Эргодический процесс

Понятие в статистике

В физике , статистике , эконометрике и обработке сигналов считается , что стохастический процесс находится в эргодическом режиме, если среднее по ансамблю наблюдаемой величины равно среднему по времени. ^[1] В этом режиме любая совокупность случайных выборок из процесса должна представлять средние статистические свойства всего режима. И наоборот, режим процесса, который не является эргодическим, называется неэргодическим режимом. ^[2] Режим подразумевает временное окно процесса, в котором применяется мера эргодичности.

Конкретные определения

Можно обсуждать эргодичность различных статистик случайного процесса. Например, стационарный в широком смысле процесс имеет постоянное среднее ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle \mu _{X}=E[X(t)],}$

и автоковариация

${\displaystyle r_{X}(\tau )=E[(X(t)-\mu _{X})(X(t+\tau )-\mu _{X})],}$

который зависит только от лага , а не от времени . Свойства и являются средними по ансамблю (вычисленными по всем возможным выборочным функциям ), а не средними по времени . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle r_{X}(\tau )}$ ${\displaystyle X}$

Процесс называется среднеэргодическим ^[3] или среднеквадратически эргодическим в первый момент ^[4], если оценка среднего по времени ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}X(t)\,dt}$

сходится в квадратичном среднем к среднему по ансамблю как . ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

Аналогично, процесс называется автоковариационно-эргодическим или d-моментным ^[4], если оценка среднего по времени

${\displaystyle {\hat {r}}_{X}(\tau )={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}[X(t+\tau )-\mu _{X}][X(t)-\mu _{X}]\,dt}$

сходится в квадратичном среднем к ансамблевому среднему , как . Процесс, эргодический в среднем и автоковариации, иногда называют эргодическим в широком смысле . ${\displaystyle r_{X}(\tau )}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

Случайные процессы с дискретным временем

Понятие эргодичности применимо также к дискретным по времени случайным процессам для целых чисел . ${\displaystyle X[n]}$ ${\displaystyle n}$

Дискретный случайный процесс является эргодическим в среднем, если ${\displaystyle X[n]}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}X[n]}$

сходится в квадратичном среднем к среднему по ансамблю , как . ${\displaystyle E[X]}$ ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Примеры

Эргодичность означает, что среднее по ансамблю равно среднему по времени. Ниже приведены примеры, иллюстрирующие этот принцип.

Колл-центр

Каждый оператор в колл-центре проводит время, попеременно говоря и слушая по телефону, а также делая перерывы между звонками. Каждый перерыв и каждый звонок имеют разную продолжительность, как и продолжительность каждого «взрыва» говорения и слушания, и, конечно, также разную скорость речи в любой момент, каждый из которых можно смоделировать как случайный процесс.

• Возьмите N операторов колл-центра ( N должно быть очень большим целым числом) и постройте график количества слов, произнесенных в минуту каждым оператором за длительный период (несколько смен). Для каждого оператора у вас будет ряд точек, которые можно соединить линиями, чтобы создать «форму волны».
• Рассчитайте среднее значение этих точек на форме волны; это даст вам среднее по времени .
• Существует N форм волн и N операторов. Эти N форм волн известны как ансамбль .
• Теперь возьмите конкретный момент времени во всех этих формах волн и найдите среднее значение количества слов, произнесенных в минуту. Это даст вам среднее по ансамблю для этого момента.
• Если среднее по ансамблю всегда равно среднему по времени, то система эргодическая.

Электроника

Каждый резистор имеет связанный тепловой шум , который зависит от температуры. Возьмите N резисторов ( N должно быть очень большим) и постройте график напряжения на этих резисторах в течение длительного периода. Для каждого резистора у вас будет форма волны. Рассчитайте среднее значение этой формы волны; это даст вам среднее по времени. Существует N форм волны, поскольку существует N резисторов. Эти N графиков известны как ансамбль. Теперь возьмите конкретный момент времени на всех этих графиках и найдите среднее значение напряжения. Это даст вам среднее по ансамблю для каждого графика. Если среднее по ансамблю и среднее по времени одинаковы, то он эргодический.

Примеры неэргодических случайных процессов

• Несмещенное случайное блуждание неэргодично. Его математическое ожидание всегда равно нулю, тогда как его среднее по времени является случайной величиной с расходящейся дисперсией.

• Предположим, что у нас есть две монеты: одна монета честная, а другая с двумя орлами. Сначала мы выбираем (случайным образом) одну из монет , а затем выполняем последовательность независимых подбрасываний нашей выбранной монеты. Пусть X [ n ] обозначает результат n - го подбрасывания, с 1 для орла и 0 для решки. Тогда среднее по ансамблю равно 1 ⁄ 2   ( 1 ⁄ 2 + 1) = 3 ⁄ 4 ; однако долгосрочное среднее равно 1 ⁄ 2 для честной монеты и 1 для монеты с двумя орлами. Таким образом, долгосрочное среднее по времени равно либо 1/2, либо 1. Следовательно, этот случайный процесс не является эргодическим по среднему.

Смотрите также

• Эргодическая гипотеза
• Эргодичность
• Эргодическая теория — раздел математики, занимающийся более общей формулировкой эргодичности.
• Парадокс Лошмидта
• Теорема о возвращении Пуанкаре

Примечания

1. Черствый, Андрей; Чечкин, Алексей В; Мецлер, Ральф (2013), "Аномальная диффузия и нарушение эргодичности в гетерогенных диффузионных процессах", New J. Phys. , 15 (8): 083039, arXiv : 1303.5533 , Bibcode :2013NJPh...15h3039C, doi : 10.1088/1367-2630/15/8/083039
2. Первоначально принадлежит Л. Больцману. См. часть 2 книги «Vorlesungen über Gastheorie». Лейпциг: Дж. А. Барт. 1898. OCLC  01712811.(«Эргоден» на стр. 89 в переиздании 1923 г.) Он использовался для доказательства равнораспределения энергии в кинетической теории газов.
3. Папулис, стр. 428.
4. Porat, стр. 14

Ссылки

• Порат, Б. (1994). Цифровая обработка случайных сигналов: теория и методы . Prentice Hall. стр. 14. ISBN 0-13-063751-3.
• Папулис, Афанасиос (1991). Вероятность, случайные величины и стохастические процессы . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 427–442. ISBN 0-07-048477-5.