Экстраполяция

В математике экстраполяция — это тип оценки значения переменной за пределами исходного диапазона наблюдения на основе ее связи с другой переменной. Это похоже на интерполяцию , которая дает оценки между известными наблюдениями, но экстраполяция подвержена большей неопределенности и более высокому риску получения бессмысленных результатов. Экстраполяция может также означать расширение метода, при условии, что аналогичные методы будут применимы. Экстраполяция может также применяться к человеческому опыту для проецирования, расширения или расширения известного опыта в область, которая еще не известна или ранее не была испытана, чтобы прийти к (обычно предположительному) знанию неизвестного ^[1] (например, водитель экстраполирует дорожные условия за пределы своих возможностей). зрение во время вождения). Метод экстраполяции может быть применен в задаче реконструкции интерьера .

Метод

Правильный выбор того, какой метод экстраполяции применить, зависит от предварительного знания процесса, в результате которого были созданы существующие точки данных. Некоторые эксперты предложили использовать причинные силы при оценке методов экстраполяции. ^[2] Важнейшими вопросами являются, например, можно ли считать данные непрерывными, гладкими, возможно периодическими и т. д.

Линейный

Линейная экстраполяция означает создание касательной линии в конце известных данных и продление ее за пределы этого предела. Линейная экстраполяция даст хорошие результаты только в том случае, если она используется для расширения графика приблизительно линейной функции или не слишком далеко за пределы известных данных.

Если две точки данных, ближайшие к экстраполируемой точке, — это и , линейная экстраполяция дает функцию: $x_ {*}$ $(x_{k-1},y_{k-1})$ $(x_{k},y_{k})$

y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_ {k}-y_{k-1}).

(что идентично линейной интерполяции , если ). Можно включить более двух точек и усреднить наклон линейного интерполятора с помощью методов, подобных регрессии , по точкам данных, выбранным для включения. Это похоже на линейное предсказание . $x_{k-1}<x_{*}<x_{k}$

Полиномиальный

Полиномиальную кривую можно построить на основе всех известных данных или непосредственно в конце (две точки для линейной экстраполяции, три точки для квадратичной экстраполяции и т. д.). Полученную кривую затем можно продлить за пределы известных данных. Полиномиальная экстраполяция обычно выполняется с помощью интерполяции Лагранжа или с использованием метода конечных разностей Ньютона для создания ряда Ньютона , соответствующего данным. Полученный полином можно использовать для экстраполяции данных.

Экстраполяцию полинома высокого порядка следует использовать с должной осторожностью. Для примера набора данных и проблемы на рисунке выше все, что выше порядка 1 (линейная экстраполяция), возможно, приведет к непригодным значениям; ошибка оценки экстраполированного значения будет расти с увеличением степени полиномиальной экстраполяции. Это связано с феноменом Рунге .

Конический

Коническое сечение можно создать, используя пять точек в конце известных данных. Если созданное коническое сечение представляет собой эллипс или круг , при экстраполяции оно вернется назад и воссоединится с самим собой. Экстраполированная парабола или гипербола не соединится сама с собой, а может выгнуться назад относительно оси X. Этот тип экстраполяции можно выполнить с помощью шаблона конических сечений (на бумаге) или с помощью компьютера.

Французская кривая

Экстраполяция французской кривой — это метод, подходящий для любого распределения, которое имеет тенденцию к экспоненциальному характеру, но с ускоряющими или замедляющими факторами. ^[3] Этот метод успешно использовался для прогнозирования роста ВИЧ/СПИДа в Великобритании с 1987 года и варианта CJD в Великобритании в течение ряда лет. Другое исследование показало, что экстраполяция может обеспечить такое же качество результатов прогнозирования, как и более сложные стратегии прогнозирования. ^[4]

Геометрическая экстраполяция с прогнозированием ошибок

Может быть создан с использованием 3 точек последовательности и «момента» или «индекса». Этот тип экстраполяции имеет 100% точность прогнозов в большом проценте базы данных известных серий (OEIS). ^[5]

Пример экстраполяции с прогнозированием ошибок:

${\text{sequence}}=[1,2,3,5]$

${f_{1}(x,y)={\frac {x}{y}}}$

$d_{1}=f_{1}(3,2)$

${d_{2}=f_{1}(5,3)}$

$m={\text{sequence}}(5)$

$n={\text{sequence}}(3)$

${\text{f}}(m,n,d_{1},d_{2})={\text{round}}\left((n\cdot d_{1}-m)+(m \cdot d_{2})\right)$

${\text{round}}\left((3\times 1,66)-5\right)+(5\times 1,6)=8$

Качество

Обычно качество конкретного метода экстраполяции ограничивается предположениями о функции, создаваемой этим методом. Если метод предполагает, что данные гладкие, то негладкая функция будет плохо экстраполирована.

Что касается сложных временных рядов, некоторые эксперты обнаружили, что экстраполяция более точна, если она выполняется путем разложения причинных сил. ^[6]

Даже при правильных предположениях о функции экстраполяция может сильно отклоняться от функции. Классический пример — представление sin( x ) и связанных с ним тригонометрических функций в виде усеченного степенного ряда . Например, взяв только данные вблизи x = 0, мы можем оценить, что функция ведет себя как sin( x ) ~ x . В окрестности x = 0 это отличная оценка. Однако при удалении от x = 0 экстраполяция произвольно перемещается от оси x , в то время как sin( x ) остается в интервале [−1, 1]. Т.е. ошибка увеличивается неограниченно.

Взятие большего количества членов в степенной ряд sin( x ) вокруг x = 0 приведет к лучшему согласию в более широком интервале вблизи x = 0, но приведет к экстраполяции, которая в конечном итоге отклонится от оси x даже быстрее, чем линейное приближение.

Это расхождение является специфическим свойством методов экстраполяции, и его можно обойти только в том случае, если функциональные формы, принимаемые методом экстраполяции (непреднамеренно или намеренно из-за дополнительной информации), точно отражают природу экстраполируемой функции. Для конкретных задач эта дополнительная информация может быть доступна, но в общем случае невозможно удовлетворить все возможные варианты поведения функций с помощью практически небольшого набора потенциального поведения.

В сложной плоскости

В комплексном анализе задача экстраполяции может быть преобразована в задачу интерполяции путем замены переменной . Это преобразование меняет местами часть комплексной плоскости внутри единичного круга на часть комплексной плоскости за пределами единичного круга. В частности, точка компактификации на бесконечности отображается в начало координат и наоборот. Однако с этим преобразованием следует соблюдать осторожность, поскольку исходная функция могла иметь «особенности», например полюсы и другие особенности , на бесконечности, которые не были очевидны из выборочных данных. ${\hat {z}}=1/z$

Другая проблема экстраполяции слабо связана с проблемой аналитического продолжения , где (обычно) представление функции в степенном ряде расширяется в одной из точек сходимости для получения степенного ряда с большим радиусом сходимости . По сути, набор данных из небольшого региона используется для экстраполяции функции на более крупный регион.

Опять же, аналитическому продолжению могут помешать особенности функции , которые не были очевидны из исходных данных.

Кроме того, можно использовать преобразования последовательностей , такие как аппроксимации Паде и преобразования последовательностей типа Левина, в качестве методов экстраполяции, которые приводят к суммированию степенных рядов , которые расходятся за пределами исходного радиуса сходимости . В этом случае часто получают рациональные аппроксимации .

Быстрый

Экстраполированные данные часто свертываются в функцию ядра. После экстраполяции данных размер данных увеличивается в N раз, здесь N составляет примерно 2–3. Если эти данные необходимо преобразовать в известную функцию ядра, числовые вычисления увеличатся в N log(N) раз даже при использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ). Существует алгоритм, который аналитически вычисляет вклад от части экстраполированных данных. Время расчета может быть опущено по сравнению с исходным расчетом свертки. Следовательно, с помощью этого алгоритма расчеты свертки с использованием экстраполированных данных практически не увеличиваются. Это называется быстрой экстраполяцией. Быстрая экстраполяция была применена к реконструкции КТ-изображений. ^[7]

Аргументы экстраполяции

Аргументы экстраполяции — это неформальные и неопределенные аргументы, которые утверждают, что что-то, вероятно, истинно за пределами диапазона значений, для которых это истинно. Например, мы верим в реальность того, что видим через увеличительные стекла, потому что это согласуется с тем, что мы видим невооруженным глазом, но выходит за его пределы; мы верим в то, что видим в световые микроскопы, потому что это согласуется с тем, что мы видим через увеличительные стекла, но выходит за его пределы; и то же самое для электронных микроскопов. Подобные аргументы широко используются в биологии при экстраполяции исследований на животных на человека и пилотных исследований на более широкую популяцию. ^[8]

Подобно аргументам скользкой дорожки , аргументы экстраполяции могут быть сильными или слабыми в зависимости от таких факторов, как то, насколько далеко экстраполяция выходит за пределы известного диапазона. ^[9]

Смотрите также

Поищите экстраполяцию в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме экстраполяции .

Примечания

^ Экстраполяция, запись в Мерриам-Вебстере
^ Дж. Скотт Армстронг; Фред Коллопи (1993). «Причинные силы: структурирование знаний для экстраполяции временных рядов». Журнал прогнозирования . 12 (2): 103–115. CiteSeerX 10.1.1.42.40 . дои : 10.1002/for.3980120205. S2CID 3233162 . Проверено 10 января 2012 г.
^ Главный указатель AIDSCJDUK.info
^ Дж. Скотт Армстронг (1984). «Прогнозирование путем экстраполяции: выводы двадцати пяти лет исследований». Интерфейсы . 14 (6): 52–66. CiteSeerX 10.1.1.715.6481 . дои : 10.1287/inte.14.6.52. S2CID 5805521 . Проверено 10 января 2012 г.
^ В. Нос (2021). «Пробнет: геометрическая экстраполяция целочисленных последовательностей с прогнозированием ошибок» . Проверено 14 марта 2023 г.
^ Дж. Скотт Армстронг; Фред Коллопи; Дж. Томас Йокум (2004). «Разложение по причинным силам: процедура прогнозирования сложных временных рядов». Международный журнал прогнозирования . 21 : 25–36. doi :10.1016/j.ijforecast.2004.05.001. S2CID 8816023.
^ Шуангрен Чжао; Кан Ян; Синтие Ян (2011). «Реконструкция по усеченным проекциям с использованием смешанной экстраполяции экспоненциальных и квадратичных функций» (PDF) . Журнал рентгеновской науки и техники . 19 (2): 155–72. дои : 10.3233/XST-2011-0284. PMID 21606580. Архивировано из оригинала (PDF) 29 сентября 2017 г. Проверено 3 июня 2014 г.
^ Сталь, Дэниел (2007). Через границы: экстраполяция в биологии и социальных науках. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780195331448.
^ Франклин, Джеймс (2013). «Аргументы, сила которых зависит от непрерывного изменения». Неформальная логика . 33 (1): 33–56. дои : 10.22329/il.v33i1.3610 . Проверено 29 июня 2021 г.