Экспоненциальная функция

Математическая функция, обозначаемая exp(x) или e^x

Показательные функции с основаниями 2 и 1/2

Экспоненциальная функция — это математическая функция, обозначаемая как или (где аргумент x записывается как показатель степени ). Если не указано иное, этот термин обычно относится к положительной функции действительной переменной , хотя его можно распространить на комплексные числа или обобщить на другие математические объекты, такие как матрицы или алгебры Ли . Экспоненциальная функция возникла из операции возведения числа в степень (повторное умножение), но различные современные определения позволяют строго распространить ее на все действительные аргументы , включая иррациональные числа . Ее повсеместное распространение в чистой и прикладной математике привело математика Вальтера Рудина к тому, чтобы считать экспоненциальную функцию «самой важной функцией в математике». ^[1] ${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$

Функция для любого положительного действительного числа (называемого основанием ) также известна как (общая) показательная функция и удовлетворяет тождеству возведения в степень : Это подразумевает (с множителями) для положительных целых чисел , где , связывая показательные функции с элементарным понятием возведения в степень. Натуральное основание является фундаментальной математической константой , называемой числом Эйлера . Чтобы отличить его, называется показательной функцией или натуральной показательной функцией : это уникальная вещественная функция действительной переменной, производная которой равна ей самой и значение которой в точке 0 равно 1 : ${\displaystyle f(x)=b^{x}}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle b^{x+y}=b^{x}b^{y}{\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} .}$$ ${\displaystyle b^{n}=b\times \cdots \times b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=b^{1}}$ ${\displaystyle e=\exp(1)=2.71828\ldots }$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

${\displaystyle \exp '(x)=\exp(x)}$для всех , и ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(0)=1.}$

Соотношение для и действительных или комплексных чисел позволяет выразить общие показательные функции через натуральную показательную функцию. ${\displaystyle b^{x}=e^{x\ln b}}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle x}$

В более общем смысле, особенно в прикладных настройках, любая функция, определяемая ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(x)=a\,e^{kx}=a\,b^{cx},{\text{ with }}k=c\ln b,\ k\neq 0,\ a,b>0}$$

также известна как экспоненциальная функция: она решает задачу начального значения , то есть ее скорость изменения в каждой точке пропорциональна значению функции в этой точке. Такое поведение моделирует разнообразные явления в биологических, физических и социальных науках, например, неограниченный рост самовоспроизводящейся популяции , распад радиоактивного элемента , сложные проценты , начисляемые на финансовый фонд, или самоподдерживающееся улучшение компьютерной конструкции . ${\displaystyle f'=kf,\ f(0)=a}$

Экспоненциальная функция также может быть определена как степенной ряд , который легко применяется к действительным, комплексным и даже матричным аргументам. Комплексная экспоненциальная функция принимает все комплексные значения, кроме 0, и тесно связана с тригонометрическими функциями формулой Эйлера : ${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}\cos(y)\,+\,i\,e^{x}\sin(y).}$

Мотивированная своими более абстрактными свойствами и характеристиками, экспоненциальная функция может быть обобщена на гораздо более широкие контексты, такие как квадратные матрицы и группы Ли . Более того, определение может быть обобщено на риманово многообразие .

Экспоненциальная функция для действительных чисел является биекцией из в интервал . ^[2] Ее обратная функция — натуральный логарифм , обозначаемый , ^{[nb 1]} , ^{[nb 2]} или . Некоторые старые тексты ^[3] называют экспоненциальную функцию антилогарифмом . ${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \log _{e}}$

График

График имеет восходящий наклон и увеличивается быстрее с увеличением x . ^[4] График всегда лежит выше оси x , но становится произвольно близким к ней для больших отрицательных x ; таким образом, ось x является горизонтальной асимптотой . Уравнение означает, что наклон касательной к графику в каждой точке равен ее высоте (ее координате y ) в этой точке. ${\displaystyle y=e^{x}}$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

Связь с более общими показательными функциями

Экспоненциальную функцию иногда называют натуральной экспоненциальной функцией , чтобы отличить ее от других экспоненциальных функций. Изучение любой экспоненциальной функции можно легко свести к изучению натуральной экспоненциальной функции, поскольку по определению, для положительного b , Как функции действительной переменной, экспоненциальные функции однозначно характеризуются тем фактом, что производная такой функции прямо пропорциональна значению функции. Константа пропорциональности этого отношения является натуральным логарифмом основания b : Пусть будет положительным коэффициентом. Для функция возрастает (как показано для b = e и b = 2 ), поскольку делает производную всегда положительной и описывает экспоненциальный рост . Для функция убывает (как показано для b = ⁠ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ $${\displaystyle a\,b^{x}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} a\,e^{x\ln b}}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a\,b^{x}={\frac {d}{dx}}a\,e^{x\ln(b)}=a\,e^{x\ln(b)}\ln(b)=a\,b^{x}\ln(b).}$$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle a\,b^{x}}$ ${\displaystyle \ln b>0}$ ${\displaystyle 0<b<1}$1/2⁠ ), и описывает экспоненциальный распад . При b = 1 функция постоянна.

Число Эйлера e = 2,71828... ^[5] является единственным основанием, для которого коэффициент пропорциональности равен 1, так как , так что функция является своей собственной производной: ${\displaystyle \ln(e)=1}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\ln(e)=e^{x}.}$$

Эта функция, также обозначаемая как , называется «натуральной показательной функцией», ^{[6] [7]} или просто «показательной функцией», обозначаемой как Первое обозначение обычно используется для более простых показателей, тогда как второе предпочтительнее, когда показатель степени более сложный и его труднее читать мелким шрифтом. Поскольку любая показательная функция может быть записана в терминах натуральной показательной функции, вычислительно и концептуально удобно свести изучение показательных функций к этой конкретной. ${\displaystyle \exp(x)}$ $${\displaystyle x\mapsto e^{x}\quad {\text{or}}\quad x\mapsto \exp(x).}$$ ${\displaystyle f(x)=a\,b^{x}}$

Для действительных чисел функция вида также является показательной функцией: ${\displaystyle c,d}$ ${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$ $${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}=\left(ab^{d}\right)e^{xc\ln b}.}$$

Формальное определение

Показательная функция (синим цветом) и сумма первых n + 1 членов ее степенного ряда (красным цветом)

Экспоненциальную функцию можно охарактеризовать множеством эквивалентных способов. Обычно ее определяют следующим степенным рядом : ^{[1] [8]} ${\displaystyle \exp }$ $${\displaystyle \exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

Поскольку радиус сходимости этого степенного ряда бесконечен, это определение применимо ко всем комплексным числам; см. § Комплексная плоскость.

Почленное дифференцирование этого степенного ряда показывает, что для всех x , что приводит к другой общей характеристике как единственного решения обыкновенного дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию ${\textstyle {\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x}$ ${\displaystyle \exp x}$ $${\displaystyle y'(x)=y(x)}$$ ${\displaystyle y(0)=1.}$

Это же дифференциальное уравнение можно решить , используя метод Эйлера , который дает еще одну общую характеристику — формулу предела произведения: ^{[9] [8]} ${\displaystyle y'(x)=y(x)}$ ${\displaystyle y'(0)=1}$ $${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

С любым из этих эквивалентных определений, можно определить число Эйлера . Затем можно показать, что равно показательной функции , и оба могут быть записаны как ${\textstyle e=\exp 1}$ ${\textstyle (\exp 1)^{x}}$ ${\textstyle \exp x}$ ${\textstyle e^{x}.}$

Существует также другой способ охарактеризовать показательную функцию для действительных чисел: это единственная функция , которая удовлетворяет тождеству для всех действительных , принимает значение и достигает любого из следующих условий регулярности: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle f(1)=e}$

• ${\displaystyle f}$непрерывен в любой точке;
• ${\displaystyle f}$увеличивается на любом интервале;
• ${\displaystyle f}$ограничено на любом интервале.

В более крупных областях, то есть комплексных числах , вышеуказанных условий недостаточно для однозначной характеристики для всех . Можно использовать более сильные условия, такие как комплексная производная . ${\displaystyle f(x)\equiv e^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$

Обзор

Красная кривая — экспоненциальная функция. Черные горизонтальные линии показывают, где она пересекает зеленые вертикальные линии.

Экспоненциальная функция возникает всякий раз, когда величина растет или убывает со скоростью, пропорциональной ее текущему значению. Одной из таких ситуаций является непрерывно начисляемый процент , и фактически именно это наблюдение привело Якоба Бернулли в 1683 году ^[10] к числу, теперь известному как e . Позднее, в 1697 году, Иоганн Бернулли изучал исчисление экспоненциальной функции. ^[10] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$

Если основная сумма в размере 1 приносит проценты по годовой ставке x, начисляемые ежемесячно, то проценты, получаемые каждый месяц, составляют ⁠х/12⁠ умножается на текущее значение, поэтому каждый месяц общая стоимость умножается на (1 + ⁠х/12⁠ ) ​​, а значение на конец года составляет (1 + ⁠х/12⁠ ) ^​​12. Если вместо этого проценты начисляются ежедневно, это становится (1 + ⁠х/365⁠ ) ^​​365 . Если позволить числу временных интервалов в году расти без ограничений, то это приводит к предельному определению показательной функции, впервые данному Леонардом Эйлером . ^[9] Это одно из многих описаний показательной функции ; другие включают ряды или дифференциальные уравнения . $${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$$

Из любого из этих определений можно показать, что e ^{− x} является обратной величиной e ^x . Например, из определения дифференциального уравнения e ^x e ^{− x} = 1 , когда x = 0 , а его производная с использованием правила произведения равна e ^x e ^{− x} − e ^x e ^{− x} = 0 для всех x , поэтому e ^x e ^{− x} = 1 для всех x .

Из любого из этих определений можно показать, что показательная функция подчиняется основному тождеству возведения в степень . Например, из определения степенного ряда, расширенного теоремой Бинома Ньютона , Это оправдывает показательную запись e ^x для exp x . $${\displaystyle \exp(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\frac {x^{k}y^{n-k}}{n!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {x^{k}y^{\ell }}{k!\ell !}}=\exp x\cdot \exp y\,.}$$

Производная (скорость изменения) экспоненциальной функции — это сама экспоненциальная функция. В более общем смысле, функция со скоростью изменения , пропорциональной самой функции , выражается через экспоненциальную функцию. Это производное свойство приводит к экспоненциальному росту или экспоненциальному убыванию .

Экспоненциальная функция распространяется на целую функцию на комплексной плоскости . Формула Эйлера связывает ее значения при чисто мнимых аргументах с тригонометрическими функциями . Экспоненциальная функция также имеет аналоги, для которых аргумент является матрицей или даже элементом банаховой алгебры или алгебры Ли .

Производные и дифференциальные уравнения

Производная показательной функции равна значению функции. Из любой точки P на кривой (синяя) проведем касательную (красная) и вертикальную (зеленая) с высотой h , образуя прямоугольный треугольник с основанием b на оси x . Поскольку наклон красной касательной (производной) в точке P равен отношению высоты треугольника к основанию треугольника (подъему над пробегом), а производная равна значению функции, h должно быть равно отношению h к b . Следовательно, основание b всегда должно быть равно 1.

Важность показательной функции в математике и естественных науках обусловлена ​​главным образом ее свойством как уникальной функции, которая равна своей производной и равна 1 при x = 0. То есть, $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.}$$

Функции вида ae ^x для постоянного a являются единственными функциями, которые равны своей производной (по теореме Пикара–Линделёфа ). Другие способы сказать то же самое включают:

• Наклон графика в любой точке равен высоте функции в этой точке.
• Скорость возрастания функции в точке x равна значению функции в точке x .
• Функция решает дифференциальное уравнение y ′ = y .
• exp — неподвижная точка производной как функционала .

Если скорость роста или убывания переменной пропорциональна ее размеру — как в случае неограниченного роста населения (см. Мальтузианская катастрофа ), непрерывного начисления сложных процентов или радиоактивного распада — то переменную можно записать как константу, умноженную на экспоненциальную функцию времени.

В более общем случае, для любой действительной константы k функция f : R → R удовлетворяет тогда и только тогда, когда для некоторой константы a . Константа k называется константой распада , константой распада , ^[11] константой скорости , ^[12] или константой превращения . ^[13] ${\displaystyle f'=kf}$ ${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$

Более того, для любой дифференцируемой функции f по правилу цепочки находим : $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)\,e^{f(x)}.}$$

Цепные дроби длябывший​

Цепную дробь для e ^x можно получить с помощью тождества Эйлера : $${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

Следующая обобщенная цепная дробь для e ^z сходится быстрее: ^[14] $${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

или, применяя замену z = ⁠х/у⁠ : с особым случаем для z = 2 : $${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$ $${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$$

Эта формула также сходится, хотя и медленнее, при z > 2. Например: $${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$$

Комплексная плоскость

Показательная функция e^z, построенная на комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i

Сложный график , где аргумент представлен изменяющимся тоном. Переход от темных цветов к светлым показывает, что увеличивается только вправо. Периодические горизонтальные полосы, соответствующие одному и тому же тону, указывают, что является периодическим в мнимой части . ${\displaystyle z\mapsto \exp z}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} \exp z}$ ${\displaystyle \left|\exp z\right|}$ ${\displaystyle z\mapsto \exp z}$ ${\displaystyle z}$

Как и в действительном случае, показательная функция может быть определена на комплексной плоскости в нескольких эквивалентных формах.

Наиболее распространенное определение комплексной показательной функции аналогично определению степенного ряда для действительных аргументов, где действительная переменная заменяется комплексной: $${\displaystyle \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$$

В качестве альтернативы комплексную экспоненциальную функцию можно определить, смоделировав определение предела для действительных аргументов, но заменив действительную переменную комплексной: $${\displaystyle \exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$

Для определения степенного ряда почленное умножение двух копий этого степенного ряда в смысле Коши , допускаемое теоремой Мертенса , показывает, что определяющее мультипликативное свойство показательных функций продолжает выполняться для всех комплексных аргументов: $${\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z{\text{ for all }}w,z\in \mathbb {C} }$$

Определение комплексной показательной функции в свою очередь приводит к соответствующим определениям, расширяющим тригонометрические функции до комплексных аргументов.

В частности, когда z = it ( t real), определение ряда дает разложение $${\displaystyle \exp(it)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).}$$

В этом расширении перестановка членов в действительную и мнимую части оправдана абсолютной сходимостью ряда. Действительная и мнимая части приведенного выше выражения фактически соответствуют разложениям в ряды cos t и sin t соответственно.

Это соответствие дает мотивацию для определения косинуса и синуса для всех комплексных аргументов в терминах и эквивалентного степенного ряда: ^[15] ${\displaystyle \exp(\pm iz)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos z:={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}},\\[5pt]{\text{and }}\quad &\sin z:={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$$

для всех ${\textstyle z\in \mathbb {C} .}$

Функции exp , cos и sin , определенные таким образом, имеют бесконечные радиусы сходимости по тесту отношения и, следовательно, являются целыми функциями (то есть голоморфными на ). Область значений экспоненциальной функции равна , в то время как области значений комплексных функций синуса и косинуса равны обеим в полном объеме, в соответствии с теоремой Пикара , которая утверждает, что область значений непостоянной целой функции равна либо всем , либо исключая одно лакунарное значение . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Эти определения для показательной и тригонометрической функций тривиально приводят к формуле Эйлера : $${\displaystyle \exp(iz)=\cos z+i\sin z{\text{ for all }}z\in \mathbb {C} .}$$

Мы могли бы альтернативно определить сложную показательную функцию, основанную на этом отношении. Если z = x + iy , где x и y оба действительны, то мы могли бы определить ее показательную функцию как где exp , cos и sin в правой части знака определения должны интерпретироваться как функции действительной переменной, ранее определенной другими способами. ^[16] $${\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}$$

Для соотношение сохраняется, так что для вещественных и отображает вещественную линию (mod 2 π ) в единичную окружность в комплексной плоскости. Более того, переходя от к , кривая, определяемая чертит сегмент единичной окружности длиной, начинающейся от z = 1 в комплексной плоскости и идущей против часовой стрелки. Основываясь на этих наблюдениях и на том факте, что мера угла в радианах является длиной дуги на единичной окружности, стягиваемой углом, легко видеть, что, ограничиваясь вещественными аргументами, функции синуса и косинуса, определенные выше, совпадают с функциями синуса и косинуса, введенными в элементарной математике через геометрические понятия. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {\exp(it)}}=\exp(-it)}$ ${\displaystyle \left|\exp(it)\right|=1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\mapsto \exp(it)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\exp(it)}$ $${\displaystyle \int _{0}^{t_{0}}|\gamma '(t)|\,dt=\int _{0}^{t_{0}}|i\exp(it)|\,dt=t_{0},}$$

Комплексная показательная функция является периодической с периодом 2 πi и справедлива для всех . ${\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z} }$

При расширении области определения от действительной прямой до комплексной плоскости экспоненциальная функция сохраняет следующие свойства: $${\displaystyle {\begin{aligned}&e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,\\[5pt]&e^{0}=1\,\\[5pt]&e^{z}\neq 0\\[5pt]&{\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}\\[5pt]&\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

для всех ${\textstyle w,z\in \mathbb {C} .}$

Расширение натурального логарифма до комплексных аргументов дает комплексный логарифм log z , который является многозначной функцией .

Затем мы можем определить более общее возведение в степень: для всех комплексных чисел z и w . Это также многозначная функция, даже когда z является действительным числом. Это различие проблематично, поскольку многозначные функции log z и z ^w легко спутать с их однозначными эквивалентами при замене z действительным числом . Правило умножения показателей степеней для случая положительных действительных чисел должно быть изменено в многозначном контексте: $${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}$$

( е ^з )^ж
≠ e ^zw , а скорее ( e ^z )^ж
= e ^{( z + 2 niπ ) w} многозначный над целыми числами n

Подробнее о проблемах с объединением степеней см. в разделе «Несостоятельность тождеств степеней и логарифмов» .

Экспоненциальная функция отображает любую линию в комплексной плоскости в логарифмическую спираль в комплексной плоскости с центром в начале координат . Существуют два особых случая: когда исходная линия параллельна действительной оси, результирующая спираль никогда не замыкается сама на себя; когда исходная линия параллельна мнимой оси, результирующая спираль представляет собой окружность некоторого радиуса.

• 3D-графики действительной части, мнимой части и модуля показательной функции
• 
  z ⁼ Re( екс ^{+ iy} )
• 
  z = Im( е ^{x + iy} )
• 
  z = ^| ex ^{+ iy} |

Рассматривая сложную показательную функцию как функцию, включающую четыре действительные переменные: график показательной функции представляет собой двумерную поверхность, искривленную в четырех измерениях. $${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$

Начиная с цветной части домена , ниже приведены изображения графика, проецируемого по-разному в двух- или трехмерном пространстве. ${\displaystyle xy}$

• Графики комплексной показательной функции
• 
  Ключ к шахматной доске:
  ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$
  ${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$
  ${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$
  ${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  Проекция на комплексную плоскость дальности (V/W). Сравните со следующим, перспективным изображением.
• 
  Проекция в измерения , , и , создающая форму расширяющегося рога или воронки (представленную как двухмерное перспективное изображение) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$
• 
  Проекция в измерения , , и , создающая спиральную форму ( диапазон расширен до ±2 π , снова как двухмерное перспективное изображение) ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle y}$

На втором рисунке показано, как комплексная плоскость домена отображается в комплексную плоскость диапазона:

• ноль отображается как 1
• действительная ось отображается на положительную действительную ось ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$
• мнимая ось вращается вокруг единичной окружности с постоянной угловой скоростью ${\displaystyle y}$
• значения с отрицательными действительными частями отображаются внутри единичной окружности
• значения с положительными действительными частями отображаются за пределами единичной окружности
• значения с постоянной действительной частью отображаются в виде окружностей с центром в нуле
• значения с постоянной мнимой частью отображаются в лучи, исходящие из нуля

Третье и четвертое изображения показывают, как график на втором изображении расширяется в одно из двух других измерений, не показанных на втором изображении.

Третье изображение показывает график, вытянутый вдоль действительной оси. Оно показывает, что график является поверхностью вращения вокруг оси графика действительной экспоненциальной функции, образуя форму рога или воронки. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Четвертое изображение показывает график, расширенный вдоль мнимой оси. Оно показывает, что поверхность графика для положительных и отрицательных значений на самом деле не встречается вдоль отрицательной действительной оси, а вместо этого образует спиральную поверхность вокруг оси. Поскольку его значения были расширены до ±2 π , это изображение также лучше отображает периодичность 2π в мнимом значении. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

Вычислениеа бгде обааибявляются сложными

Комплексное возведение в степень a ^b можно определить, преобразуя a в полярные координаты и используя тождество ( e ^{ln a} )^б
= а ^б : $${\displaystyle a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}}$$

Однако, когда b не является целым числом, эта функция является многозначной , поскольку θ не является уникальным (см. Возведение в степень § Нарушение тождеств степени и логарифма ).

Матрицы и банаховы алгебры

Определение степенного ряда показательной функции имеет смысл для квадратных матриц (для которых функция называется матричной показательной функцией ) и, в более общем случае, в любой унитальной банаховой алгебре B. В этом случае e ⁰ = 1 , и e ^x обратим с обратным e ^{− x} для любого x из B. Если xy = yx , то e ^{x + y} = e ^x e ^y , но это тождество может не выполняться для некоммутирующих x и y .

Некоторые альтернативные определения приводят к той же функции. Например, e ^x можно определить как $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Или e ^x можно определить как f _x (1) , где f _x  : R → B — решение дифференциального уравнения ⁠дф _х/дт⁠ ( t ) = x  f _x ( t ) , с начальным условием f _x (0) = 1 ; отсюда следует, что f _x ( t ) = e ^tx для любого t в R .

Алгебры Ли

Если задана группа Ли G и ее связанная алгебра Ли , то экспоненциальное отображение является отображением ↦ G , удовлетворяющим аналогичным свойствам. Фактически, поскольку R является алгеброй Ли группы Ли всех положительных действительных чисел при умножении, то обычная экспоненциальная функция для действительных аргументов является частным случаем ситуации алгебры Ли. Аналогично, поскольку группа Ли GL( n , R ) обратимых матриц размера n × n имеет в качестве алгебры Ли M( n , R ) , пространства всех матриц размера n × n , то экспоненциальная функция для квадратных матриц является частным случаем экспоненциального отображения алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Тождество может не выполняться для элементов алгебры Ли x и y , которые не коммутируют; формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа обеспечивает необходимые поправочные члены. ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

Трансцендентность

Функция e ^z не принадлежит кольцу рациональных функций : она не является частным двух многочленов с комплексными коэффициентами. ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

Если a ₁ , ..., a _n — различные комплексные числа, то e a ^{1 _z ,} ..., e ^{a _n z} линейно независимы над , и, следовательно, e ^z трансцендентно над . ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

Вычисление

При вычислении (приближении) экспоненциальной функции вблизи аргумента 0 результат будет близок к 1, а вычисление значения разности с помощью арифметики с плавающей точкой может привести к потере (возможно, всех) значащих цифр , что приведет к большой ошибке вычислений, возможно даже к бессмысленному результату. ${\displaystyle e^{x}-1}$

Следуя предложению Уильяма Кахана , может быть полезно иметь специальную процедуру, часто называемую expm1, для вычисления e ^x − 1 напрямую, минуя вычисление e ^x . Например, если экспонента вычисляется с использованием ее ряда Тейлора, можно использовать ряд Тейлора : $${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle e^{x}-1}$ $${\displaystyle e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$$

Впервые это было реализовано в 1979 году в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C и поддерживалось несколькими калькуляторами, ^{[17] [18]} операционными системами (например, Berkeley UNIX 4.3BSD ^[19] ), системами компьютерной алгебры и языками программирования (например, C99 ). ^[20]

Помимо основания e , стандарт IEEE 754-2008 определяет аналогичные экспоненциальные функции вблизи 0 для оснований 2 и 10: и . ${\displaystyle 2^{x}-1}$ ${\displaystyle 10^{x}-1}$

Аналогичный подход использовался для логарифма (см. lnp1 ). ^{[nb 3]}

Тождество в терминах гиперболического тангенса дает высокоточное значение для малых значений x в системах, которые не реализуют expm1( x ) . $${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},}$$

Смотрите также

• Математический портал

• Экспонента Карлица , характерный аналог p
• Двойная показательная функция  – показательная функция показательной функции
• Экспоненциальное поле  – математическое поле с дополнительной операцией
• Гауссова функция
• Полуэкспоненциальная функция , композиционный квадратный корень экспоненциальной функции
• Lambert_W_function#Solving_equations  – Многозначная функция в математике – используется для решения показательных уравнений.
• Список экспоненциальных тем
• Список интегралов показательных функций
• Функция Миттаг-Леффлера , обобщение показательной функции
• p -адическая показательная функция
• Таблица Паде для показательной функции – Аппроксимация Паде показательной функции дробью полиномиальных функций
• Фазовый фактор

Примечания

1. Обозначение ln x является стандартом ISO и распространено в естественных науках и среднем образовании (США). Однако некоторые математики (например, Пол Халмос ) критиковали это обозначение и предпочитали использовать log x для натурального логарифма x .
2. В чистой математике обозначение log x обычно относится к натуральному логарифму x или логарифму вообще, если основание несущественно.
3. Похожий подход к уменьшению ошибок округления вычислений для определенных входных значений тригонометрических функций состоит в использовании менее распространенных тригонометрических функций версинус , веркосинус , коверсинус , коверкосинус , гаверсинус , гаверкосинус , гаковерсинус , гаковеркосинус , экссеканс и экскосеканс .

Ссылки

1. Rudin, Walter (1987). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . стр. 1. ISBN 978-0-07-054234-1.
2. Мейер, Джон; Смит, Дерек (2017-08-07). Исследование математики . Cambridge University Press. стр. 167. ISBN 978-1-107-12898-9.
3. Конверс, Генри Огастес; Даррелл, Флетчер (1911). Плоская и сферическая тригонометрия. Математический ряд Даррелла. CE Merrill Company. стр. 12. Обратное использование таблицы логарифмов; то есть, если задан логарифм, найти соответствующее ему число (называемое его антилогарифмом) ...[1]
4. "Справочник по экспоненциальным функциям". www.mathsisfun.com . Получено 28.08.2020 .
5. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A001113 (десятичное разложение e)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
6. Голдштейн, Ларри Джоэл; Лэй, Дэвид К.; Шнайдер, Дэвид И.; Асмар, Нахле Х. (2006). Краткое исчисление и его приложения (11-е изд.). Prentice–Hall. ISBN 978-0-13-191965-5.(467 страниц)
7. Курант; Роббинс (1996). Стюарт (ред.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е пересмотренное издание). Oxford University Press . стр. 448. ISBN 978-0-13-191965-5. Эта естественная показательная функция идентична своей производной. Это действительно источник всех свойств показательной функции и основная причина ее важности в приложениях…
8. Weisstein, Eric W. "Экспоненциальная функция". mathworld.wolfram.com . Получено 28.08.2020 .
9. Maor, Eli . e: История одного числа . стр. 156.
10. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (сентябрь 2001 г.). "Число e". Школа математики и статистики . Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Получено 13 июня 2011 г.
11. Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989). Современная физика . Форт-Уэрт: Harcourt Brace Jovanovich . стр. 384. ISBN 0-03-004844-3.
12. Симмонс, Джордж Ф. (1972). Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями . Нью-Йорк: McGraw-Hill . стр. 15. LCCN  75173716.
13. McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
14. Лоренцен, Л.; Вааделанд, Х. (2008). "A.2.2 Экспоненциальная функция". Continued Fractions . Atlantis Studies in Mathematics. Vol. 1. p. 268. doi :10.2991/978-94-91216-37-4. ISBN 978-94-91216-37-4.
15. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: McGraw-Hill . стр. 182. ISBN 978-0-07-054235-8.
16. Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Рединг, Массачусетс: Addison Wesley . С. 19. ISBN 978-0-201-00288-1.
17. HP 48G Series – Advanced User's Reference Manual (AUR) (4-е изд.). Hewlett-Packard . Декабрь 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . Получено 06.09.2015 .
18. Графический калькулятор HP 50g / 49g+ / 48gII. Расширенное справочное руководство пользователя (AUR) (2-е изд.). Hewlett-Packard . 14 июля 2009 г. [2005 г.]. HP F2228-90010 . Получено 10 октября 2015 г.[2]
19. Beebe, Nelson HF (2017-08-22). "Глава 10.2. Экспоненциальный вблизи нуля". Справочник по вычислению математических функций - Программирование с использованием библиотеки переносимого программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . стр. 273–282. doi :10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721. Berkeley UNIX 4.3BSD представила функцию expm1() в 1987 году.
20. Beebe, Nelson HF (2002-07-09). "Вычисление expm1 = exp(x)−1" (PDF) . 1.00. Солт-Лейк-Сити, штат Юта, США: Кафедра математики, Центр научных вычислений, Университет Юты . Получено 2015-11-02 .

Внешние ссылки

• «Экспоненциальная функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]