Эллиптическая система координат

2D-система координат, координатные линии которой представляют собой софокусные эллипсы и гиперболы.

Эллиптическая система координат

В геометрии эллиптическая система координат — это двумерная ортогональная система координат , в которой координатные линии представляют собой софокусные эллипсы и гиперболы . Два фокуса и обычно считаются фиксированными в точках и соответственно на оси декартовой системы координат . ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle +a}$ ${\displaystyle x}$

Основное определение

Наиболее распространенное определение эллиптических координат : ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}$

где - неотрицательное действительное число и ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}$

На комплексной плоскости эквивалентное соотношение имеет вид

${\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}$

Эти определения соответствуют эллипсам и гиперболам. Тригонометрическое тождество

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

показывает, что кривые константы образуют эллипсы , тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

показывает, что кривые константы образуют гиперболы . ${\displaystyle \nu }$

Масштабные коэффициенты

В ортогональной системе координат длины базисных векторов называются масштабными коэффициентами. Масштабные коэффициенты для эллиптических координат равны ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.}$

Используя тождества с двойным аргументом для гиперболических функций и тригонометрических функций , масштабные коэффициенты можно эквивалентно выразить как

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.}$

Следовательно, бесконечно малый элемент площади равен

${\displaystyle {\begin{aligned}dA&=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}}$

и лапласиан читает

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и, могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

Альтернативное определение

Иногда используется альтернативный и геометрически интуитивно понятный набор эллиптических координат , где и . Следовательно, кривые константы представляют собой эллипсы, а кривые константы — гиперболы. Координата должна принадлежать интервалу [-1, 1], при этом координата должна быть больше или равна единице. ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Координаты имеют простую связь с расстояниями до фокусов и . Для любой точки плоскости сумма ее расстояний до фокусов равна , а их разность равна . Таким образом, расстояние до есть , тогда как расстояние до есть . (Напомним, что и расположены в точках и соответственно.) ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\tau }$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle x=-a}$ ${\displaystyle x=+a}$

Недостатком этих координат является то, что точки с декартовыми координатами (x,y) и (x,-y) имеют одинаковые координаты , поэтому преобразование в декартовы координаты является не функцией, а многофункциональной функцией . ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle x=a\left.\sigma \right.\tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).}$

Альтернативные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат : ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.}$

Следовательно, бесконечно малый элемент площади становится

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau }$

а лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и, могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Экстраполяция в более высокие измерения

Эллиптические координаты составляют основу нескольких наборов трехмерных ортогональных координат :

1. Эллиптические цилиндрические координаты получаются путем проецирования в -направлении. ${\displaystyle z}$
2. Вытянутые сфероидальные координаты получаются путем вращения эллиптических координат вокруг оси -, т. е. оси, соединяющей фокусы, тогда как сплющенные сфероидальные координаты создаются путем вращения эллиптических координат вокруг оси -, т. е. оси, разделяющей фокусы. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
3. Эллипсоидальные координаты представляют собой формальное расширение эллиптических координат в трехмерное измерение, основанное на софокусных эллипсоидах, одно- и двухлистных гиперболоидах.

Обратите внимание, что (эллипсоидальная) географическая система координат — это концепция, отличная от приведенной выше.

Приложения

Классическими применениями эллиптических координат являются решение уравнений в частных производных , например, уравнения Лапласа или уравнения Гельмгольца , для которых эллиптические координаты являются естественным описанием системы, что позволяет разделить переменные в уравнениях в частных производных . Некоторыми традиционными примерами являются системы решения, такие как электроны, вращающиеся вокруг молекулы, или планетарные орбиты, имеющие эллиптическую форму.

Геометрические свойства эллиптических координат также могут быть полезны. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов и получение суммы до фиксированного вектора , где подынтегральная функция является функцией длин векторов и . (В таком случае можно было бы расположить между двумя фокусами и выровнять по оси -, т. е .) Для конкретности , и могли бы представлять импульсы частицы и продуктов ее разложения, соответственно, а подынтегральная функция могла бы включать кинетическую энергии продуктов (которые пропорциональны квадратам длин импульсов). ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

Смотрите также

• Криволинейные координаты
• Эллипсоидальные координаты
• Обобщенные координаты
• Биполярные координаты

Рекомендации

• «Эллиптические координаты», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Корн ГА и Корн ТМ . (1961) Математический справочник для ученых и инженеров , МакГроу-Хилл.
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптические цилиндрические координаты». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html