Ячейка

Повторяющаяся единица, образованная векторами, охватывающими точки решетки.

В геометрии , биологии , минералогии и физике твердого тела элементарная ячейка — это повторяющаяся единица, образованная векторами, охватывающими точки решетки. ^[1] Несмотря на свое многозначительное название, элементарная ячейка (в отличие, например, от единичного вектора) не обязательно имеет единичный размер или даже какой-то конкретный размер вообще. Скорее, примитивная ячейка является ближайшей аналогией единичного вектора, поскольку она имеет определенный размер для данной решетки и является основным строительным блоком, из которого строятся более крупные ячейки.

Эта концепция используется, в частности, при описании кристаллической структуры в двух и трех измерениях, хотя она имеет смысл во всех измерениях. Решетку можно охарактеризовать геометрией ее элементарной ячейки, которая представляет собой часть мозаики ( параллелограмма или параллелепипеда ), которая генерирует всю мозаику, используя только сдвиги.

Есть два особых случая элементарной ячейки: примитивная ячейка и обычная ячейка . Примитивная ячейка — это элементарная ячейка, соответствующая одной точке решетки , это наименьшая возможная элементарная ячейка. ^[2] В некоторых случаях полная симметрия кристаллической структуры не очевидна из примитивной ячейки, и в этих случаях можно использовать обычную ячейку. Обычная ячейка (которая может быть примитивной, а может и не быть) представляет собой элементарную ячейку с полной симметрией решетки и может включать более одной точки решетки. Обычные элементарные ячейки представляют собой параллелоэдры в n измерениях.

Примитивная клетка

Примитивная ячейка — это элементарная ячейка, содержащая ровно одну точку решетки. Для элементарных ячеек обычно точки решетки, которые являются общими для n ячеек, считаются1/нточек решетки, содержащихся в каждой из этих ячеек; так, например, примитивная элементарная ячейка в трех измерениях, которая имеет точки решетки только в восьми вершинах, считается содержащей1/8каждого из них. ^[3] Альтернативная концептуализация состоит в том, чтобы последовательно выбирать только одну из n точек решетки, принадлежащую данной элементарной ячейке (так что остальные n-1 точки решетки принадлежат соседним элементарным ячейкам).

Примитивные векторы трансляции a → ₁ , a → ₂ , a → ₃ охватывают ячейку решетки наименьшего объема для конкретной трехмерной решетки и используются для определения вектора трансляции кристалла.

${\displaystyle {\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3},}$

где u ₁ , u ₂ , u ₃ — целые числа, сдвиг которых оставляет решетку инвариантной. ^{[примечание 1]} То есть для точки в решетке r расположение точек выглядит таким же, как из r ′ = r + T →, так и из r . ^[4]

Поскольку примитивная ячейка определяется примитивными осями (векторами) a → ₁ , a → ₂ , a → ₃ , объем V _p примитивной ячейки задается параллелепипедом из вышеуказанных осей как

${\displaystyle V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})\right|.}$

Обычно примитивные ячейки в двух и трех измерениях выбираются так, чтобы они имели форму параллелограммов и параллелепипедов с атомом в каждом углу ячейки. Этот выбор примитивной ячейки не является уникальным, но объем примитивных ячеек всегда будет определяться выражением выше. ^[5]

Ячейка Вигнера – Зейтца

Помимо примитивных ячеек параллелепипеда, для каждой решетки Браве существует еще один вид примитивных ячеек, называемый ячейкой Вигнера – Зейтца. В ячейке Вигнера-Зейтца точка решетки находится в центре ячейки, и для большинства решеток Браве форма не является параллелограммом или параллелепипедом. Это разновидность ячейки Вороного . Ячейка Вигнера-Зейтца обратной решетки в импульсном пространстве называется зоной Бриллюэна .

Обычная ячейка

Для каждой конкретной решетки кристаллографы выбирали условную ячейку индивидуально, исходя из удобства расчета. ^[6] Эти обычные ячейки могут иметь дополнительные точки решетки, расположенные в середине граней или тела элементарной ячейки. Количество точек решетки, как и объем обычной ячейки, кратно (1, 2, 3 или 4) объему примитивной ячейки. ^[7]

Два измерения

Параллелограмм — это общая примитивная ячейка плоскости.

Элементарные ячейки любой двумерной решетки представляют собой параллелограммы , которые в особых случаях могут иметь ортогональные углы, равную длину или и то, и другое. Четыре из пяти двумерных решеток Браве представлены с использованием обычных примитивных ячеек, как показано ниже.

Центрированная прямоугольная решетка также имеет примитивную ячейку в форме ромба, но для облегчения различения по признаку симметрии она представлена ​​обычной ячейкой, содержащей два узла решетки.

Три измерения

Параллелепипед — это общая примитивная ячейка трехмерного пространства.

Для любой трехмерной решетки обычными элементарными ячейками являются параллелепипеды , которые в особых случаях могут иметь ортогональные углы, или равную длину, или и то, и другое. Семь из четырнадцати трехмерных решеток Браве представлены с использованием обычных примитивных ячеек, как показано ниже.

Остальные семь решеток Браве (известные как центрированные решетки) также имеют примитивные ячейки в форме параллелепипеда, но для облегчения различения по признаку симметрии они представлены обычными ячейками, содержащими более одного узла решетки.

Смотрите также

• Ячейка Вигнера – Зейтца
• Решетка Браве
• Группа обоев
• Космическая группа

Примечания

1. В n измерениях вектор перемещения кристалла будет равен

   ${\displaystyle {\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.}$

   То есть для точки в решетке r расположение точек выглядит таким же, как из r′ = r + T →, так и из r .

Рекомендации

1. Эшкрофт, Нил В. (1976). "Глава 4". Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 72. ИСБН 0-03-083993-9.
2. Саймон, Стивен (2013). Оксфордская физика твердого тела (1-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 114. ИСБН 978-0-19-968076-4.
3. «DoITPoMS - Кристаллография библиотеки TLP - Элементарная ячейка» . Интернет-ресурсы по изучению материаловедения: DoITPoMS . Кембриджский университет . Проверено 21 февраля 2015 г.
4. Киттель, Чарльз (11 ноября 2004 г.). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Уайли. п. 4. ISBN 978-0-471-41526-8.
5. Мель, Майкл Дж.; Хикс, Дэвид; Тохер, Кормак; Леви, Охад; Хэнсон, Роберт М.; Харт, Гас; Куртароло, Стефано (2017). «Библиотека кристаллографических прототипов AFLOW: Часть 1». Вычислительное материаловедение . 136 . Эльзевир Б.В.: S1–S828. arXiv : 1806.07864 . doi : 10.1016/j.commatsci.2017.01.017. ISSN  0927-0256. S2CID  119490841.
6. Аройо, Мичиган, изд. (31 декабря 2016 г.). Международные таблицы по кристаллографии . Честер, Англия: Международный союз кристаллографии. п. 25. дои : 10.1107/97809553602060000114. ISBN 978-0-470-97423-0.
7. Эшкрофт, Нил В. (1976). Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 73. ИСБН 0-03-083993-9.