Элементарная матрица

В математике элементарная матрица — это квадратная матрица, полученная применением одной элементарной операции строки к единичной матрице . Элементарные матрицы порождают общую линейную группу $GL n (F),$ когда $F$ — поле . Левое умножение (предумножение) на элементарную матрицу представляет собой элементарные операции строки , тогда как правое умножение (послеумножение) представляет собой элементарные операции столбца .

Элементарные операции над строками используются в методе Гаусса для приведения матрицы к ступенчатой форме строк . Они также используются в методе Гаусса–Жордана для дальнейшего приведения матрицы к сокращенной ступенчатой форме строк .

Элементарные операции со строками

Существует три типа элементарных матриц, которые соответствуют трем типам операций над строками (соответственно, операций над столбцами):

Переключение рядов: Строку в матрице можно поменять местами с другой строкой.; $R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

Умножение строк: Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу. Это также известно как масштабирование строки.; $kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{где }}k\neq 0$

Добавление строки: Строку можно заменить суммой этой строки и кратного ей числа другой строки.; $R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{где }}i\neq j$

Если $E$ — элементарная матрица, как описано ниже, то для применения элементарной операции строки к матрице $A$ нужно умножить $A$ на элементарную матрицу слева, $EA$ . Элементарная матрица для любой операции строки получается путем выполнения операции над единичной матрицей . Этот факт можно понимать как пример леммы Йонеды, примененной к категории матриц. ^[1]

Преобразования переключения строк

Первый тип операции строки над матрицей $A$ меняет местами все элементы матрицы в строке $i$ с их аналогами в другой строке $j$ . Соответствующая элементарная матрица получается путем обмена строк $i$ и $j$ единичной матрицы .

T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

Таким образом , $T i,j A$ — это матрица, полученная путем замены строки i $на$ строку $j$ матрицы $A.$

По коэффициентам матрица $T i,j$ определяется следующим образом:

[T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}

Характеристики

Обратная матрица этой матрицы сама по себе: $T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.$
Так как определитель единичной матрицы равен единице, то для любой квадратной матрицы $A$ (правильного размера) имеем $\det(T_{i,j})=-1.$ $\det(T_{i,j}A)=-\det(A).$
Для теоретических соображений преобразование переключения строк может быть получено из преобразований сложения строк и умножения строк, представленных ниже, поскольку $T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).$

Преобразования умножения строк

Следующий тип операции строки над матрицей $A$ умножает все элементы строки $i$ на $m$ , где $m$ — ненулевой скаляр (обычно действительное число). Соответствующая элементарная матрица — диагональная матрица с диагональными элементами 1 везде, кроме позиции $i$ , где это $m$ .

D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

Итак, $D i (m) A$ — это матрица, полученная из $A$ путем умножения строки $i$ на $m$ .

Коэффициентная матрица $D i (m)$ определяется следующим образом:

[D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}

Характеристики

Обратная матрица этой матрицы имеет вид $D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).$
Матрица и обратная ей матрица являются диагональными матрицами .
$\det(D_{i}(m))=m.$ Следовательно, для квадратной матрицы $A$ (правильного размера) имеем $\det(D_{i}(m)A)=m\det(A).$

Преобразования сложения строк

Последний тип операции над строкой матрицы $A$ добавляет строку $j,$ умноженную на скаляр $m,$ к строке $i$ . Соответствующая элементарная матрица является единичной матрицей, но с $m$ в позиции $(i, j)$ .

L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

Таким образом, $L ij (m) A$ — это матрица, полученная из $A$ путем добавления $m$ раз строки $j$ к строке $i$ . А $AL ij (m)$ — это матрица, полученная из $A$ путем добавления $m$ раз столбца $i$ к столбцу $j$ .

По коэффициентам матрица $L i,j (m)$ определяется следующим образом:

[L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}

Характеристики

Эти преобразования представляют собой разновидность сдвигового отображения , также известного как трансвекция .
Обратная матрица этой матрицы имеет вид $L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).$
Матрица и обратная ей являются треугольными матрицами .
$\det(L_{ij}(m))=1.$ Следовательно, для квадратной матрицы $A$ (правильного размера) имеем $\det(L_{ij}(m)A)=\det(A).$
Преобразования сложения строк удовлетворяют соотношениям Стейнберга .

Смотрите также

Ссылки

^ Перроне (2024), стр. 119–120.

Экслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архивировано из оригинала 2009-10-31
Перроне, Паоло (2024), Начальная теория категорий, World Scientific, doi :10.1142/9789811286018_0005, ISBN 978-981-12-8600-1
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: Современное введение (2-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall
Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6