Элементарная функция

Математическая функция

В математике элементарная функция — это функция одной переменной (обычно действительной или комплексной ), которая определяется как сумма , произведение , корень и композиция конечного числа полиномиальных , рациональных , тригонометрических , гиперболических и показательных функций, а также их обратных функций (например, arcsin , log или x ^{1/ n} ). ^[1 ]

Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения .

Элементарные функции были введены Жозефом Лиувиллем в серии статей с 1833 по 1841 год. [ ^{2] [3] [4]} Алгебраическая трактовка элементарных функций была начата Жозефом Фелсом Риттом в 1930-х годах. ^[5] Многие учебники и словари не дают точного определения элементарных функций, и математики расходятся во мнениях по этому вопросу. ^[6]

Примеры

Простые примеры

Элементарные функции одной переменной x включают в себя:

• Постоянные функции : и т.д. ${\displaystyle 2,\ \pi ,\ e,}$
• Рациональные степени x : и т.д. ${\displaystyle x,\ x^{2},\ {\sqrt {x}}\ (x^{\frac {1}{2}}),\ x^{\frac {2}{3}},}$
• Экспоненциальные функции : ${\displaystyle e^{x},\ a^{x}}$
• Логарифмы : ${\displaystyle \log x,\ \log _{a}x}$
• Тригонометрические функции : и т.д. ${\displaystyle \sin x,\ \cos x,\ \tan x,}$
• Обратные тригонометрические функции : и т.д. ${\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,}$
• Гиперболические функции : и т.д. ${\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}$
• Обратные гиперболические функции : и т.д. ${\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,}$
• Все функции, полученные путем сложения, вычитания, умножения или деления конечного числа любых предыдущих функций ^[7]
• Все функции, полученные путем извлечения корня из многочлена с коэффициентами в элементарных функциях ^[8]
• Все функции, полученные путем составления конечного числа любых из ранее перечисленных функций

Некоторые элементарные функции одной комплексной переменной z , такие как и , могут быть многозначными . Кроме того, некоторые классы функций могут быть получены другими с использованием последних двух правил. Например, экспоненциальная функция, составленная с помощью сложения, вычитания и деления, дает гиперболические функции, тогда как начальное составление с вместо этого дает тригонометрические функции. ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle iz}$

Составные примеры

Примеры элементарных функций включают в себя:

• Сложение, например ( x +1)
• Умножение, например (2 x )
• Полиномиальные функции
• ${\displaystyle {\frac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\log x)^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle -i\log \left(x+i{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$

Последняя функция равна , арккосинус , во всей комплексной плоскости . ${\displaystyle \arccos x}$

Все одночлены , многочлены , рациональные функции и алгебраические функции являются элементарными.

Функция абсолютного значения для вещественного числа также элементарна, поскольку ее можно выразить как композицию степени и корня : . ^{[ сомнительно – обсудить ]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

Неэлементарные функции

Многие математики исключают неаналитические функции , такие как функция абсолютного значения или разрывные функции, такие как ступенчатая функция , ^{[9] [6],} но другие допускают их. Некоторые предложили расширить набор, включив, например, функцию Ламберта W. [ ^10]

Некоторые примеры функций, которые не являются элементарными:

• тетрация
• гамма -функция
• неэлементарные функции Лиувилля , включая
  • экспоненциальный ( Ei ) , логарифмический интегральный ( Li или li ) и интегралы Френеля ( S и C ).
  • функция ошибок , факт, который может быть не очевиден сразу, ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]} , но может быть доказан с помощью алгоритма Риша . ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}$
• другие неэлементарные интегралы , включая интеграл Дирихле и эллиптический интеграл .

Закрытие

Из определения непосредственно следует, что множество элементарных функций замкнуто относительно арифметических операций, извлечения корня и композиции. Элементарные функции замкнуты относительно дифференцирования . Они не замкнуты относительно пределов и бесконечных сумм . Важно, что элементарные функции не замкнуты относительно интегрирования , как показывает теорема Лиувилля , см. неэлементарный интеграл . Функции Лиувилля определяются как элементарные функции и, рекурсивно, интегралы функций Лиувилля.

Дифференциальная алгебра

Математическое определение элементарной функции или функции в элементарной форме рассматривается в контексте дифференциальной алгебры . Дифференциальная алгебра — это алгебра с дополнительной операцией вывода (алгебраическая версия дифференцирования). Используя операцию вывода, можно записать новые уравнения и использовать их решения в расширениях алгебры. Начиная с поля рациональных функций , можно добавить к полю два специальных типа трансцендентных расширений (логарифм и экспонента), строя башню, содержащую элементарные функции.

Дифференциальное поле F — это поле F ₀ ( например, рациональные функции над рациональными числами Q ) вместе с отображением вывода u  → ∂ u . (Здесь ∂ u — новая функция. Иногда используется обозначение u ′.) Вывод охватывает свойства дифференцирования, так что для любых двух элементов базового поля вывод является линейным

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$

и удовлетворяет правилу произведения Лейбница

${\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v\,.}$

Элемент h является константой, если ∂h = 0. Если базовое поле находится над рациональными числами, необходимо соблюдать осторожность при расширении поля, чтобы добавить необходимые трансцендентные константы.

Функция u дифференциального расширения F [ u ] дифференциального поля F является элементарной функцией над F, если функция u

• является алгебраическим над F , или
• является экспоненциальным , то есть ∂ u = u ∂ a для a ∈ F , или
• является логарифмом , то есть ∂ u = ∂ a  / a для a ∈ F.

(см. также теорему Лиувилля )

Смотрите также

• Алгебраическая функция  – Математическая функция
• Выражение в замкнутой форме  – Математическая формула, включающая заданный набор операций.
• Дифференциальная теория Галуа  – изучение групп симметрии Галуа дифференциальных полей
• Элементарная функциональная арифметика  – Система арифметики в теории доказательств
• Теорема Лиувилля (дифференциальная алгебра)  – утверждает, когда первообразные элементарных функций могут быть выражены через элементарные функции.
• Задача Тарского по алгебре для старшей школы  – Математическая задача
• Трансцендентная функция  – аналитическая функция, которая не удовлетворяет полиномиальному уравнению.
• Самореферентная формула Таппера  – формула, которая визуально представляет себя при графическом отображении

Примечания

1. Спивак, Майкл. (1994). Calculus (3-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish. стр. 359. ISBN 0914098896. OCLC  31441929.
2. Лиувилль 1833а.
3. Лиувилль 1833б.
4. Лиувилль 1833c.
5. Ритт 1950.
6. Субботин, Игорь Я.; Билоцкий, НН (март 2008). "Алгоритмы и основные понятия исчисления" (PDF) . Журнал исследований в области инновационного обучения . 1 (1): 82–94.
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения . Довер. 1985. стр. 17. ISBN 0-486-64940-7.
8. Weisstein, Eric W. «Элементарная функция». Из MathWorld
9. Риш, Роберт Х. (1979). «Алгебраические свойства элементарных функций анализа». American Journal of Mathematics . 101 (4): 743–759. doi :10.2307/2373917. ISSN  0002-9327. JSTOR  2373917.
10. Стюарт, Шон (2005). «Новая элементарная функция для наших учебных программ?» (PDF) . Australian Senior Mathematics Journal . 19 (2): 8–26.

Ссылки

• Лиувилл, Жозеф (1833a). «Премьерные мемуары по определению интегралов: не ценность алгебры». Журнал Политехнической школы . том XIV: 124–148.
• Лиувилл, Жозеф (1833b). «Второй мемуар по определению интегралов, не valeur est algébrique». Журнал Политехнической школы . том XIV: 149–193.
• Лиувилль, Жозеф (1833c). «Обратите внимание на определение интегралов, не оцените алгебраическую ценность». Журнал для королевы и математики . 10 : 347–359.
• Ритт, Джозеф (1950). Дифференциальная алгебра. AMS .
• Розенлихт, Максвелл (1972). «Интеграция в конечных терминах». American Mathematical Monthly . 79 (9): 963–972. doi :10.2307/2318066. JSTOR  2318066.

Дальнейшее чтение

• Дэвенпорт, Джеймс Х. (2007). «Что может означать «понять функцию»?». На пути к механизированным помощникам математиков . Конспект лекций по информатике. Том 4573. С. 55–65. doi :10.1007/978-3-540-73086-6_5. ISBN 978-3-540-73083-5. S2CID  8049737.

Внешние ссылки

• Элементарные функции в Encyclopaedia of Mathematics
• Вайсштейн, Эрик В. "Элементарная функция". MathWorld .