энергия Ферми

Самая высокая энергия частиц в ферми-газе при абсолютном нуле

Энергия Ферми — это понятие в квантовой механике , обычно относящееся к разнице энергий между высшим и низшим занятыми одночастичными состояниями в квантовой системе невзаимодействующих фермионов при абсолютной нулевой температуре . В ферми-газе считается, что самое низкое занятое состояние имеет нулевую кинетическую энергию, тогда как в металле самое низкое занятое состояние обычно считается дном зоны проводимости .

Термин «энергия Ферми» часто используется для обозначения другого, но тесно связанного понятия — уровня Ферми (также называемого электрохимическим потенциалом ). ^{[примечание 1]} Есть несколько ключевых различий между уровнем Ферми и энергией Ферми, по крайней мере, в том виде, в каком они используются в этой статье:

• Энергия Ферми определяется только при абсолютном нуле, а уровень Ферми определяется при любой температуре.
• Энергия Ферми представляет собой разность энергий (обычно соответствующую кинетической энергии ), тогда как уровень Ферми представляет собой уровень полной энергии, включая кинетическую энергию и потенциальную энергию.
• Энергию Ферми можно определить только для невзаимодействующих фермионов (где потенциальная энергия или край зоны является статической, четко определенной величиной), тогда как уровень Ферми остается четко определенным даже в сложных взаимодействующих системах, находящихся в термодинамическом равновесии.

Поскольку уровень Ферми в металле при абсолютном нуле представляет собой энергию самого высокого занятого одночастичного состояния, то энергия Ферми в металле представляет собой разность энергий между уровнем Ферми и самым низким занятым одночастичным состоянием при нулевой температуре.

Контекст

В квантовой механике группа частиц, известных как фермионы (например, электроны , протоны и нейтроны ), подчиняются принципу запрета Паули . Это означает, что два фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии . Поскольку идеализированный невзаимодействующий ферми-газ можно анализировать с точки зрения одночастичных стационарных состояний , мы можем сказать, что два фермиона не могут занимать одно и то же стационарное состояние. Эти стационарные состояния обычно различаются по энергии. Чтобы найти основное состояние всей системы, мы начинаем с пустой системы и добавляем частицы по одной, последовательно заполняя незанятые стационарные состояния с наименьшей энергией. Когда все частицы помещены внутрь, энергия Ферми представляет собой кинетическую энергию самого высокого занятого состояния.

Как следствие, даже если мы извлекли всю возможную энергию из ферми-газа, охладив его до температуры, близкой к абсолютному нулю , фермионы все равно движутся с высокой скоростью. Самые быстрые из них движутся со скоростью, соответствующей кинетической энергии, равной энергии Ферми. Эта скорость известна как скорость Ферми . Только когда температура превышает соответствующую температуру Ферми , частицы начинают двигаться значительно быстрее, чем при абсолютном нуле.

Энергия Ферми — важное понятие в физике твердого тела металлов и сверхпроводников . Это также очень важная величина в физике квантовых жидкостей, таких как низкотемпературный гелий (как нормальный, так и сверхтекучий ³ He), и она весьма важна для ядерной физики и для понимания устойчивости звезд белых карликов к гравитационному коллапсу .

Формула и типичные значения

Энергия Ферми для трехмерного нерелятивистского невзаимодействующего ансамбля одинаковых фермионов со спином 1/2 определяется выражением [ 1 ^]

$${\displaystyle E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3},}$$

Nm _{0 —} масса покояV —постоянная Планка ${\displaystyle \hbar }$

Металлы

В рамках модели свободных электронов можно считать, что электроны в металле образуют ферми-газ. Числовая плотность электронов проводимости в металлах колеблется примерно от 10 ²⁸ до 10 ²⁹ электронов/м ³ , что также является типичной плотностью атомов в обычном твердом веществе. Эта числовая плотность дает энергию Ферми порядка от 2 до 10  электронвольт . ^[2] ${\displaystyle N/V}$

Белые карлики

Звезды, известные как белые карлики, имеют массу, сравнимую с Солнцем , но имеют примерно сотую часть его радиуса. Высокие плотности означают, что электроны больше не связаны с отдельными ядрами и вместо этого образуют вырожденный электронный газ. Их энергия Ферми составляет около 0,3 МэВ.

Ядро

Другой типичный пример — нуклоны в ядре атома. Радиус ядра допускает отклонения, поэтому типичное значение энергии Ферми обычно составляет 38  МэВ .

Сопутствующие количества

Используя приведенное выше определение энергии Ферми, могут быть полезны различные связанные величины.

Температура Ферми определяется как

$${\displaystyle T_{\text{F}}={\frac {E_{\text{F}}}{k_{\text{B}}}},}$$

постоянная Больцманастатистикой Ферми^[3] ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle E_{\text{F}}}$

Другими величинами, определяемыми в этом контексте, являются импульс Ферми.

$${\displaystyle p_{\text{F}}={\sqrt {2m_{0}E_{\text{F}}}}}$$

скорость Ферми

$${\displaystyle v_{\text{F}}={\frac {p_{\text{F}}}{m_{0}}}.}$$

Эти величины представляют собой соответственно импульс и групповую скорость фермиона на поверхности Ферми .

Импульс Ферми также можно описать как

$${\displaystyle p_{\text{F}}=\hbar k_{\text{F}},}$$

волновым вектором Ферми^[4] ${\displaystyle k_{\text{F}}}$

Эти величины не могут быть четко определены в случаях, когда поверхность Ферми несферическая.

Смотрите также

• Статистика Ферми – Дирака : распределение электронов по стационарным состояниям для невзаимодействующих фермионов при ненулевой температуре.
• уровень Ферми
• Квази-уровень Ферми

Примечания

1. Использование термина «энергия Ферми» как синонима уровня Ферми (он же электрохимический потенциал ) широко распространено в физике полупроводников. Например: «Электроника (основы и приложения)» Д. Чаттопадхайя, «Физика полупроводников и приложения» Балкански и Уоллиса.

Рекомендации

1. Киттель, Чарльз (1986). «Глава 6: Газ свободных электронов». Введение в физику твердого тела . Уайли.
2. Нейв, Род. «Энергии Ферми, температуры Ферми и скорости Ферми». Гиперфизика . Проверено 21 марта 2018 г.
3. Торре, Чарльз (21 апреля 2015 г.). «PHYS 3700: Введение в квантовую статистическую термодинамику» (PDF) . Университет штата Юта . Проверено 21 марта 2018 г.
4. Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-083993-1.

дальнейшее чтение

• Кремер, Герберт; Киттель, Чарльз (1980). Теплофизика (2-е изд.) . Компания WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1088-2.