Гравитационная энергия связи

Минимальная энергия для вывода системы из гравитационно-связанного состояния

Скопления галактик — крупнейшие известные гравитационно-связанные структуры во Вселенной. ^[1]

Энергия гравитационной связи системы — это минимальная энергия, которую необходимо прибавить к ней, чтобы система перестала находиться в гравитационно- связанном состоянии . Гравитационно-связанная система имеет меньшую ( т. е . более отрицательную) гравитационную потенциальную энергию, чем сумма энергий ее частей, когда они полностью разделены, — именно это удерживает систему агрегированной в соответствии с принципом минимальной полной потенциальной энергии .

Для сферического тела однородной плотности гравитационная энергия связи U определяется формулой ^{[2] [3]}

$${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$$

Gгравитационная постояннаяMR

Предполагая, что Земля представляет собой сферу с однородной плотностью (это не так, но достаточно близко, чтобы получить оценку порядка величины ) с M =5,97 × 10 ²⁴  кг и r =6,37 × 10 ⁶  м , то U =2,24 × 10 ³²  Дж . Это примерно равно одной неделе общего объема энергии Солнца . Это37,5 МДж/кг , 60% абсолютного значения потенциальной энергии на килограмм на поверхности.

Фактическая зависимость плотности от глубины, полученная на основе времени сейсмического распространения (см. уравнение Адамса-Вильямсона ), приведена в предварительной эталонной модели Земли (PREM). ^[4] Используя это, реальную энергию гравитационной связи Земли можно рассчитать численно как U =2,49 × 10 ³²  Дж .

Согласно теореме вириала , энергия гравитационной связи звезды примерно в два раза превышает ее внутреннюю тепловую энергию , чтобы поддерживаться гидростатическое равновесие . ^[2] Поскольку газ в звезде становится более релятивистским , энергия гравитационной связи, необходимая для гидростатического равновесия, приближается к нулю, и звезда становится нестабильной (высоко чувствительной к возмущениям), что может привести к возникновению сверхновой в случае звезды большой массы. из-за сильного радиационного давления или из-за черной дыры в случае нейтронной звезды .

Вывод для однородной сферы

Энергию гравитационной связи сферы с радиусом можно найти, если представить, что она разрывается последовательными движущимися к бесконечности сферическими оболочками, сначала самой внешней, и найти необходимую для этого полную энергию. ${\displaystyle R}$

Предполагая постоянную плотность , массы оболочки и сферы внутри нее равны: ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle m_{\mathrm {shell} }=4\pi r^{2}\rho \,dr}$$

$${\displaystyle m_{\mathrm {interior} }={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho }$$

Требуемая энергия оболочки равна отрицательной потенциальной энергии гравитации:

$${\displaystyle dU=-G{\frac {m_{\mathrm {shell} }m_{\mathrm {interior} }}{r}}}$$

Интегрирование по всем оболочкам дает:

$${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {\left(4\pi r^{2}\rho \right)\left({\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \right)}{r}}dr=-G{\frac {16}{3}}\pi ^{2}\rho ^{2}\int _{0}^{R}{r^{4}}dr=-G{\frac {16}{15}}{\pi }^{2}{\rho }^{2}R^{5}}$$

Поскольку для объектов с одинаковой плотностью просто равна массе целого, разделенной на его объем, поэтому ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}}$$

И, наконец, подключение этого к нашему результату приводит к

$${\displaystyle U=-G{\frac {16}{15}}\pi ^{2}R^{5}\left({\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\right)^{2}=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$$

Гравитационная энергия связи

${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$

Отрицательная массовая составляющая

Два тела, расположенные на расстоянии R друг от друга и взаимно не движущиеся, оказывают гравитационную силу на третье тело, немного меньшую, когда R мало. Это можно рассматривать как компонент отрицательной массы системы, равный для равномерно сферических решений:

$${\displaystyle M_{\mathrm {binding} }=-{\frac {3GM^{2}}{5Rc^{2}}}}$$

Например, тот факт, что Земля представляет собой гравитационно-связанную сферу ее нынешнего размера, стоит 2,494 21 × 10 ¹⁵  кг массы (примерно четверть массы Фобоса – то же значение в джоулях см. выше ), и если бы его атомы были редкими в сколь угодно большом объеме, Земля весила бы свою текущую массу плюс2,494 21 × 10 ¹⁵  кг килограммов (и его гравитационное притяжение к третьему телу было бы соответственно сильнее).

Можно легко продемонстрировать, что этот отрицательный компонент никогда не может превышать положительный компонент системы. Отрицательная энергия связи, превышающая массу самой системы, действительно потребует, чтобы радиус системы был меньше:

$${\displaystyle R\leq {\frac {3GM}{5c^{2}}}}$$

радиуса Шварцшильда ${\textstyle {\frac {3}{10}}}$

$${\displaystyle R\leq {\frac {3}{10}}r_{\mathrm {s} }}$$

релятивистских^[5]

Неоднородные сферы

Планеты и звезды имеют радиальные градиенты плотности от поверхностей с более низкой плотностью к гораздо более плотным сжатым ядрам. Объекты вырожденной материи (белые карлики; нейтронные звезды-пульсары) имеют радиальные градиенты плотности плюс релятивистские поправки.

Релятивистские уравнения состояния нейтронной звезды включают график зависимости радиуса от массы для различных моделей. ^[6] Наиболее вероятные радиусы для данной массы нейтронной звезды заключены в скобки моделей AP4 (наименьший радиус) и MS2 (наибольший радиус). BE — отношение массы энергии гравитационной связи, эквивалентной наблюдаемой гравитационной массе нейтронной звезды M с радиусом R ,

$${\displaystyle BE={\frac {0.60\,\beta }{1-{\frac {\beta }{2}}}}}$$

$${\displaystyle \beta ={\frac {GM}{Rc^{2}}}.}$$

Учитывая текущие значения

• ${\displaystyle G=6.6743\times 10^{-11}\,\mathrm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}} }$^[7]
• ${\displaystyle c^{2}=8.98755\times 10^{16}\,\mathrm {m^{2}\cdot s^{-2}} }$
• ${\displaystyle M_{\odot }=1.98844\times 10^{30}\,\mathrm {kg} }$

и масса звезды M, выраженная относительно солнечной массы,

$${\displaystyle M_{x}={\frac {M}{M_{\odot }}},}$$

тогда релятивистская дробная энергия связи нейтронной звезды равна

$${\displaystyle BE={\frac {885.975\,M_{x}}{R-738.313\,M_{x}}}}$$

Смотрите также

• Тензор энергии-напряжения
• Псевдотензор напряжения-энергии-импульса
• Эффект Нордтведта

Рекомендации

1. «Найди кластер» . www.eso.org . Проверено 31 июля 2017 г.
2. Чандрасекхар, С. 1939, Введение в изучение звездной структуры (Чикаго: Университет Чикаго; переиздано в Нью-Йорке: Дувр), раздел 9, уравнения. 90–92, с. 51 (Дуврское издание)
3. Ланг, KR 1980, Астрофизические формулы (Берлин: Springer Verlag), стр. 272
4. Дзевонски, AM ; Андерсон, Д.Л. (1981). «Предварительная эталонная модель Земли». Физика Земли и недр планет . 25 (4): 297–356. Бибкод : 1981PEPI...25..297D. дои : 10.1016/0031-9201(81)90046-7.
5. Кац, Джозеф; Линден-Белл, Дональд; Бичак, Иржи (27 октября 2006 г.). «Гравитационная энергия в стационарном пространстве-времени». Классическая и квантовая гравитация . 23 (23): 7111–7128. arXiv : gr-qc/0610052 . Бибкод : 2006CQGra..23.7111K. дои : 10.1088/0264-9381/23/23/030. S2CID  1375765.
6. Массы и радиусы нейтронных звезд. Архивировано 17 декабря 2011 г. в Wayback Machine , стр. 9/20, низ
7. «Значение CODATA 2018: гравитационная постоянная Ньютона» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.