Уравнения Герни

Уравнения Герни — это набор математических формул, используемых в области взрывчатых веществ для связи между тем, как быстро взрывчатое вещество будет ускорять соседний слой металла или другого материала при детонации. Это определяет, как быстро осколки высвобождаются военными взрывчатыми веществами, как быстро кумулятивные взрывчатые вещества ускоряют свои вкладыши внутрь, и в других расчетах, таких как сварка взрывом , когда взрывчатые вещества сжимают два металлических листа вместе и скрепляют их. ^[1]

Уравнения были впервые разработаны в 1940-х годах Рональдом Герни ^[2] и с тех пор были значительно расширены и дополнены. В оригинальной статье Герни анализировалась ситуация взрывающегося снаряда или бомбы, массы взрывчатых веществ, окруженной твердой оболочкой. Другие исследователи распространили аналогичные методы анализа на другие геометрии. Все уравнения, выведенные на основе методов Герни, в совокупности называются «уравнениями Герни».

Базовая физика

Когда взрывчатое вещество, находящееся рядом со слоем металлического или другого твердого материала, детонирует, слой ускоряется как начальной ударной волной детонации, так и давлением продуктов детонации. Герни разработал простую и удобную формулу, основанную на законах сохранения импульса и энергии, которые моделируют распределение энергии между металлической оболочкой и детонационными газами, которая во многих случаях является удивительно точной.

Ключевым упрощающим предположением, сделанным Герни, было то, что в газах продуктов детонации взрывчатых веществ существует линейный градиент скорости; в ситуациях, когда это сильно нарушается, таких как имплозия, точность уравнений низкая. Однако в наиболее распространенных ситуациях, встречающихся в боеприпасах (снаряды, окружающие взрывчатые вещества), это работает замечательно хорошо. В таких случаях приближения находятся в пределах 10% экспериментальных или подробных численных результатов в широком диапазоне соотношений массы металла (M) к массе заряда взрывчатого вещества (C) (0,1 < M/C < 10,0). Это происходит из-за ошибок компенсации в упрощенной модели. Игнорирование волн разрежения в газах детонации приводит к тому, что расчетная скорость оказывается слишком высокой; предположение о начальной постоянной плотности газа, а не о фактической плотности газов, являющихся самыми плотными следующими за ускоренным слоем, приводит к тому, что значение оказывается низким, что компенсирует друг друга. В результате попытки улучшить точность модели Герни путем принятия более реалистичных предположений относительно того или иного аспекта могут фактически не улучшить точность результата. ^[3]^[4]

Определения и единицы измерения

Уравнения Герни связывают следующие величины:

C - Масса заряда взрывчатого вещества

M - Масса ускоренной оболочки или листа материала (обычно металла). Оболочку или лист часто называют летуном или летучей пластиной .

V или V _m - Скорость ускоренного летящего тела после детонации взрывчатого вещества

N - Масса тамперной оболочки или листа с другой стороны взрывчатого вещества, если таковой имеется.

$E$ - Энергия на единицу массы взрывчатого вещества, которая в конечном итоге превращается в кинетическую энергию.

${\sqrt {2E}}$ - Константа Герни для данного взрывчатого вещества. Она выражается в единицах скорости (например, миллиметрах в микросекунду) и сравнивает относительную скорость полета, создаваемую различными взрывчатыми материалами.

Для имплозивных систем, где полый взрывной заряд ускоряет внутреннюю массу по направлению к центру, расчеты дополнительно учитывают:

R _o - Внешний радиус заряда взрывчатого вещества

R _i - Внутренний радиус заряда взрывчатого вещества

Константа Герни и скорость детонации

В качестве простого приближенного уравнения физическое значение обычно очень близко к 1/3 скорости детонации взрывчатого вещества для стандартных взрывчатых веществ. ^[1] Для типичного набора военных взрывчатых веществ значение колеблется от 2,32 для тритонала до 3,16 для PAX-29n. ${\sqrt {2E}}$ ${\frac {D}{\sqrt {2E}}}$

${\frac {мм}{\мю с}}$ равна километрам в секунду, более привычной единице для многих приложений.

Обычно цитируемые значения для являются так называемыми конечными значениями , предельным случаем ускорения в испытаниях на расширение цилиндра, используемых для его измерения (при расширении 19–26 мм). Существует также быстрое значение, которое может быть измерено для меньших радиусов расширения (5–7 мм). Если в литературе не дается никаких пояснений, это обычно предельное значение. ^[5] ${\sqrt {2E}}$

Осколочные и неосколочные снаряды

Уравнения Герни дают результат, который предполагает, что оболочка или лист материала остаются нетронутыми на протяжении большей части расширения взрывчатого газа, так что над ними может быть выполнена работа. Для некоторых конфигураций и материалов это верно; например, сварка взрывом использует тонкий лист взрывчатого вещества для равномерного ускорения плоских пластин металла и столкновения их, при этом пластины остаются твердыми на всем протяжении. Однако для многих конфигураций, где материалы, в частности хрупкие материалы, ускоряются наружу, расширяющаяся оболочка разрушается из-за растяжения. Когда она разрушается, она обычно распадается на множество мелких фрагментов из-за комбинированного воздействия продолжающегося расширения оболочки и волн снятия напряжений, движущихся в материал из точек разрушения. ^[1] Это явление позволяет детонационным газам течь вокруг фрагментов или обходить их, уменьшая эффективное движение.

Таким образом, для металлических оболочек, которые являются хрупкими или имеют низкую предельную деформацию, скорости осколков обычно составляют около 80% от значения, предсказанного формулами Герни.

Эффективный объем заряда для зарядов малого диаметра

Эффективная масса заряда для тонких зарядов - конус 60°

Основные уравнения Герни для плоских листов предполагают, что лист материала имеет большой диаметр.

Малые взрывчатые заряды, в которых диаметр взрывчатого вещества не намного больше его толщины, имеют пониженную эффективность, поскольку газ и энергия теряются в стороны. ^[1]

Эта потеря эмпирически моделируется как уменьшение эффективной массы заряда взрывчатого вещества C до эффективного значения C _eff , которое представляет собой объем взрывчатого вещества, содержащегося в конусе с углом 60°, основание которого находится на границе взрывчатого вещества и летучего тела.

По данным анализа Бенхэма, размещение цилиндрического трамбовщика вокруг взрывчатого заряда эффективно снижает эти боковые потери.

Аномальные предсказания

В 1996 году Хирш описал область производительности для относительно малых соотношений, в которой уравнения Герни искажают фактическое физическое поведение. ^[6] ${\frac {M}{C}}$

Диапазон значений, для которых основные уравнения Герни генерируют аномальные значения, описывается следующим образом (для плоских асимметричных и открытых сэндвич-конфигураций):

${\frac {M}{C}}\left[\left(4{\frac {N}{C}}\right)+1\right]<{\frac {1}{2}}$

Для конфигурации сэндвича с открытым лицом (см. ниже) это соответствует значениям 0,5 или менее. Для сэндвича с массой тампера, равной массе взрывчатого заряда ( ), масса пластины-флайера 0,1 или менее массы заряда будет аномальной. ${\frac {M}{C}}$ ${\frac {N}{C}}\geq 1.0$

Эта ошибка возникает из-за конфигурации, превышающей одно из основных упрощающих предположений, используемых в уравнениях Герни, что в газообразных продуктах взрыва есть линейный градиент скорости. Для значений за пределами аномальной области это хорошее предположение. Хирш продемонстрировал, что когда общее распределение энергии между пластиной-летуном и газами превышает единицу, предположение нарушается, и в результате уравнения Герни становятся менее точными. ${\frac {M}{C}}$

Осложняющими факторами в аномальной области являются детальное поведение газов во взрывчатых продуктах, включая отношение теплоемкостей продуктов реакции , γ.

Современная взрывчатая промышленность использует методы вычислительного анализа, позволяющие избежать этой проблемы.

Уравнения

Цилиндрический заряд

В простейшем случае длинный полый цилиндр из металла полностью заполнен взрывчаткой. Стенки цилиндра ускоряются наружу, как описано: ^[1]

${\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {1}{2}}\right)^{-1/2}$

Эта конфигурация является приближением первого порядка для большинства военных взрывных устройств, включая артиллерийские снаряды , бомбы и большинство ракетных боеголовок . Они используют в основном цилиндрические взрывчатые заряды.

Сферический заряд

Сферический заряд, инициированный в его центре, будет ускорять окружающий его летающий снаряд, как описано: ^[1]

${\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {3}{5}}\right)^{-1/2}$

Эта модель аппроксимирует поведение боевых гранат и некоторых суббоеприпасов кассетных бомб .

Симметричный сэндвич

Плоский слой взрывчатого вещества с двумя одинаковыми тяжелыми плоскими летательными пластинами с каждой стороны ускорит пластины, как описано: ^[1]

${\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left(2{\frac {M}{C}}+{\frac {1}{3}}\right)^{-1/2}$

Симметричные сэндвичи используются в некоторых приложениях реактивной брони на тяжелобронированных транспортных средствах, таких как основные боевые танки . Встроенный летающий снаряд будет воздействовать на основную броню транспортного средства, нанося повреждения, если броня недостаточно толстая, поэтому их можно использовать только на более тяжелых бронированных транспортных средствах. Более легкие транспортные средства используют открытую сэндвич-реактивную броню (см. ниже). Однако метод работы симметричного сэндвича с двумя подвижными пластинами обеспечивает наилучшую защиту брони.

Асимметричный сэндвич

Плоский слой взрывчатого вещества с двумя плоскими летательными пластинами разной массы будет ускорять пластины, как описано: ^[1]^[7]^[8]

Позволять: $A={\frac {1+2{\frac {M}{C}}}{1+2{\frac {N}{C}}}}$

${\frac {V_{M}}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {1+A^{3}}{3(1+A)}}+A^{2}{\frac {N}{C}}+{\frac {M}{C}}\right)^{-1/2}$

Бесконечно утрамбованный сэндвич

Если плоский слой взрывчатого вещества поместить на практически бесконечно толстую опорную поверхность и накрыть сверху пластиной материала, то пластина будет ускоряться следующим образом: ^[1]

${\frac {V_{M}}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {1}{3}}\right)^{-1/2}$

Открытый сэндвич

Открытый сэндвич (без трамбовки) - плоский слой взрывчатых веществ массой С и одинарная пластина-пластина массой М

Один плоский лист взрывчатки с пластиной-листом на одной стороне, известный как «открытый сэндвич», описывается следующим образом: ^[1]

С:

$N=0$

затем:

$A=1+2\left({\frac {M}{C}}\right)$

что дает:

${\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left[{\frac {1+\left(1+2{\frac {M}{C}}\right)^{3}}{6\left(1+{\frac {M}{C}}\right)}}+{\frac {M}{C}}\right]^{-1/2}$

Открытые сэндвич-конфигурации используются при сварке взрывом и некоторых других операциях по обработке металлов давлением.

Это также конфигурация, которая обычно используется в реактивной броне на легкобронированных транспортных средствах, с открытой стороной вниз к основной броневой плите транспортного средства. Это минимизирует повреждение реактивной броней конструкции транспортного средства во время стрельбы.

Взрывающийся цилиндр

Равномерно инициированный цилиндрический заряд, взрывающийся с внутренней массой - цилиндрический заряд взрывчатого вещества массой C , внешний слой тампера массой N и внутренняя взрывающаяся цилиндрическая оболочка летучей среды массой M , с внутренним радиусом заряда взрывчатого вещества *R _i* и внешним радиусом заряда R _o

Полый цилиндр взрывчатого вещества, равномерно инициированный по всей его поверхности, с внешним тампоном и внутренней полой оболочкой, которая затем ускоряется внутрь (« взрывается »), а не наружу, описывается следующими уравнениями. ^[9]

В отличие от других форм уравнения Герни, формы имплозии (цилиндрические и сферические) должны учитывать форму контрольного объема детонирующей оболочки взрывчатых веществ и распределение импульса и энергии в газообразных продуктах детонации. Для цилиндрических имплозий задействованная геометрия упрощается, чтобы включить внутренний и внешний радиусы заряда взрывчатого вещества, R _i и R _o .

$\beta ={\frac {R_{o}}{R_{i}}}$

$a=1$

$A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {\left({\frac {M}{C}}+a\left({\frac {M}{C}}\right)\left(\beta -1\right)+{\frac {\beta +2}{3\left(\beta +1\right)}}\right)}{\left({\frac {N}{C}}+{\frac {2\beta +1}{3\left(\beta +1\right)}}\right)}}$

${\frac {V_{m}}{\sqrt {2E}}}=$ $\left[A\left\{{\frac {\left({\frac {M}{C}}+{\frac {\beta +3}{6\left(\beta +1\right)}}\right)}{A}}+A\left({\frac {N}{C}}+{\frac {3\beta +1}{6\left(\beta +1\right)}}\right)-1/3\right\}\right]^{-1/2}$

Хотя уравнения схлопывающегося цилиндра в основе своей аналогичны общему уравнению для асимметричных сэндвичей, задействованная геометрия (объем и площадь внутри полой оболочки взрывчатого вещества, а также расширяющаяся оболочка газообразных продуктов детонации, выталкивающихся внутрь и наружу) является более сложной, как показывают уравнения.

Константа была экспериментально и аналитически определена как равная 1,0. $a$

Взрывающийся сферический

Равномерно инициированный сферический заряд, взрывающийся с внутренней массой - сферическая оболочка взрывчатого вещества массой C , внешний слой тампера массой N и внутренняя сферическая взрывающаяся оболочка летучей мыши массой M.

Особый случай представляет собой полую сферу взрывчатых веществ, равномерно инициированную по всей ее поверхности, с внешним тампоном и внутренней полой оболочкой, которая затем ускоряется внутрь («взрывается»), а не наружу, описывается следующим образом: ^[9]

$\beta ={\frac {R_{o}}{R_{i}}}$

$a=1$

$A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {\left[{\frac {M}{C}}+\left(a{\frac {M}{C}}\right)\left(\beta ^{2}-1\right)+{\frac {\beta ^{2}+2\beta +3}{4\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right]}{\left({\frac {N}{C}}+{\frac {3\beta ^{2}+2\beta +1}{4\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)}}$

${\frac {V_{m}}{\sqrt {2E}}}=$ $\left[A\left\{{\frac {\left({\frac {M}{C}}+{\frac {\beta ^{2}+3\beta +6}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)}{A}}+A\left({\frac {N}{C}}+{\frac {6\beta ^{2}+3\beta +1}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)-{\frac {3\beta ^{2}+4\beta +3}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right\}\right]^{-1/2}$

Сферическое уравнение Герни нашло применение в ранних разработках ядерного оружия .

Приложения

Ядерное оружие

Смотрите также

Ссылки

^ abcdefghijk Купер, Пол В. (1996). «Ускорение, образование и полет осколков». Explosives Engineering . Wiley-VCH. С. 385–394. ISBN 0-471-18636-8.
^ Gurney, RW (1943). Начальные скорости осколков бомб, снарядов и гранат, BRL-405 (PDF) (Отчет). Баллистическая исследовательская лаборатория, Абердин, Мэриленд. Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2017 г.
^ Уолтерс, Уильям П. (1986). Взрывное нагружение металлов и смежные темы, BRL-SP-56 (PDF) . Баллистическая исследовательская лаборатория, Абердин, Мэриленд. стр. VIII-1. Архивировано (PDF) из оригинала 5 марта 2017 г.
^ Мейерс, Марк А. (2007). Динамическое поведение материалов . John Wiley & Sons, Inc. стр. 240. doi :10.1002/9780470172278. ISBN 9780471582625.
^ Dobratz, B. (1985). LLNL Explosives Handbook: Properties of Chemical Explosives and Explosive Simulants (PDF) (Report) (UCRL-52997, изменение 2-е изд.). Правительство США, Национальная лаборатория Лоуренса-Ливермора. стр. 8-27 по 8-29. Архивировано (PDF) из оригинала 22-08-2021 . Получено 25-08-2019 .
^ Хирш, Э. (1995). «О несостоятельности формулы асимметричного сэндвича Герни при ее использовании для моделирования движения тонкой пластины». Ракеты, взрывчатые вещества, пиротехника . 20 (4): 178–181. doi :10.1002/prep.19950200404.
^ Джонс, GE; Кеннеди, JE; Бертольф, LD (1980). «Баллистика расчетов RW Gurney». Am. J. Phys . 48 (4): 264–269. Bibcode : 1980AmJPh..48..264J. doi : 10.1119/1.12135.
^ Кеннеди, Дж. Э. (март 1979 г.). Выход взрывчатых веществ для забивки металла . Симпозиум по поведению и использованию взрывчатых веществ (12-й). ASME/UNM.
^ ab Hirsch, E. (1986). «Упрощенные и расширенные формулы Герни для взрывающихся цилиндров и сфер». Ракеты, взрывчатые вещества, пиротехника . 11 (1): 6–9. doi :10.1002/prep.19860110103.