Экспоненциальный факториал — это целое положительное число n, возведенное в степень n — 1, которая, в свою очередь, возводится в степень n — 2, и так далее в порядке правой группировки. То есть,
Экспоненциальный факториал также можно определить с помощью рекуррентного соотношения
Первые несколько экспоненциальных факториалов — это 1 , 2 , 9 , 262144 , ... ( OEIS : A049384 или OEIS : A132859 ). Например, 262144 является экспоненциальным факториалом, поскольку
Используя рекуррентное соотношение, первые экспоненциальные факториалы:
Экспоненциальные факториалы растут гораздо быстрее, чем обычные факториалы или даже гиперфакториалы . Количество цифр в экспоненциальном факториале числа 6 составляет примерно 5 × 10 183 230 .
Сумма обратных экспоненциальных факториалов, начиная с 1, представляет собой следующее трансцендентное число :
Эта сумма трансцендентна, поскольку является числом Лиувилля .
Как и тетрация , в настоящее время не существует общепринятого метода расширения экспоненциальной факториальной функции до вещественных и комплексных значений ее аргумента, в отличие от факториальной функции, для которой такое расширение обеспечивается гамма-функцией . Но его можно расширить, если он определен в полосе шириной 1.
Точно так же существуют разногласия по поводу подходящего значения 0; любое значение будет соответствовать рекурсивному определению. Плавное расширение до действительных чисел удовлетворяло бы , что предполагает значение строго между 0 и 1.
