В математике , и в частности в калибровочной теории и комплексной геометрии , эрмитова связность Янга–Миллса (или связность Эрмита–Эйнштейна ) — это связность Черна, связанная со скалярным произведением на голоморфном векторном расслоении над кэлеровым многообразием , которое удовлетворяет аналогу уравнений Эйнштейна: а именно, сокращение кривизны 2-формы связности с кэлеровой формой должно быть константой, умноженной на тождественное преобразование. Эрмитовы связности Янга–Миллса являются частными примерами связностей Янга–Миллса и часто называются инстантонами .
Соответствие Кобаяши –Хитчина, доказанное Дональдсоном , Уленбеком и Яу, утверждает, что голоморфное векторное расслоение над компактным кэлеровым многообразием допускает эрмитову связность Янга–Миллса тогда и только тогда, когда оно является наклонно-полистабильным .
Связи Эрмита–Эйнштейна возникают как решения эрмитовых уравнений Янга–Миллса. Это система уравнений в частных производных на векторном расслоении над кэлеровым многообразием, из которых следуют уравнения Янга–Миллса . Пусть — эрмитова связность на эрмитовом векторном расслоении над кэлеровым многообразием размерности . Тогда эрмитовы уравнения Янга–Миллса имеют вид:
для некоторой константы . Здесь имеем:
Обратите внимание, что поскольку предполагается, что это эрмитова связность, кривизна является косоэрмитовой , и поэтому подразумевает . Когда лежащее в основе кэлерово многообразие компактно, можно вычислить с помощью теории Черна–Вейля . А именно, мы имеем
Так как и тождественный эндоморфизм имеет след, заданный рангом , то получаем
где - наклон векторного расслоения , заданный формулой
а объем берется относительно формы объема .
Из-за сходства второго условия в эрмитовых уравнениях Янга–Миллса с уравнениями для метрики Эйнштейна решения эрмитовых уравнений Янга–Миллса часто называют связями Эрмита–Эйнштейна , а также эрмитовыми связями Янга–Миллса .
Связность Леви-Чивиты метрики Кэлера–Эйнштейна является связностью Эрмита–Эйнштейна относительно метрики Кэлера–Эйнштейна. (Однако эти примеры опасно вводят в заблуждение, поскольку существуют компактные многообразия Эйнштейна , такие как метрика Пейджа на , которые являются эрмитовыми, но для которых связность Леви-Чивиты не является связностью Эрмита–Эйнштейна.)
Когда эрмитово векторное расслоение имеет голоморфную структуру , существует естественный выбор эрмитовой связности, связности Черна . Для связности Черна условие выполняется автоматически. Соответствие Хитчина–Кобаяши утверждает, что голоморфное векторное расслоение допускает эрмитову метрику, такую что связанная связность Черна удовлетворяет эрмитовым уравнениям Янга–Миллса тогда и только тогда, когда векторное расслоение является полистабильным . С этой точки зрения эрмитовы уравнения Янга–Миллса можно рассматривать как систему уравнений для метрики, а не для связанной связности Черна, и такие метрики, решающие уравнения, называются метриками Эрмита–Эйнштейна .
Условие Эрмита–Эйнштейна для связностей Черна было впервые введено Кобаяши (1980, раздел 6). Эти уравнения подразумевают уравнения Янга–Миллса в любой размерности, а в действительной размерности четыре тесно связаны с самодуальными уравнениями Янга–Миллса, которые определяют инстантоны . В частности, когда комплексная размерность кэлерова многообразия равна , происходит расщепление форм на самодуальные и антисамодуальные формы. Комплексная структура взаимодействует с этим следующим образом:
Когда степень векторного расслоения обращается в нуль, то эрмитовы уравнения Янга–Миллса становятся . Согласно представлению выше, это как раз то условие, что . То есть, является инстантоном ASD . Обратите внимание, что когда степень не обращается в нуль, решения эрмитовых уравнений Янга–Миллса не могут быть антисамодуальными, и на самом деле в этом случае нет решений уравнений ASD. [1]
