В математике энергия Дирихле является мерой того, насколько изменчива функция. Более абстрактно, это квадратичный функционал на пространстве Соболева H 1 . Энергия Дирихле тесно связана с уравнением Лапласа и названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле .
Для открытого множества Ω ⊆ Rn и функции u : Ω → R энергия Дирихле функции u является действительным числом
где ∇ u : Ω → R n обозначает градиентное векторное поле функции u .
Поскольку энергия Дирихле является интегралом неотрицательной величины, она сама по себе неотрицательна, т.е. E [ u ] ≥ 0 для любой функции u .
Решение уравнения Лапласа для всех при соответствующих граничных условиях эквивалентно решению вариационной задачи нахождения функции u , удовлетворяющей граничным условиям и имеющей минимальную энергию Дирихле.
Такое решение называется гармонической функцией , и такие решения являются предметом изучения в теории потенциала .
В более общей ситуации, где Ω ⊆ R n заменяется любым римановым многообразием M , а u : Ω → R заменяется на u : M → Φ для другого (другого) риманова многообразия Φ , энергия Дирихле задается сигма-моделью . Решения уравнений Лагранжа для лагранжиана сигма-модели — это те функции u , которые минимизируют/максимизируют энергию Дирихле. Ограничение этого общего случая обратно конкретным случаем u : Ω → R просто показывает, что уравнения Лагранжа (или, что эквивалентно, уравнения Гамильтона–Якоби ) предоставляют основные инструменты для получения экстремальных решений.
![{\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77650ec89ffc129b298660f8625ed95580e37643)
