Элементарный симметричный полином

В математике , особенно в коммутативной алгебре , элементарные симметричные многочлены являются одним из типов основных строительных блоков для симметричных многочленов , в том смысле, что любой симметричный многочлен может быть выражен как многочлен из элементарных симметричных многочленов. То есть любой симметричный многочлен $P$ задается выражением, включающим только сложение и умножение констант и элементарных симметричных многочленов. Для каждого натурального числа $d$ $\leq$ $n$ существует один элементарный симметричный полином степени $d$ от $n$ переменных , который образуется путем сложения всех различных произведений $d$ различных переменных.

Определение

Элементарные симметричные многочлены от $n$ переменных $X 1, ..., X n$ , записанные $e k (X 1, ..., X n)$ для $k = 1, ..., n$ , определяются формулой

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\end{aligned}}

и так далее, заканчивая

e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.

В общем случае для $k \geq 0$ мы определяем

e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\dotsm X_{j_{k}},

так что $e k (X 1, ..., X n) = 0,$ если $k > n$ . (Иногда $1 = e 0 (X 1, ..., X n)$ включается в число элементарных симметричных многочленов, но исключение его позволяет, как правило, упростить формулировку результатов и свойств.)

Таким образом, для каждого натурального числа $k,$ меньшего или равного $n$ , существует ровно один элементарный симметричный многочлен степени $k$ от $n$ переменных. Чтобы сформировать тот, который имеет степень $k$ , мы берем сумму всех произведений $k$ -подмножеств $n$ переменных. (Напротив, если выполнить ту же операцию с мультимножествами переменных, то есть взять переменные с повторением, можно получить полные однородные симметричные полиномы .)

Учитывая целочисленное разбиение (то есть конечную невозрастающую последовательность натуральных чисел) $λ = (λ 1, ..., λ m)$ , определяется симметричный многочлен $e λ (X 1, ..., X n)$ , также называемый элементарным симметричным полиномом, по

e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n})

$Иногда$ вместо $ek$ используется обозначение $σk$ $.$

Примеры

Ниже перечислены $n$ элементарных симметричных полиномов для первых четырех положительных значений $n$ .

Для $n = 1$ :

e_{1}(X_{1})=X_{1}.

Для $n = 2$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}

Для $n = 3$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}

Для $n = 4$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}

Характеристики

Элементарные симметричные многочлены появляются, когда мы расширяем линейную факторизацию монического многочлена : мы имеем тождество

\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).

То есть, когда мы заменяем числовыми значениями переменные $X 1, X 2, ..., X n$ , мы получаем унитарный одномерный полином (с переменной $λ$ ), корнями которого являются значения, замененные вместо $X 1, X 2, .. ., X n$ , коэффициенты которых с точностью до знака являются элементарными симметрическими многочленами. Эти соотношения между корнями и коэффициентами многочлена называются формулами Виета .

Характеристический многочлен квадратной матрицы является примером применения формул Виета. Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы . Подставляя эти собственные значения в элементарные симметричные многочлены, мы получаем – с точностью до их знака – коэффициенты характеристического многочлена, которые являются инвариантами матрицы. В частности, след (сумма элементов диагонали) представляет собой значение $e$ $1$ и, следовательно, сумму собственных значений. Аналогично, определителем является – с точностью до знака – $постоянный$ член характеристического многочлена, т.е. значение $en$ . Таким образом, определитель квадратной матрицы является произведением собственных значений.

Множество элементарных симметричных многочленов от n $переменных$ порождает кольцо симметричных многочленов от n $переменных$ . Более конкретно, кольцо симметричных многочленов с целыми коэффициентами равно кольцу целых многочленов $[$ $e$ $1$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $), ...,$ $e$ $n$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)]$ . (Более общее утверждение и доказательство см. ниже .) Этот факт является одной из основ теории инвариантов . О другой системе симметричных полиномов с тем же свойством см. Полные однородные симметричные полиномы , а о системе с аналогичным, но немного более слабым свойством см. Степневую сумму симметричного полинома . $\mathbb {Z}$

Основная теорема о симметричных полиномах

Для любого коммутативного кольца $A$ обозначим кольцо симметричных многочленов от переменных $X 1, ..., X n$ с коэффициентами из $A$ через $A [X 1, ..., X n] S n$ . Это кольцо многочленов от n элементарных симметричных многочленов $e k (X 1, ..., X n)$ для $k = 1, ..., n$ .

Это означает, что каждый симметричный многочлен $P (X 1, ..., X n) \in A [X 1, ..., X n] S n$ имеет единственное представление

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big )}

для некоторого многочлена $Q \in A [Y 1, ..., Y n]$ . Другой способ сказать то же самое состоит в том, что кольцевой гомоморфизм , который переводит $Y k$ в $e k (X 1, ..., X n)$ для $k = 1, ..., n$ , определяет изоморфизм между $A [Y 1, . .., Y n]$ и $A [X 1, ..., X n] S n$ .

Эскиз доказательства

Теорема может быть доказана для симметричных однородных многочленов двойной индукцией по числу переменных $n$ и, при фиксированном $n$ , по степени однородного многочлена. Тогда общий случай следует путем разбиения произвольного симметричного многочлена на его однородные компоненты (которые снова симметричны).

В случае $n = 1$ результат тривиален, поскольку каждый многочлен от одной переменной автоматически симметричен.

Предположим теперь, что теорема доказана для всех полиномов от $m < n$ переменных и всех симметричных многочленов от $n$ переменных степени $< d$ . Каждый однородный симметричный многочлен $P$ из $A [X 1, ..., X n] S n$ можно разложить в сумму однородных симметричных многочленов

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{lacunary}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).

Здесь «лакунарная часть» $P лакунарная$ определяется как сумма всех мономов из $P$ , которые содержат только собственное подмножество n $переменных$ X $1, ..., X n$ , т. е. где отсутствует хотя бы одна переменная $X j .$

Поскольку $P$ симметричен, лакунарная часть определяется его членами, содержащими только переменные $X 1, ..., X n - 1$ , т. е. не содержащие $X n$ . Точнее: если $A$ и $B$ — два однородных симметричных многочлена от $X 1, ..., X n$ одинаковой степени и если коэффициент при $A$ перед каждым мономом, содержащим только переменные $X 1, ..., X n - 1$ равно соответствующему коэффициенту $B$ , тогда $A$ и $B$ имеют равные лакунарные части. (Это связано с тем, что у каждого монома, который может появиться в лакунарной части, должна отсутствовать хотя бы одна переменная, и, таким образом, его можно преобразовать перестановкой переменных в моном, который содержит только переменные $X 1, ..., X n - 1$ .)

Но члены $P$ , которые содержат только переменные $X 1, ..., X n - 1,$ являются в точности теми членами, которые выдерживают операцию приведения $X n$ в 0, поэтому их сумма равна $P (X 1, ..., X n - 1, 0)$ , который представляет собой симметричный многочлен от переменных $X 1, ..., X n - 1$ , который мы будем обозначать $P̃ (X 1, ..., X n - 1)$ . По индуктивному предположению этот полином можно записать как

{\tilde {P}}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})

для некоторого $Q̃$ . Здесь двузначные индексы $σ j, n - 1$ обозначают элементарные симметрические многочлены от $n - 1$ переменных.

Рассмотрим теперь полином

R(X_{1},\ldots ,X_{n}):={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n},\ldots ,\sigma _{n-1,n}).

Тогда $R (X1, ..., Xn)$ — симметричный полином от $X1, ..., Xn$ той же степени, что и $P$ $лакунарный,$ $который$ удовлетворяет условию

R(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})=P(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)

(первое равенство имеет место, поскольку установка $X n$ на 0 в $σ j, n$ дает $σ j, n - 1$ , для всех $j < n$ ). Другими словами, коэффициент $R$ перед каждым мономом, который содержит только переменные $X 1, ..., X n - 1,$ равен соответствующему коэффициенту $P$ . Как мы знаем, это показывает, что лакунарная часть $R$ совпадает с лакунарной частью исходного многочлена $P$ . Следовательно, разность $P - R$ не имеет лакунной части и, следовательно, делится на произведение $X 1 \cdot\cdot\cdot X n$ всех переменных, которое равно элементарному симметричному многочлену $σ n, n$ . Тогда, записывая $P - R = σ n, n Q$ , фактор $Q$ представляет собой однородный симметричный многочлен степени меньше $d$ (фактически степени не выше $d - n$ ), который по индуктивному предположению может быть выражен как многочлен от элементарного симметричного многочлена. функции. Комбинируя представления для $P - R$ и $R$ , можно найти полиномиальное представление для $P$ .

Единственность представления можно доказать индуктивно аналогично. (Это эквивалентно тому, что $n$ многочленов $e 1, ..., en алгебраически$ независимы над кольцом $A$ .) Из единственности полиномиального представления следует, что $A [X 1, ..., X n] S n$ изоморфен $A [Y 1, ..., Y n]$ .

Альтернативное доказательство

Следующее доказательство также является индуктивным, но не включает в себя другие многочлены, кроме симметричных относительно $X 1, ..., X n$ , а также приводит к довольно прямой процедуре эффективного записи симметричного многочлена как многочлена от элементарных симметричных. Предположим, что симметричный полином однороден степени $d$ ; различные однородные компоненты могут быть разложены по отдельности. Упорядочите мономы в переменных $X i$ лексикографически , где отдельные переменные упорядочены $X 1 > ... > X n$ , другими словами, доминирующим членом многочлена является член с наибольшей встречающейся степенью $X 1$ , и среди них один с наивысшей степенью $X 2$ и т. д. Кроме того, параметризуйте все произведения элементарных симметричных многочленов, имеющих степень $d$ (они на самом деле однородны), следующим образом, путем разбиения $d$ . Упорядочите отдельные элементарные симметричные полиномы $e i (X 1, ..., X n)$ в произведении так, чтобы первыми стояли те, у которых индексы $i$ больше , затем постройте для каждого такого множителя столбец из $i$ ячеек и расположите эти столбцы слева вправо, чтобы сформировать диаграмму Юнга , содержащую всего $d ящиков.$ Форма этой диаграммы представляет собой разбиение $d$ , и каждое разбиение $λ d$ $возникает$ ровно для одного произведения элементарных симметричных полиномов, которое мы будем обозначать $e$ $λ$ $t$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ ) ( $t$ есть присутствует только потому, что традиционно это произведение связано с транспонированным разбиением $λ$ ). Существенным элементом доказательства является следующее простое свойство, в котором используется многоиндексная запись мономов от переменных $X$ $i$ .

Лемма . Главный член $e λ t (X 1, ..., X n)$ — это $X λ$ .

Доказательство . Главный член произведения является произведением главных членов каждого фактора (это верно всякий раз, когда используется мономиальный порядок , такой как использованный здесь лексикографический порядок) и главный член фактора

e i (X 1, .. ., X n),

очевидно,

X 1 X 2 \cdot\cdot\cdot X i

. Чтобы подсчитать вхождения отдельных переменных в полученный моном, заполните столбец диаграммы Юнга, соответствующий соответствующему множителю, числами

1, ..., i

переменных, тогда все ячейки в первой строке содержат 1, т.е. во второй строке 2 и т. д., что означает, что ведущим термином является

X λ

Теперь индукцией по старшему моному в лексикографическом порядке доказывается, что любой ненулевой однородный симметричный многочлен $P$ степени $d$ можно записать как многочлен от элементарных симметричных многочленов. Поскольку $P$ симметричен, его старший моном имеет слабо убывающие показатели, поэтому это некоторый $X λ$ , где $λ$ является разбиением $d$ . Пусть коэффициент этого члена равен $c$ , тогда $P - ce λ t (X 1, ..., X n)$ является либо нулем, либо симметричным многочленом со строго меньшим старшим мономом. Записав эту разность индуктивно в виде многочлена от элементарных симметричных многочленов и прибавив к ней обратно $ce λ t (X 1, ..., X n)$ , получим искомое полиномиальное выражение для $P$ .

Также легко доказывается тот факт, что это выражение единственно, или, что то же самое, что все произведения (мономы) $e λ t (X 1, ..., X n)$ элементарных симметричных многочленов линейно независимы. Лемма показывает, что все эти произведения имеют разные старшие мономы, и этого достаточно: если нетривиальная линейная комбинация $e λ t (X 1, ..., X n)$ равна нулю, фокусируется на вкладе в линейную комбинацию с ненулевой коэффициент и с (как полиномом от переменных $X i$ ) наибольшим старшим мономом; главный член этого вклада не может быть сокращен ни одним другим вкладом линейной комбинации, что дает противоречие.