Групповой гомоморфизм

В математике для двух групп ( G ,∗) и ( H , ·) гомоморфизм групп из ( G ,∗) в ( H , ·) — это функция h : G → H такая, что для всех u и v из G выполняется следующее:

h(u*v)=h(u)\cdot h(v)

где групповая операция в левой части уравнения — это операция G , а в правой части — операция H.

Из этого свойства можно вывести, что h отображает единичный элемент e _G из G в единичный элемент e _H из H ,

h(e_{G})=e_{H}

и он также отображает обратные величины в обратные величины в том смысле, что

h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,

Следовательно, можно сказать, что h «совместимо со структурой группы».

В областях математики, где рассматриваются группы, наделенные дополнительной структурой, гомоморфизм иногда означает отображение, которое уважает не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто должен быть непрерывным.

Характеристики

Пусть — единичный элемент группы ( H , ·) и , тогда $e_{H}$ $u\in G$

h(u)\cdot e_{H}=h(u)=h(u*e_{G})=h(u)\cdot h(e_{G})

Теперь, умножая на обратное (или применяя правило сокращения), получаем $h(u)$

e_{H}=h(e_{G})

Сходным образом,

e_{H}=h(e_{G})=h(u*u^{-1})=h(u)\cdot h(u^{-1})

Следовательно, для единственности обратного: . $h(u^{-1})=h(u)^{-1}$

Типы

Мономорфизм: Групповой гомоморфизм, который является инъективным (или взаимно-однозначным), т. е. сохраняет различимость.
Эпиморфизм: Групповой гомоморфизм, который является сюръективным (или на), т. е. достигает каждой точки в области значений.
Изоморфизм: Групповой гомоморфизм, который является биективным ; т. е. инъективным и сюръективным. Его обратный также является групповым гомоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными ; они отличаются только обозначениями своих элементов (кроме единичного элемента) и идентичны для всех практических целей. Т. е. мы переобозначаем все элементы, кроме единичного.
Эндоморфизм: Гомоморфизм групп, h : G → G ; область и область кодоменов совпадают. Также называется эндоморфизмом G .
Автоморфизм: Групповой эндоморфизм, который является биективным, и, следовательно, изоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с функциональной композицией в качестве операции само по себе образует группу, группу автоморфизмов G . Она обозначается как Aut( G ). Например, группа автоморфизмов ( Z , +) содержит только два элемента, тождественное преобразование и умножение на −1; она изоморфна ( Z / 2 Z , +).

Образ и ядро

Мы определяем ядро h как множество элементов в G, которые отображаются в единицу в H

\operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.

и изображение h должно быть

\operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.

Ядро и образ гомоморфизма можно интерпретировать как меру того, насколько он близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h ( G ) изоморфен фактор-группе G /ker h .

Ядро h является нормальной подгруппой G. Предположим и покажем для произвольного : $u\in \operatorname {ker} (h)$ $g^{-1}\circ u\circ g\in \operatorname {ker} (h)$ $u,g$

{\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H},\end{aligned}}

Образ h является подгруппой H.

Гомоморфизм h является групповым мономорфизмом; т. е. h инъективен (один к одному) тогда и только тогда, когда ker( h ) = { e _G }. Инъекция напрямую дает, что в ядре есть уникальный элемент, и наоборот, уникальный элемент в ядре дает инъекцию:

{\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}

Примеры

Рассмотрим циклическую группу Z ₃ = ( Z /3 Z , +) = ({0, 1, 2}, +) и группу целых чисел ( Z , +). Отображение h : Z → Z /3 Z с h ( u ) = u mod 3 является гомоморфизмом групп. Оно сюръективно , и его ядро состоит из всех целых чисел, которые делятся на 3.

Набор
$G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}$
образует группу при умножении матриц. Для любого комплексного числа u функция f _u : G → C ^* определяется как
${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}$
является групповым гомоморфизмом.
Рассмотрим мультипликативную группу положительных действительных чисел ( R ⁺ , ⋅) для любого комплексного числа u . Тогда функция f _u : R ⁺ → C определена как
$f_{u}(a)=a^{u}$
является групповым гомоморфизмом.

Экспоненциальное отображение дает групповой гомоморфизм из группы действительных чисел R с добавлением к группе ненулевых действительных чисел R * с умножением. Ядро есть {0}, а образ состоит из положительных действительных чисел.
Экспоненциальное отображение также дает групповой гомоморфизм из группы комплексных чисел C с добавлением к группе ненулевых комплексных чисел C * с умножением. Это отображение сюръективно и имеет ядро {2π ki : k ∈ Z }, как видно из формулы Эйлера . Поля, подобные R и C, которые имеют гомоморфизмы из своей аддитивной группы в свою мультипликативную группу, называются экспоненциальными полями .
Функция , определяемая как , является гомоморфизмом. $\Phi :(\mathbb {N} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} ,+)$ $\Phi (x)={\sqrt[{}]{2}}x$
Рассмотрим две группы и , представленные соответственно и , где — положительные действительные числа. Тогда функция, определяемая функцией логарифма, является гомоморфизмом. $(\mathbb {R} ^{+},*)$ $(\mathbb {R} ,+)$ $G$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}$ $f:G\rightarrow H$

Категория групп

Если h : G → H и k : H → K являются гомоморфизмами групп, то также является k ∘ h : G → K. Это показывает, что класс всех групп вместе с гомоморфизмами групп как морфизмами образует категорию (в частности, категорию групп ).

Гомоморфизмы абелевых групп

Если G и H — абелевы (т.е. коммутативные) группы, то множество Hom( G , H ) всех групповых гомоморфизмов из G в H само является абелевой группой: сумма h + k двух гомоморфизмов определяется как

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) для всех u из G .

Коммутативность H необходима для доказательства того, что h + k снова является групповым гомоморфизмом.

Добавление гомоморфизмов совместимо с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если f принадлежит Hom( K , G ) , h , k являются элементами Hom( G , H ) , а g принадлежит Hom( H , L ) , то

( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f ) и g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .

Так как композиция ассоциативна , это показывает, что множество End( G ) всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо , кольцо эндоморфизмов G . Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы, состоящее из прямой суммы m копий Z / n Z , изоморфно кольцу матриц размером m на m с элементами в Z / n Z . Вышеуказанная совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с групповыми гомоморфизмами образует предаддитивную категорию ; существование прямых сумм и хорошо ведущих себя ядер делает эту категорию прототипическим примером абелевой категории .

Смотрите также

Ссылки

Даммит, Д.С.; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. стр. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

Внешние ссылки

Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Групповой гомоморфизм». MathWorld .