Цепные вращения Давенпорта

В физике и технике цепные вращения Давенпорта представляют собой три связанных внутренних вращения вокруг определенных осей, фиксированных телом. Вращения Эйлера и вращения Тейта – Брайана являются частными случаями разложения общего вращения Давенпорта. Углы вращения называются углами Давенпорта, потому что общая проблема разложения вращения на последовательность из трех была впервые изучена Полом Б. Давенпортом. ^[1]

Можно представить , что неортогональная вращающаяся система координат жестко прикреплена к твердому телу. В этом случае ее иногда называют локальной системой координат. Учитывая, что оси вращения солидарны с движущимся телом, обобщенные вращения можно разделить на две группы (здесь x , y и z относятся к неортогональной движущейся системе отсчета):

Обобщенные вращения Эйлера: $(zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy)$
Обобщенные вращения Тейта – Брайана: $(xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz)$ .

Большинство случаев относится ко второй группе, поскольку обобщенные вращения Эйлера представляют собой вырожденный случай, когда первая и третья оси перекрываются.

Теорема вращения Давенпорта

Общая проблема разложения вращения на три составных движения вокруг собственных осей изучалась П. Давенпортом под названием «обобщенные углы Эйлера », но позже эти углы были названы М. Шустером и Л. Маркли «углами Давенпорта». ^[2]

Общая задача состоит в получении матричного разложения вращения по трем известным осям. В некоторых случаях одна из осей повторяется. Эта задача эквивалентна задаче о разложении матриц. ^[3]

Давенпорт доказал, что любой ориентации можно достичь, составив три элементарных вращения с использованием неортогональных осей. Элементарные вращения могут происходить либо вокруг осей фиксированной системы координат (внешние вращения), либо вокруг осей вращающейся системы координат, которая изначально выровнена с фиксированной и изменяет свою ориентацию после каждого элементарного вращения (внутренние вращения).

Согласно теореме Давенпорта, единственное разложение возможно тогда и только тогда, когда вторая ось перпендикулярна двум другим осям. Следовательно, оси 1 и 3 должны находиться в плоскости, ортогональной оси 2. ^[2]

Следовательно, разложения в цепные вращения Эйлера и цепные вращения Тейта – Брайана являются частными случаями этого. Случай Тейта – Брайана возникает, когда оси 1 и 3 перпендикулярны, а случай Эйлера возникает, когда они перекрываются.

Полная система ротаций

Изображение 2: Самолет лежит на плоскости.

Набор вращений Давенпорта называется полным, если его достаточно для создания любого вращения пространства по композиции. Говоря матричным языком, оно является полным, если оно может порождать любую ортонормированную матрицу пространства, определитель которой равен +1. Ввиду некоммутативности матричного произведения систему вращения необходимо упорядочить.

Иногда порядок определяется геометрией основной проблемы. Например, при использовании для транспортных средств, у которых есть специальная ось, указывающая направление «вперед», полезна только одна из шести возможных комбинаций поворотов. Интересна композиция, способная управлять курсом и углом возвышения самолета за один независимый поворот.

На соседнем рисунке композиция рыскания, тангажа и крена (YPR) позволяет регулировать направление самолета с помощью двух первых углов. Другая композиция, такая как YRP, позволила бы установить направление оси крыльев, что в большинстве случаев явно бесполезно.

Цепные вращения Тейта – Брайана

Вращения Тейта – Брайана представляют собой особый случай, когда первая и третья оси между собой перпендикулярны. Предполагая, что система отсчета ⟨ x , y , z ⟩ с соглашением , как на изображении 2, и плоскость с осями ⟨ рыскания, тангажа, крена ⟩ , как на изображении 3 [ данные отсутствуют ] , лежащая горизонтально на плоскости ⟨x, y ⟩ вначале, после выполнения внутренних вращений Y, P и R по осям рыскания, тангажа и крена (в этом порядке) мы получаем нечто похожее на изображение 4 [ данные отсутствуют ] .

В начале :

ось плоского крена находится на оси x системы отсчета
ось шага плоскости находится на оси y системы отсчета
ось отклонения плоскости находится на оси z системы отсчета

Вращения применяются по порядку рыскания, тангажа и крена . В этих условиях курс (угол в горизонтальной плоскости) будет равен приложенному рысканию, а угол места будет равен тангажу.

Матричные выражения для трех вращений Тейта – Брайана в трех измерениях:

{\begin{aligned}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll} (\phi )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Yaw} (\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Матрица составных вращений:

{\begin{aligned}M&=\mathrm {Roll} (\phi )\,\mathrm {Pitch} (\theta )\,\mathrm {Yaw} (\psi )\\&=R_{x}(\phi )R_{y}(\theta )R_{z}(\psi ).\end{aligned}}

Из шести возможных комбинаций рыскания, тангажа и крена эта комбинация является единственной, в которой курс (направление оси крена) равен одному из поворотов (рысканию), а угол возвышения (углу оси крена). с горизонтальной плоскостью) равен другому вращению (по тангажу).

Эйлеровы цепные вращения

Изображение 5: Исходное положение самолета для применения правильных углов Эйлера.

Эйлеровы вращения представляют собой особый случай, когда первая и третья оси вращения перекрываются. Эти вращения Эйлера связаны с собственными углами Эйлера, которые, как считалось, используются для изучения движения твердого тела, такого как планета. Угол, определяющий направление оси вращения, обычно называется «долготой оси вращения» или «долготой линии узлов» вместо «курса», что не имеет смысла для планеты.

В любом случае, вращения Эйлера все еще можно использовать, когда речь идет о транспортном средстве, хотя они будут вести себя странно. Поскольку вертикальная ось является началом углов, она называется «наклон», а не «возвышение». Как и раньше, при описании положения транспортного средства считается, что ось направлена вперед, и поэтому будет полезна только одна из возможных комбинаций поворотов.

Комбинация зависит от того, как взяты оси и каково начальное положение плоскости. Используя тот, что на чертеже, и комбинируя вращения таким образом, чтобы ось повторялась, только крен-тангаж-крен позволит контролировать долготу и наклон с помощью одного вращения каждый.

Три матрицы для умножения:

{\begin{aligned}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll} _{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}(\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

В этом соглашении крен ₁ задает «курс», тангаж — это «наклон» (дополняющий высоту), а крен ₂ задает «наклон».

Преобразование во внешнюю ротацию

Изображение 6: Вращение, представленное углами Эйлера ( α , β , γ ) = (-60°, 30°, 45°), с использованием внутренних вращений *z-x'-z″.*

Изображение 7: То же вращение, представленное (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), с использованием внешних вращений *zxz .*

Вращения Давенпорта обычно изучаются как композиция внутреннего вращения из-за важности осей, прикрепленных к движущемуся телу, но их можно преобразовать в композицию внешнего вращения, если это может быть более интуитивно понятным.

Любое внешнее вращение эквивалентно внутреннему вращению на те же углы, но с обратным порядком элементарных вращений, и наоборот. Например, внутренние вращения x-y'-z″ на углы α , β , γ эквивалентны внешним вращениям zyx на углы γ , β , α . Оба представлены матрицей

R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )

Где , , – элементарные матрицы поворота соответствующих углов. Произведение этих матриц , затем следует предварительно умножить на вектор-столбец . Обратите внимание на двусмысленность в определении матриц вращения , поскольку в некоторых определениях вместо них могут использоваться векторы-строки . $X(\alpha )$ $Y(\beta )$ $Z(\gamma )$ $R$

Связь с физическими движениями

Внутренние вращения

Внутренние вращения — это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей вращающейся системы координат XYZ , которая меняет свою ориентацию после каждого элементарного вращения. Система XYZ вращается, а система XYZ неподвижна. Начиная с XYZ, перекрывающего xyz , можно использовать композицию из трех внутренних вращений для достижения любой целевой ориентации для XYZ . Углы Эйлера или Тейта-Брайана ( α , β , γ ) представляют собой амплитуды этих элементарных вращений. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом:

Система XYZ вращается на угол α вокруг оси Z (которая совпадает с осью z ). Ось X теперь лежит на линии узлов.
Система XYZ вращается вокруг оси X , которая теперь повернута на β . Ось Z теперь находится в своей окончательной ориентации, а ось X остается на линии узлов.
Система XYZ вращается в третий раз вокруг новой оси Z на γ .

Приведенные выше обозначения позволяют резюмировать это следующим образом: три элементарных вращения XYZ-системы происходят вокруг z , x ' и z ″. Действительно, эту последовательность часто обозначают z-x'-z″ . Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта-Брайана, обычно называются с использованием этих обозначений (подробности см. выше). Иногда одну и ту же последовательность называют просто zxz , ZXZ или 3-1-3 , но это обозначение может быть неоднозначным, поскольку оно может быть идентично тому, которое используется для внешних вращений. В этом случае возникает необходимость отдельно указать, являются ли вращения внутренними или внешними.

Матрицы вращения можно использовать для представления последовательности внутренних вращений. Например,

R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )

represents a composition of intrinsic rotations about axes x-y’-z″, if used to pre-multiply column vectors. This is standard practice, but take note of the ambiguities in the definition of rotation matrices.

Extrinsic rotations

Extrinsic rotations are elemental rotations that occur about the axes of the fixed coordinate system xyz. The XYZ system rotates, while xyz is fixed. Starting with XYZ overlapping xyz, a composition of three extrinsic rotations can be used to reach any target orientation for XYZ. The Euler or Tait-Bryan angles (α, β, γ) are the amplitudes of these elemental rotations. For instance, the target orientation can be reached as follows:

The XYZ system rotates about the z axis by α. The X axis is now at angle α with respect to the x axis.
The XYZ system rotates again about the x axis by β. The Z axis is now at angle β with respect to the z axis.
The XYZ system rotates a third time about the z axis by γ.

In sum, the three elemental rotations occur about z, x and z. Indeed, this sequence is often denoted z-x-z (or 3-1-3). Sets of rotation axes associated with both proper Euler angles and Tait–Bryan angles are commonly named using this notation (see above for details).

Rotation matrices can be used to represent a sequence of extrinsic rotations. For instance,

R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )

represents a composition of extrinsic rotations about axes x-y-z, if used to pre-multiply column vectors. This is standard practice, but take note of the ambiguities in the definition of rotation matrices.

Conversion between intrinsic and extrinsic rotations

Image 8: A rotation represented by Euler angles (α, β, γ) = (−60°, 30°, 45°), using *z-x’-z″* intrinsic rotations

Image 9: The same rotation represented by (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), using *z-x-z* extrinsic rotations

R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )

if используется для предварительного умножения векторов-столбцов . Это стандартная практика, но обратите внимание на двусмысленность в определении матриц вращения . $R$

Доказательство преобразования в случае предварительного умножения

Матрица вращения последовательности внутреннего вращения x-y'-z″ может быть получена путем последовательного вращения внутреннего элемента справа налево:

R=Z''Y'X.

В этом процессе есть три кадра, связанных внутренней последовательностью вращения. Обозначим кадр 0 как начальный кадр, кадр 1 после первого поворота вокруг оси x , кадр 2 после второго поворота вокруг оси y' и кадр 3 как третий поворот вокруг оси z″ .

Поскольку матрица вращения может быть представлена среди этих трех кадров, давайте использовать индекс левого плеча для обозначения кадра представления. Следующее обозначение означает матрицу вращения, которая преобразует кадр a в кадр b и представлена в кадре c :

{}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.

Матрица вращения внутреннего элемента, представленная в том кадре, где происходит вращение, имеет то же значение, что и соответствующая матрица вращения внешнего элемента:

{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}=Y,\quad {}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}=Z.

Собственная матрица вращения элементов Y' и Z″ , представленная в кадре 0, может быть выражена в других формах:

{\begin{aligned}Y'&={}^{0}\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z''&={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}^{-1}\right)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^{-1}\end{aligned}}

Два приведенных выше уравнения заменяются первым уравнением:

{\begin{aligned}R&=Z''Y'X\\&=\left(XYZY^{-1}X^{-1}\right)\left(XYX^{-1}\right)X\\&=XYZY^{-1}\left(X^{-1}X\right)Y\left(X^{-1}X\right)\\&=XYZ\left(Y^{-1}Y\right)\\&=XYZ\end{aligned}}

Следовательно, матрица вращения последовательности вращения внутреннего элемента такая же, как и матрица вращения обратной последовательности вращения внешнего элемента:

R=Z''Y'X=XYZ.