В математике элементарная функция — это функция одной переменной (обычно действительной или комплексной ), которая определяется как сумма , произведение , корень и композиция конечного числа полиномиальных , рациональных , тригонометрических , гиперболических и показательных функций, а также их обратных функций (например, arcsin , log или x 1/ n ). [1 ]
Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения .
Элементарные функции были введены Жозефом Лиувиллем в серии статей с 1833 по 1841 год. [ 2] [3] [4] Алгебраическая трактовка элементарных функций была начата Жозефом Фелсом Риттом в 1930-х годах. [5] Многие учебники и словари не дают точного определения элементарных функций, и математики расходятся во мнениях по этому вопросу. [6]
Элементарные функции одной переменной x включают в себя:
Некоторые элементарные функции одной комплексной переменной z , такие как и , могут быть многозначными . Кроме того, некоторые классы функций могут быть получены другими с использованием последних двух правил. Например, экспоненциальная функция, составленная с помощью сложения, вычитания и деления, дает гиперболические функции, тогда как начальное составление с вместо этого дает тригонометрические функции.
Примеры элементарных функций включают в себя:
Последняя функция равна , арккосинус , во всей комплексной плоскости .
Все одночлены , многочлены , рациональные функции и алгебраические функции являются элементарными.
Функция абсолютного значения для вещественного числа также элементарна, поскольку ее можно выразить как композицию степени и корня : . [ сомнительно – обсудить ]
Многие математики исключают неаналитические функции , такие как функция абсолютного значения или разрывные функции, такие как ступенчатая функция , [9] [6], но другие допускают их. Некоторые предложили расширить набор, включив, например, функцию Ламберта W. [ 10]
Некоторые примеры функций, которые не являются элементарными:
Из определения непосредственно следует, что множество элементарных функций замкнуто относительно арифметических операций, извлечения корня и композиции. Элементарные функции замкнуты относительно дифференцирования . Они не замкнуты относительно пределов и бесконечных сумм . Важно, что элементарные функции не замкнуты относительно интегрирования , как показывает теорема Лиувилля , см. неэлементарный интеграл . Функции Лиувилля определяются как элементарные функции и, рекурсивно, интегралы функций Лиувилля.
Математическое определение элементарной функции или функции в элементарной форме рассматривается в контексте дифференциальной алгебры . Дифференциальная алгебра — это алгебра с дополнительной операцией вывода (алгебраическая версия дифференцирования). Используя операцию вывода, можно записать новые уравнения и использовать их решения в расширениях алгебры. Начиная с поля рациональных функций , можно добавить к полю два специальных типа трансцендентных расширений (логарифм и экспонента), строя башню, содержащую элементарные функции.
Дифференциальное поле F — это поле F 0 ( например, рациональные функции над рациональными числами Q ) вместе с отображением вывода u → ∂ u . (Здесь ∂ u — новая функция. Иногда используется обозначение u ′.) Вывод охватывает свойства дифференцирования, так что для любых двух элементов базового поля вывод является линейным
и удовлетворяет правилу произведения Лейбница
Элемент h является константой, если ∂h = 0. Если базовое поле находится над рациональными числами, необходимо соблюдать осторожность при расширении поля, чтобы добавить необходимые трансцендентные константы.
Функция u дифференциального расширения F [ u ] дифференциального поля F является элементарной функцией над F, если функция u
(см. также теорему Лиувилля )