Эргодический процесс

Концепция в статистике

В физике , статистике , эконометрике и обработке сигналов говорят, что случайный процесс находится в эргодическом режиме , если среднее значение ансамбля наблюдаемой равно среднему времени. ^[1] В этом режиме любой набор случайных выборок из процесса должен представлять собой средние статистические свойства всего режима. И наоборот, режим процесса, который не является эргодическим, называется неэргодическим режимом. ^[2] Режим подразумевает временное окно процесса, в котором применяется мера эргодичности.

Конкретные определения

Можно обсуждать эргодичность различных статистик случайного процесса. Например, стационарный процесс в широком смысле имеет постоянное среднее значение. ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle \mu _{X}=E[X(t)],}$

и автоковариация

${\displaystyle r_{X}(\tau )=E[(X(t)-\mu _{X})(X(t+\tau )-\mu _{X})],}$

это зависит только от задержки , а не от времени . Свойства и являются средними по ансамблю (рассчитанными по всем возможным выборочным функциям ), а не средними по времени . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle r_{X}(\tau )}$ ${\displaystyle X}$

Процесс называется среднеэргодическим ^[3] или среднеквадратичным эргодическим в первый момент ^[4] , если средняя по времени оценка ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}X(t)\,dt}$

сходится в квадрате среднего значения к среднему по ансамблю как . ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

Аналогично, процесс называется автоковариационно-эргодическим или d-моментным ^[4] , если средняя по времени оценка

${\displaystyle {\hat {r}}_{X}(\tau )={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}[X(t+\tau )-\mu _{X}][X(t)-\mu _{X}]\,dt}$

сходится в среднем квадрате к среднему значению по ансамблю , как . Процесс, эргодический в среднем и автоковариантный, иногда называют эргодическим в широком смысле . ${\displaystyle r_{X}(\tau )}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

Случайные процессы с дискретным временем

Понятие эргодичности также применимо к случайным процессам с дискретным временем для целых чисел . ${\displaystyle X[n]}$ ${\displaystyle n}$

Случайный процесс с дискретным временем является эргодическим в среднем, если ${\displaystyle X[n]}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}X[n]}$

сходится в среднем квадрате к среднему значению по ансамблю , как . ${\displaystyle E[X]}$ ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Примеры

Эргодичность означает, что среднее значение по ансамблю равно среднему по времени. Ниже приведены примеры, иллюстрирующие этот принцип.

Колл-центр

Каждый оператор колл-центра попеременно разговаривает и слушает телефон, а также делает перерывы между звонками. Каждый перерыв и каждый звонок имеют разную продолжительность, как и продолжительность каждого «всплеска» речи и слушания, а также скорость речи в любой данный момент, каждый из которых можно смоделировать как случайный процесс.

• Возьмите N операторов колл-центра ( N должно быть очень большим целым числом) и постройте график количества слов, сказанных в минуту каждым оператором за длительный период (несколько смен). Для каждого оператора у вас будет ряд точек, которые можно соединить линиями, чтобы создать «сигнал».
• Рассчитайте среднее значение этих точек на форме волны; это дает вам среднее время .
• Существует N сигналов и N операторов. Эти N сигналов известны как ансамбль .
• Теперь возьмем конкретный момент времени для всех этих сигналов и найдем среднее значение количества слов, произнесенных в минуту. Это дает вам среднее значение ансамбля на данный момент.
• Если среднее по ансамблю всегда равно среднему по времени, то система эргодична.

Электроника

Каждый резистор имеет связанный с ним тепловой шум , который зависит от температуры. Возьмите N резисторов ( N должно быть очень большим) и постройте график напряжения на этих резисторах за длительный период. Для каждого резистора у вас будет форма волны. Рассчитайте среднее значение этого сигнала; это дает вам среднее время. Существует N сигналов, поскольку имеется N резисторов. Эти N графиков известны как ансамбль. Теперь возьмем конкретный момент времени на всех этих графиках и найдем среднее значение напряжения. Это дает вам среднее значение ансамбля для каждого участка. Если среднее по ансамблю и среднее по времени совпадают, то оно эргодично.

Примеры неэргодических случайных процессов

• Несмещенное случайное блуждание неэргодично. Его математическое ожидание всегда равно нулю, тогда как его среднее значение по времени представляет собой случайную величину с расходящейся дисперсией.

• Предположим, что у нас есть две монеты: одна честная, а другая имеет два орла. Мы выбираем (случайным образом) сначала одну из монет , а затем выполняем последовательность независимых подбрасываний выбранной нами монеты. Пусть X [ n ] обозначает результат n -го броска, где 1 для орла и 0 для решки. Тогда среднее значение ансамбля составляет 1 ⁄ 2   ( 1 ⁄ 2 + 1) = 3 ⁄ 4 ; тем не менее, долгосрочное среднее значение составляет 1 ⁄ 2 для честной монеты и 1 для двуглавой монеты. Таким образом, долгосрочное среднее по времени равно либо 1/2, либо 1. Следовательно, этот случайный процесс не является эргодическим в среднем.

Смотрите также

• Эргодическая гипотеза
• Эргодичность
• Эргодическая теория — раздел математики, занимающийся более общей формулировкой эргодичности.
• Парадокс Лошмидта
• Теорема Пуанкаре о возврате

Примечания

1. Черствый, Андрей; Чечкин, Алексей В; Мецлер, Ральф (2013), «Аномальная диффузия и нарушение эргодичности в гетерогенных диффузионных процессах», New J. Phys. , 15 : 083039, arXiv : 1303.5533 , doi : 10.1088/1367-2630/15/8/083039
2. Первоначально принадлежит Л. Больцману. См. часть 2 книги «Vorlesungen über Gastheorie». Лейпциг: Дж. А. Барт. 1898. OCLC  01712811.(«Эргоден» на стр. 89 в переиздании 1923 года.) Он использовался для доказательства равнораспределения энергии в кинетической теории газов.
3. Папулис, с. 428
4. Порат, с. 14

Рекомендации

• Порат, Б. (1994). Цифровая обработка случайных сигналов: теория и методы . Прентис Холл. п. 14. ISBN 0-13-063751-3.
• Папулис, Афанасиос (1991). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 427–442. ISBN 0-07-048477-5.