семейство вероятностных мер на топологическом пространстве Хаусдорфа называется экспоненциально плотным , если для любого существует компактное подмножество такое , что ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .}$

Ссылки

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Леду, Мишель; Талагран, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах . Берлин: Springer-Verlag. С. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. MR 1102015 (см. главу 2)