Электростатика

Изучение неподвижных или медленно движущихся электрических зарядов

Пенопластовые шарики прилипают к шерсти кошки из-за статического электричества . Электрическое поле заряженного меха вызывает поляризацию молекул пенопласта из-за электростатической индукции , что приводит к небольшому притяжению легких пластиковых кусочков к шерсти. ^{[1] [2] [3] [4]} Этот эффект также является причиной статического прилипания одежды.

Электростатика — раздел физики , изучающий медленно движущиеся или неподвижные электрические заряды .

С классических времен было известно, что некоторые материалы, такие как янтарь , притягивают легкие частицы после трения . Греческое слово, обозначающее янтарь, ἤλεκτρον ( ḗlektron ), стало, таким образом, источником слова электричество . Электростатические явления возникают из-за сил , которые электрические заряды оказывают друг на друга. Такие силы описываются законом Кулона .

Существует множество примеров электростатических явлений, от таких простых, как притяжение пластиковой пленки к руке после того, как ее вынули из упаковки, до, по-видимому, спонтанных взрывов зернохранилищ, повреждения электронных компонентов в процессе производства, а также работы копировальных аппаратов и лазерных принтеров .

Электростатическая модель точно предсказывает электрические явления в «классических» случаях, когда скорости малы, а система макроскопична, поэтому квантовые эффекты не задействованы. Она также играет роль в квантовой механике, где также необходимо включать дополнительные термины.

Закон Кулона

Закон Кулона гласит, что: ^[5]

Величина электростатической силы притяжения или отталкивания между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Сила направлена ​​вдоль прямой линии, соединяющей их. Если два заряда имеют одинаковый знак, электростатическая сила между ними отталкивающая; если они имеют разные знаки, сила между ними притягивающая.

Если — расстояние (в метрах ) между двумя зарядами, то сила между двумя точечными зарядами и равна: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle F={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{|Qq| \over r^{2}},}$

где ε ₀ =8,854 187 8188 (14) × 10 ⁻¹²  Ф⋅м ⁻¹ ‍ [ ^6] — диэлектрическая проницаемость вакуума . ^[7]

Единица СИ для ε ₀ эквивалентна А ² ⋅ с ⁴ ⋅кг ⁻¹ ⋅м ⁻³ или К ² ⋅ Н ⁻¹ ⋅м ⁻² или Ф ⋅м ⁻¹ .

Электрическое поле

Электростатическое поле (линии со стрелками) близлежащего положительного заряда (+) заставляет подвижные заряды в проводящих объектах разделяться из-за электростатической индукции . Отрицательные заряды (синие) притягиваются и движутся к поверхности объекта, обращенной к внешнему заряду. Положительные заряды (красные) отталкиваются и движутся к поверхности, обращенной от него. Эти индуцированные поверхностные заряды имеют точно нужный размер и форму, поэтому их противодействующее электрическое поле нейтрализует электрическое поле внешнего заряда во всей внутренней части металла. Следовательно, электростатическое поле везде внутри проводящего объекта равно нулю, а электростатический потенциал постоянен.

Электрическое поле, в единицах Ньютон на Кулон или Вольт на метр, является векторным полем , которое может быть определено везде, за исключением местоположения точечных зарядов (где оно расходится к бесконечности). ^[8] Оно определяется как электростатическая сила, действующая на гипотетический небольшой пробный заряд в точке, обусловленная законом Кулона, деленная на заряд ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {,} }$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbf {E} ={\mathbf {F} \over q}}$

Линии электрического поля полезны для визуализации электрического поля. Линии поля начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном заряде. Они параллельны направлению электрического поля в каждой точке, а плотность этих линий поля является мерой величины электрического поля в любой заданной точке.

Совокупность заряженных частиц , расположенных в точках (называемых точками источника ), генерирует электрическое поле в точке (называемой точкой поля ): ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r} _{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{3}},}$

где — вектор смещения от точки источника к точке поля , а — единичный вектор , указывающий направление поля. Для одного точечного заряда, , в начале координат, величина этого электрического поля равна и направлена ​​от этого заряда, если она положительна. Тот факт, что сила (и, следовательно, поле) может быть рассчитана путем суммирования по всем вкладам, обусловленным отдельными частицами источника, является примером принципа суперпозиции . Электрическое поле, создаваемое распределением зарядов, задается объемной плотностью заряда и может быть получено путем преобразования этой суммы в тройной интеграл : ${\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} _{i}|}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle E=q/4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}\mathrm {d} ^{3}|\mathbf {r} '|}$

Закон Гаусса

Закон Гаусса ^{[9] [10]} гласит, что «полный электрический поток через любую замкнутую поверхность в свободном пространстве любой формы, нарисованном в электрическом поле, пропорционален полному электрическому заряду, заключенному в этой поверхности». Многие численные задачи можно решить, рассматривая гауссову поверхность вокруг тела. Математически закон Гаусса принимает форму интегрального уравнения:

${\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={Q_{\text{enclosed}} \over \varepsilon _{0}}=\int _{V}{\rho \over \varepsilon _{0}}\mathrm {d} ^{3}r,}$

где — элемент объема. Если заряд распределен по поверхности или вдоль линии, замените на или . Теорема о дивергенции позволяет записать закон Гаусса в дифференциальной форме: ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z}$ ${\displaystyle \rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$ ${\displaystyle \sigma \,\mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \lambda \,\mathrm {d} \ell }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

где — оператор дивергенции . ${\displaystyle \nabla \cdot }$

Уравнения Пуассона и Лапласа

Определение электростатического потенциала в сочетании с дифференциальной формой закона Гаусса (выше) дает соотношение между потенциалом Φ и плотностью заряда ρ :

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

Это соотношение является формой уравнения Пуассона . ^[11] При отсутствии неспаренного электрического заряда уравнение становится уравнением Лапласа :

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =0,}$

Электростатическое приближение

Резюме электростатических соотношений между электрическим потенциалом, электрическим полем и плотностью заряда. Здесь, . ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {x'} }$

Обоснованность электростатического приближения основана на предположении, что электрическое поле является безвихревым :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0.}$

Из закона Фарадея это предположение подразумевает отсутствие или почти отсутствие изменяющихся во времени магнитных полей:

${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=0.}$

Другими словами, электростатика не требует отсутствия магнитных полей или электрических токов. Скорее, если магнитные поля или электрические токи существуют , они не должны меняться со временем или, в худшем случае, они должны меняться со временем очень медленно . В некоторых задачах для точных предсказаний могут потребоваться как электростатика, так и магнитостатика , но связь между ними все равно можно игнорировать. Электростатику и магнитостатику можно рассматривать как нерелятивистские галилеевы пределы для электромагнетизма. ^[12] Кроме того, традиционная электростатика игнорирует квантовые эффекты, которые необходимо добавить для полного описания. ^{[8] : 2}

Электростатический потенциал

Поскольку электрическое поле является безвихревым , его можно выразить как градиент скалярной функции, называемой электростатическим потенциалом (также известным как напряжение ). Электрическое поле, направлено от областей с высоким электрическим потенциалом к ​​областям с низким электрическим потенциалом, что математически выражается как ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi .}$

Теорему градиента можно использовать для установления того, что электростатический потенциал представляет собой количество работы на единицу заряда, необходимое для перемещения заряда из точки в точку со следующим линейным интегралом : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle -\int _{a}^{b}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }=\phi (\mathbf {b} )-\phi (\mathbf {a} ).}$

Из этих уравнений мы видим, что электрический потенциал постоянен в любой области, для которой электрическое поле исчезает (например, внутри проводящего объекта).

Электростатическая энергия

Потенциальная энергия пробной частицы, , может быть рассчитана из линейного интеграла работы, . Мы интегрируем из точки на бесконечности и предполагаем, что набор частиц заряда , уже находится в точках . Эта потенциальная энергия (в Джоулях ) равна: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}}$ ${\displaystyle q_{n}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}=q\phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {Q_{i}}{\left\|{\mathcal {\mathbf {R} _{i}}}\right\|}}}$

где — расстояние каждого заряда от пробного заряда , который находится в точке , а — электрический потенциал, который был бы, если бы пробный заряд отсутствовал. Если присутствуют только два заряда, потенциальная энергия равна . Общая электрическая потенциальная энергия, обусловленная совокупностью N зарядов, вычисляется путем объединения этих частиц по одной : ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {R_{i}}} =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}/(4\pi \varepsilon _{0}r)}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}Q_{j}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {Q_{i}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\phi _{i},}$

где следующая сумма от j = 1 до N исключает i = j :

${\displaystyle \phi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {Q_{j}}{r_{ij}}}.}$

Этот электрический потенциал, это то, что было бы измерено, если бы заряд отсутствовал. Эта формула, очевидно, исключает (бесконечную) энергию, которая потребовалась бы для сборки каждого точечного заряда из рассеянного облака заряда. Сумма по зарядам может быть преобразована в интеграл по плотности заряда с помощью рецепта : ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\textstyle \sum (\cdots )\rightarrow \int (\cdots )\rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{2}}\int \rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} ^{3}r={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}r,}$

Это второе выражение для электростатической энергии использует тот факт, что электрическое поле является отрицательным градиентом электрического потенциала, а также тождества векторного исчисления способом, который напоминает интегрирование по частям . Эти два интеграла для энергии электрического поля, по-видимому, указывают на две взаимоисключающие формулы для плотности электростатической энергии, а именно и ; они дают равные значения для полной электростатической энергии, только если обе интегрируются по всему пространству. ${\textstyle {\frac {1}{2}}\rho \phi }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}}$

Электростатическое давление

На проводнике поверхностный заряд будет испытывать силу в присутствии электрического поля . Эта сила является средним значением прерывистого электрического поля на поверхностном заряде. Это среднее значение в терминах поля сразу за поверхностью составляет:

${\displaystyle P={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}E^{2},}$

Это давление имеет тенденцию втягивать проводник в поле независимо от знака поверхностного заряда.

Смотрите также

• Электромагнетизм  – фундаментальное взаимодействие между заряженными частицами
• Электростатический генератор — машина, создающая статическое электричество.
• Электростатическая индукция , разделение зарядов под действием электрических полей.
• Диэлектрическая проницаемость и относительная диэлектрическая проницаемость , электрическая поляризуемость материалов.
• Квантование заряда , единиц заряда, переносимых электронами или протонами.
• Статическое электричество , неподвижный заряд, накопленный на материале.
• Трибоэлектрический эффект , разделение зарядов вследствие скольжения или контакта.

Ссылки

1. Линг, Сэмюэл Дж.; Моебс, Уильям; Санни, Джефф (2019). Университетская физика, Vol. 2. ОпенСтакс. ISBN 9781947172210.Гл.30: Проводники, изоляторы и зарядка индукцией
2. Блумфилд, Луис А. (2015). Как все работает: физика повседневной жизни. John Wiley and Sons. стр. 270. ISBN 9781119013846.
3. "Поляризация". Статическое электричество – Урок 1 – Базовая терминология и концепции . The Physics Classroom. 2020. Получено 18 июня 2021 г.
4. Томпсон, Ксочитл Замора (2004). «Заряди его! Все об электрическом притяжении и отталкивании». Преподавай инженерию: учебная программа Stem для классов K-12 . Университет Колорадо . Получено 18 июня 2021 г.
5. J, Griffiths (2017). Введение в электродинамику. Cambridge University Press. С. 296–354. doi :10.1017/9781108333511.008. ISBN 978-1-108-33351-1. Получено 2023-08-11 .
6. "Значение CODATA 2022: электрическая проницаемость вакуума". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024 г. Получено 18.05.2024 .
7. Мэтью Садику (2009). Элементы электромагнетизма . Oxford University Press. стр. 104. ISBN 9780195387759.
8. Перселл, Эдвард М. (2013). Электричество и магнетизм. Cambridge University Press. С. 16–18. ISBN 978-1107014022.
9. "Sur l'attraction des sphéroides elliptiques, пар М. де Ла Гранж" . Общий сборник математики . дои : 10.1163/9789004460409_mor2-b29447057 . Проверено 11 августа 2023 г.
10. Гаусс, Карл Фридрих (1877), «Теория притяжения corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum, метод нова трактата», Werke , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 279–286, doi : 10.1007/978-3-642-49319- 5_8, ISBN 978-3-642-49320-1, получено 2023-08-11
11. Пуассон, М; наук (Франция), Королевская академия наук (1827 г.). Мемуары Королевской академии наук Института (Императорского) Франции. Том. 6. Париж.
12. Heras, JA (2010). «Галилеевы пределы уравнений Максвелла». American Journal of Physics . 78 (10): 1048–1055. arXiv : 1012.1068 . Bibcode : 2010AmJPh..78.1048H. doi : 10.1119/1.3442798. S2CID  118443242.

Дальнейшее чтение

• Герман А. Хаус; Джеймс Р. Мелчер (1989). Электромагнитные поля и энергия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall. ISBN 0-13-249020-X.
• Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Кеннет С. Крейн (1992). Физика . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80457-6.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику . Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с электростатикой на Wikimedia Commons

• Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 4: Электростатика
• Введение в электростатику: точечные заряды можно рассматривать как распределение с использованием дельта-функции Дирака.

Учебные материалы по теме «Электростатика» в Викиверситете