Интерферометр Фабри – Перо

Оптическое устройство с параллельными зеркалами

Интерференционные полосы с тонкой структурой из эталона Фабри – Перо. Источником является охлаждаемая дейтериевая лампа .

В оптике интерферометр Фабри-Перо ( ИФП ) или эталон представляет собой оптический резонатор , состоящий из двух параллельных отражающих поверхностей (например, тонких зеркал ). Оптические волны могут проходить через оптический резонатор только тогда, когда они находятся с ним в резонансе . Он назван в честь Чарльза Фабри и Альфреда Перо , которые разработали этот прибор в 1899 году. ^{[1] [2] [3]} Эталон происходит от французского étalon , что означает «измерительный прибор» или «стандарт». ^[4]

Эталоны широко используются в телекоммуникациях , лазерах и спектроскопии для контроля и измерения длин волн света. Последние достижения в технологии изготовления позволяют создавать очень точные перестраиваемые интерферометры Фабри – Перо. Технически устройство представляет собой интерферометр , когда расстояние между двумя поверхностями (а вместе с ним и длину резонанса) можно изменить, и эталон, когда расстояние фиксировано (однако эти два термина часто используются как синонимы).

Основное описание

Интерферометр Фабри – Перо, использующий пару частично отражающих, слегка заклиненных оптических плоскостей. На этой иллюстрации угол клина сильно преувеличен; на самом деле необходима лишь доля градуса, чтобы избежать появления призрачных полос. Изображения с низкой четкостью по сравнению с изображениями с высокой четкостью соответствуют отражательной способности зеркала 4% (голое стекло) и 95%.

Сердцем интерферометра Фабри-Перо является пара частично отражающих стеклянных оптических плоскостей , расположенных на расстоянии от микрометра до сантиметра друг от друга, причем отражающие поверхности обращены друг к другу. (В качестве альтернативы в эталоне Фабри – Перо используется одна пластина с двумя параллельными отражающими поверхностями.) Плоские поверхности в интерферометре часто имеют форму клина, чтобы предотвратить образование интерференционных полос на задних поверхностях; задние поверхности часто также имеют антибликовое покрытие .

В типичной системе освещение обеспечивается диффузным источником, установленным в фокальной плоскости коллимирующей линзы . Фокусирующая линза после пары плоских граней создавала бы перевернутое изображение источника, если бы плоских граней не было; весь свет, излучаемый из точки источника, фокусируется в одной точке плоскости изображения системы. На прилагаемой иллюстрации прослеживается только один луч, испускаемый из точки А источника. Когда луч проходит через парные плоскости, он неоднократно отражается, образуя несколько прошедших лучей, которые собираются фокусирующей линзой и доводятся до точки А' на экране. Полная интерференционная картина имеет вид набора концентрических колец. Резкость колец зависит от отражательной способности лезвий. Если отражательная способность высока, что приводит к высокой добротности , монохроматический свет создает набор узких ярких колец на темном фоне. Говорят, что интерферометр Фабри-Перо с высокой добротностью обладает высокой точностью .

Приложения

Коммерческое устройство Фабри – Перо.

Телекоммуникации

Телекоммуникационные сети, использующие мультиплексирование с разделением по длине волны, имеют мультиплексоры ввода-вывода с наборами миниатюрных настроенных эталонов из плавленого кварца или алмаза . Это небольшие переливающиеся кубики со стороной около 2 мм, смонтированные в небольших высокоточных стойках. Материалы выбираются так, чтобы поддерживать стабильные расстояния между зеркалами и сохранять стабильные частоты даже при изменении температуры. Предпочтителен алмаз, поскольку он обладает большей теплопроводностью и при этом имеет низкий коэффициент расширения. В 2005 году некоторые компании, производящие телекоммуникационное оборудование, начали использовать твердые эталоны, которые сами по себе являются оптическими волокнами. Это устраняет большинство проблем с монтажом, выравниванием и охлаждением.

Оптические инструменты

Дихроичные фильтры изготавливаются путем нанесения серии эталонных слоев на оптическую поверхность методом осаждения из паровой фазы . Эти оптические фильтры обычно имеют более точные полосы отражения и пропускания, чем поглощающие фильтры. При правильной конструкции они работают холоднее, чем поглощающие фильтры, поскольку отражают нежелательные длины волн, а не поглощают их. Дихроичные фильтры широко используются в оптическом оборудовании, таком как источники света, камеры, астрономическое оборудование и лазерные системы.

Оптические волномеры и некоторые анализаторы оптического спектра используют интерферометры Фабри – Перо с различными свободными спектральными диапазонами для определения длины волны света с большой точностью.

Лазерные резонаторы часто называют резонаторами Фабри-Перо, хотя для многих типов лазеров отражательная способность одного зеркала близка к 100%, что делает его более похожим на интерферометр Жира-Турнуа . В полупроводниковых диодных лазерах иногда используется настоящая геометрия Фабри – Перо из-за сложности покрытия торцевых граней чипа. В квантовых каскадных лазерах часто используются резонаторы Фабри – Перо для поддержания генерации без необходимости каких-либо фасетных покрытий из-за высокого усиления активной области. ^[5]

Эталоны часто размещают внутри лазерного резонатора при создании одномодовых лазеров. Без эталона лазер обычно будет излучать свет в диапазоне длин волн, соответствующем ряду мод резонатора , которые аналогичны модам Фабри – Перо. Введение эталона в резонатор лазера с правильно подобранной тонкостью и свободным спектральным диапазоном позволяет подавить все моды резонатора, кроме одной, тем самым изменив работу лазера с многомодового на одномодовый.

Стабильные интерферометры Фабри-Перо часто используются для стабилизации частоты света, излучаемого лазером (которая часто колеблется из-за механических вибраций или изменений температуры) путем привязки ее к моде резонатора. Существует множество методов создания сигнала ошибки, например широко используемый метод Паунда-Древера-Холла .

Спектроскопия

Эталоны Фабри-Перо можно использовать для увеличения длины взаимодействия в лазерной абсорбционной спектрометрии , особенно в методах резонатора .

Эталон Фабри-Перо можно использовать для создания спектрометра , способного наблюдать эффект Зеемана , когда спектральные линии расположены слишком близко друг к другу, чтобы их можно было различить с помощью обычного спектрометра.

Астрономия

В астрономии эталон используется для выбора одного атомного перехода для визуализации. Наиболее распространенной является линия Солнца H -альфа . Линию Ca-K от Солнца также часто изображают с помощью эталонов.

Датчик метана для Марса (MSM) на борту индийского корабля «Мангальян» является примером прибора Фабри-Перо. Это был первый инструмент Фабри-Перо, побывавший в космосе на момент запуска Мангальяна. ^[6] Поскольку он не отличал излучение, поглощаемое метаном, от излучения, поглощенного углекислым газом и другими газами, позже его назвали картографом альбедо. ^[7]

При обнаружении гравитационных волн резонатор Фабри-Перо используется для хранения фотонов в течение почти миллисекунды, пока они прыгают вверх и вниз между зеркалами. Это увеличивает время взаимодействия гравитационной волны со светом, что приводит к лучшей чувствительности на низких частотах. Этот принцип используется такими детекторами, как LIGO и Virgo , которые состоят из интерферометра Майкельсона с резонатором Фабри-Перо длиной несколько километров в обоих плечах. Резонаторы меньшего размера, обычно называемые очистителями мод , используются для пространственной фильтрации и стабилизации частоты основного лазера. ^[8]

Теория

Потери в резонаторе и выходной свет

Спектральный отклик резонатора Фабри – Перо основан на интерференции между светом, попадающим в него, и светом, циркулирующим в резонаторе. Конструктивная интерференция возникает, если два луча находятся в фазе , что приводит к резонансному усилению света внутри резонатора. Если два луча не совпадают по фазе, только небольшая часть испущенного света сохраняется внутри резонатора. Сохраненный, переданный и отраженный свет спектрально модифицируется по сравнению с падающим светом.

Пусть имеется двухзеркальный резонатор Фабри–Перо геометрической длины , однородно заполненный средой с показателем преломления . Свет попадает в резонатор при нормальном падении. Время прохождения света туда и обратно в резонаторе со скоростью , где – скорость света в вакууме, и свободный спектральный диапазон определяются выражением ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$ ${\displaystyle c=c_{0}/n}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

Коэффициенты отражения электрического поля и напряженности и соответственно на зеркале равны ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle |r_{i}|^{2}=R_{i}.}$

Если других потерь в резонаторе нет, затухание интенсивности света за один проход туда и обратно количественно выражается константой скорости затухания выходной связи. ${\displaystyle 1/\tau _{\rm {out}},}$

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}},}$

тогда время распада фотона резонатора определяется выражением ^[9] ${\displaystyle \tau _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Резонансные частоты и формы спектральных линий

При количественном определении однопроходного фазового сдвига, который проявляет свет при распространении от одного зеркала к другому, двусторонний фазовый сдвиг на частоте накапливается до ^[9] ${\displaystyle \phi (\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle 2\phi (\nu )=2\pi \nu t_{\rm {RT}}.}$

Резонансы возникают на частотах, на которых свет демонстрирует конструктивную интерференцию после одного прохождения туда и обратно. Каждой моде резонатора со своим индексом моды , где – целое число в интервале , соответствует резонансная частота и волновое число , ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle k_{q}}$

${\displaystyle \nu _{q}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow k_{q}={\frac {2\pi q\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{c}}.}$

Две моды с противоположными значениями и модальным индексом и волновым числом соответственно, физически представляющие противоположные направления распространения, возникают при одном и том же абсолютном значении частоты. ^[10] ${\displaystyle \pm q}$ ${\displaystyle \pm k}$ ${\displaystyle \left|\nu _{q}\right|}$

Затухающее электрическое поле на частоте представлено затухающим гармоническим колебанием с начальной амплитудой и постоянной времени затухания . В векторной записи это можно выразить как ^[9] ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle E_{q,s}}$ ${\displaystyle 2\tau _{c}}$

${\displaystyle E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2\pi \nu _{q}t}e^{-{\frac {t}{2\tau _{c}}}}.}$

Преобразование Фурье электрического поля во времени дает электрическое поле на единицу частотного интервала,

${\displaystyle {\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu _{q})}}.}$

Каждая мода имеет нормированную форму спектральной линии на единицу частотного интервала, определяемую выражением

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left|{\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,s}}}\right|^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

частотный интеграл которого равен единице. Вводя полную ширину на половине высоты (FWHM) формы лоренцевой спектральной линии, получаем ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}}\Rightarrow {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

выражается либо через ширину линии на половине ширины на половине максимума (HWHM), либо через ширину линии FWHM . Откалибровав по высоте пика единицу, мы получаем лоренцевы линии: ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/2}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

${\displaystyle \gamma _{q,L}(\nu )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu _{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {(\Delta \nu _{c})^{2}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}}.}$

Повторяя описанное выше преобразование Фурье для всех мод с индексом моды в резонаторе, получаем полный спектр мод резонатора. ${\displaystyle q}$

Поскольку ширина линии и свободный спектральный диапазон не зависят от частоты, тогда как в пространстве длин волн ширина линии не может быть должным образом определена, а свободный спектральный диапазон зависит от длины волны, а также поскольку резонансные частоты масштабируются пропорционально частоте, спектральный отклик Фабри – Перо резонатор естественным образом анализируется и отображается в частотном пространстве. ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

Общее распределение Эйри: коэффициент усиления внутреннего резонанса

Электрические поля в резонаторе Фабри–Перо. ^[9] Коэффициенты отражения зеркала электрического поля равны и . Указаны характеристические электрические поля, создаваемые электрическим полем, падающим на зеркало 1: первоначально отраженным от зеркала 1, запущенным через зеркало 1 и циркулирующим внутри резонатора в прямом и обратном направлении распространения соответственно, распространяющимся внутри резонатора после одного обхода. передается через зеркало 2, передается через зеркало 1, а полное поле распространяется назад. Интерференция возникает на левой и правой сторонах зеркала 1 между и , что приводит к , и между и , что приводит к , соответственно. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle E_{\rm {inc}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ ${\displaystyle E_{\text{b-circ}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {trans}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$

Реакция резонатора Фабри-Перо на электрическое поле, падающее на зеркало 1, описывается несколькими распределениями Эйри (названными в честь математика и астронома Джорджа Бидделла Эйри ), которые количественно определяют интенсивность света в прямом или обратном направлении распространения в разных положениях внутри или снаружи. резонатора в зависимости от интенсивности исходящего или падающего света. Отклик резонатора Фабри – Перо легче всего получить, используя подход циркулирующего поля. ^[11] Этот подход предполагает устойчивое состояние и связывает различные электрические поля друг с другом (см. рисунок «Электрические поля в резонаторе Фабри – Перо»).

Поле можно связать с полем , запускаемым в резонатор, соотношением ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}.}$

Общее распределение Эйри, которое учитывает исключительно физические процессы, происходящие со светом внутри резонатора, затем получается как интенсивность, циркулирующая в резонаторе, относительно запущенной интенсивности ^[9]

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$представляет собой спектрально-зависимое усиление внутреннего резонанса, которое резонатор обеспечивает пущенному в него свету (см. рисунок «Усиление резонанса в резонаторе Фабри – Перо»). На резонансных частотах , где равно нулю, коэффициент усиления внутреннего резонанса равен ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle \sin(\phi )}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}(\nu _{q})={\frac {1}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Другие дистрибутивы Эйри

Усиление резонанса в резонаторе Фабри – Перо. ^[9] (вверху) Спектрально-зависимое усиление внутреннего резонанса, равное общему распределению Эйри . Этот фактор резонансно усиливает свет, попадающий в резонатор. Для кривой с пиковое значение находится в точке вне шкалы ординаты. (внизу) Спектрально-зависимое усиление внешнего резонанса, равное распределению Эйри . Этот фактор резонансно усиливает свет, падающий на резонатор. ${\displaystyle A_{\text{circ}}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9}$ ${\displaystyle A_{\text{circ}}(\nu _{q})=100}$ ${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }}$

Как только усиление внутреннего резонанса, общее распределение Эйри, установлено, все остальные распределения Эйри можно вывести с помощью простых коэффициентов масштабирования. ^[9] Поскольку интенсивность, попадающая в резонатор, равна прошедшей доле интенсивности, падающей на зеркало 1,

${\displaystyle I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}},}$

а интенсивности, прошедшие через зеркало 2, отраженные от зеркала 2 и прошедшие через зеркало 1, представляют собой прошедшую и отраженную/прошедшую доли интенсивности, циркулирующей внутри резонатора,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{trans}}&=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},\\I_{\text{b-circ}}&=R_{2}I_{\text{circ}},\\I_{\text{back}}&=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}},\end{aligned}}}$

соответственно, другие распределения Эйри по запущенной интенсивности и по падающей интенсивности равны [ ^9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{\text{laun}}}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{circ}}&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},\\A_{\text{circ}}'&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}'={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}'={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}'={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}'={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}',\\A_{\text{circ}}'&=\left(1-R_{1}\right)A_{\text{circ}}.\end{aligned}}}$

Индекс «излучение» обозначает распределения Эйри, учитывающие сумму интенсивностей, излучаемых по обе стороны резонатора.

Интенсивность обратного излучения не может быть измерена, поскольку изначально отраженный свет добавляется к сигналу, распространяющемуся назад. Измеримый случай интенсивности, возникающей в результате интерференции обоих электрических полей, распространяющихся назад, приводит к распределению Эйри ^[9] ${\displaystyle I_{\text{back}}}$

${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{refl}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Легко показать, что в резонаторе Фабри–Перо, несмотря на наличие конструктивной и деструктивной интерференции, энергия сохраняется на всех частотах:

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1.}$

Коэффициент усиления внешнего резонанса (см. рисунок «Усиление резонанса в резонаторе Фабри – Перо») равен ^[9]

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

На резонансных частотах , где равно нулю, коэффициент усиления внешнего резонанса равен ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle \sin(\phi )}$

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Распределение Эйри (сплошные линии), соответствующее свету, прошедшему через резонатор Фабри–Перо, рассчитанное для разных значений отражательной способности , и сравнение с одной лоренцевой линией (пунктирные линии), рассчитанной для тех же значений . ^[9] На половине максимума (черная линия) с уменьшением отражательной способности ширина линии на полувысоте распределения Эйри расширяется по сравнению с шириной линии на полувысоте соответствующей лоренцевой линии: приводит к , соответственно. ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9,0.6,0.32,0.172}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}/\Delta \nu _{c}=1.001,1.022,1.132,1.717}$

Обычно свет передается через резонатор Фабри-Перо. Поэтому часто применяемое распределение Эйри имеет вид ^[9]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Он описывает долю интенсивности источника света, падающего на зеркало 1, которая проходит через зеркало 2 (см. рисунок «Распределение Эйри »). Его максимальное значение на резонансных частотах равно ${\displaystyle I_{\text{trans}}}$ ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$ ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}.}$

Ибо пиковое значение равно единице; т.е. весь свет, падающий на резонатор, передается. Следовательно, свет не отражается из-за деструктивной интерференции полей и . ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ ${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }=0}$ ${\displaystyle E_{{\text{refl}},1}}$ ${\displaystyle E_{\text{back}}}$

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$была получена в подходе циркулирующего поля ^[11] путем рассмотрения дополнительного фазового сдвига во время каждого прохождения через зеркало, ${\displaystyle e^{i\pi /2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{circ}}=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}&\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\\E_{\text{trans}}=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }&\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\end{aligned}}}$

в результате чего

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{trans}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left|-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right|^{2}}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

В качестве альтернативы, его можно получить с помощью подхода «туда-обратно-затухание» ^[12] , отслеживая бесконечное количество кругоходов, которые проявляет падающее электрическое поле после входа в резонатор, и накапливая электрическое поле, передаваемое во всех туда и обратно. Поле, передаваемое после первого распространения, и все меньшие и меньшие поля, передаваемые после каждого последующего прохождения через резонатор, равны ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle E_{\text{inc}}}$ ${\displaystyle E_{\text{trans}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{trans,1}}&=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },\\E_{{\text{trans}},m+1}&=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi },\end{aligned}}}$

соответственно. Эксплуатация

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{\text{inc}}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}$

приводит к тем же результатам, что и выше, следовательно, получается то же распределение Эйри . Однако этот подход физически вводит в заблуждение, поскольку предполагает, что интерференция имеет место между выведенными лучами после зеркала 2, снаружи резонатора, а не между запущенными и циркулирующими лучами после зеркала 1, внутри резонатора. Поскольку именно интерференция изменяет состав спектра, распределение спектральной интенсивности внутри резонатора будет таким же, как и распределение падающей спектральной интенсивности, и внутри резонатора не произойдет никакого резонансного усиления. ${\displaystyle E_{\text{trans}}/E_{\text{inc}}}$ ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$

Распределение Эйри как сумма профилей мод

Физически распределение Эйри представляет собой сумму профилей продольных мод резонатора. ^[9] Исходя из электрического поля, циркулирующего внутри резонатора, рассматривают экспоненциальное затухание во времени этого поля через оба зеркала резонатора, Фурье преобразует его в пространство частот для получения нормированных форм спектральных линий , делит на округленное время срабатывания для учета того, как общая напряженность циркулирующего электрического поля продольно распределяется в резонаторе и выводится в единицу времени, что приводит к формированию профилей излучаемых мод, ${\displaystyle E_{circ}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )}$ ${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1}{t_{\rm {RT}}}}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu ),}$

а затем суммирует профили излучаемых мод всех продольных мод ^[9]

${\displaystyle \sum _{q=-\infty }^{\infty }\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1-R_{1}R_{2}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}=A_{\rm {emit}},}$

таким образом, равняясь распределению Эйри . ${\displaystyle A_{\rm {emit}}}$

Те же самые простые коэффициенты масштабирования, которые обеспечивают отношения между отдельными распределениями Эйри, также обеспечивают отношения между профилями других мод: ^[9] ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}},}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}}^{\prime },}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }=(1-R_{1})\gamma _{q,{\rm {circ}}}.}$

Характеристика резонатора Фабри – Перо: лоренцева ширина и изящество линии.

Критерий спектрального разрешения Тейлора предполагает, что две спектральные линии могут быть разрешены, если отдельные линии пересекаются при половинной интенсивности. При запуске света в резонатор Фабри-Перо путем измерения распределения Эйри можно получить общие потери резонатора Фабри-Перо путем пересчета ширины лоренцевой линии , отображаемой (синяя линия) относительно свободного спектрального диапазона на рисунке «Лоренцева линия ширина и точность линии по сравнению с шириной линии Эйри и тонкостью резонатора Фабри-Перо». ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

Лоренцева ширина и тонкость линии по сравнению с шириной и тонкостью линии Эйри резонатора Фабри – Перо. ^[9] [Слева] Относительная ширина лоренцевой линии (синяя кривая), относительная ширина линии Эйри (зеленая кривая) и ее аппроксимация (красная кривая). [Справа] Лоренцева изящество (синяя кривая), изящество Эйри (зеленая кривая) и ее аппроксимация (красная кривая) в зависимости от значения отражательной способности . Точные решения ширины и тонкости линии Эйри (зеленые линии) правильно разрушаются при , что эквивалентно , тогда как их аппроксимации (красные линии) некорректно не разрушаются. Врезки: Регион . ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$ ${\displaystyle R_{1}R_{2}<0.1}$

Физический смысл лоренцевой тонкости резонатора Фабри – Перо. ^[9] Показана ситуация для , при которой и , т.е. две соседние лоренцевы линии (пунктирные цветные линии, для наглядности показано только 5 линий для каждой резонансной частоты, ) пересекаются на половине максимума (сплошная черная линия) и критерий Тейлора для спектрального разрешения достигаются два пика в результирующем распределении Эйри (сплошная фиолетовая линия, сумма 5 линий, нормализованная на собственную пиковую интенсивность). ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

Основные лоренцевы линии можно разрешить, если соблюдается критерий Тейлора (см. рисунок «Физический смысл лоренцевой утонченности»). Следовательно, можно определить лоренцеву точность резонатора Фабри–Перо: ^[9]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{c}}}={\frac {2\pi }{-\ln(R_{1}R_{2})}}.}$

На рисунке «Физический смысл лоренцевой утонченности» она отображается синей линией. Лоренцева изящество имеет фундаментальный физический смысл: оно описывает, насколько хорошо можно разрешить лоренцевы линии, лежащие в основе распределения Эйри, при измерении распределения Эйри. В тот момент, когда ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2\pi }\approx 0.001867,}$

эквивалентно , достигается критерий Тейлора для спектрального разрешения одного распределения Эйри. В этой точке невозможно различить две спектральные линии. Для равных коэффициентов отражения зеркал эта точка возникает, когда . Следовательно, ширина лоренцевых линий, лежащих в основе распределения Эйри резонатора Фабри – Перо, может быть определена путем измерения распределения Эйри, следовательно, его потери в резонаторе могут быть определены спектроскопически до этого момента. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}<1}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$

Сканирование резонатора Фабри-Перо: воздушная ширина линии и изящество

Физический смысл изящества Эйри резонатора Фабри – Перо. ^[9] При сканировании длины Фабри – Перо (или угла падающего света) распределения Эйри (цветные сплошные линии) создаются сигналами на отдельных частотах. Экспериментальный результат измерения представляет собой сумму отдельных распределений Эйри (черная пунктирная линия). Если сигналы возникают на частотах , где – целое число, начинающееся с , распределения Эйри на соседних частотах отделены друг от друга шириной линии , тем самым удовлетворяя критерию Тейлора для спектроскопического разрешения двух соседних пиков. Максимальное количество сигналов, которые можно разрешить, равно . Поскольку в этом конкретном примере коэффициенты отражения были выбраны целыми числами, сигнал для частоты совпадает с сигналом для at . В этом примере максимальное количество пиков может быть разрешено при применении критерия Тейлора. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle \nu _{m}=\nu _{q}+m\Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.59928}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$ ${\displaystyle m={\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}+{\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\nu _{q}+\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle m=q}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$

Пример резонатора Фабри – Перо с (вверху) частотно-зависимой зеркальной отражательной способностью и (внизу) результирующими искаженными профилями мод с индексами , суммой 6 миллионов профилей мод (розовые точки, отображаются только для нескольких частот), и распределение Эйри . ^[9] Вертикальные пунктирные линии обозначают максимум кривой отражательной способности (черный) и резонансные частоты отдельных мод (цветные). ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }}$ ${\displaystyle q=2000,2001,2002}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$

При использовании резонатора Фабри–Перо в качестве сканирующего интерферометра, т. е. при изменении длины резонатора (или угла падения), можно спектроскопически различить спектральные линии на разных частотах в пределах одного свободного спектрального диапазона. Необходимо разрешить несколько распределений Эйри , каждое из которых создано отдельной спектральной линией. Таким образом, распределение Эйри становится основной фундаментальной функцией, и измерение дает сумму распределений Эйри. Параметрами, которые правильно определяют эту ситуацию, являются ширина линии Эйри и утонченность Эйри . Ширина линии распределения Эйри на полувысоте равна ^[9] ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right).}$

Ширина линии Эйри отображается в виде зеленой кривой на рисунке «Лоренцева ширина и точность линии в сравнении с шириной и точностью линии Эйри резонатора Фабри – Перо». ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$

Концепция определения ширины линии пиков Эйри как FWHM терпит неудачу (сплошная красная линия на рисунке «Распределение Эйри »), потому что в этот момент ширина линии Эйри мгновенно подскакивает до бесконечного значения для функции. Для более низких значений отражательной способности ширина линии пиков Эйри на полувысоте не определена. Предельный случай имеет место при ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \arcsin }$ ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944.}$

Для равных коэффициентов отражения зеркал эта точка достигается при (сплошная красная линия на рисунке «Распределение Эйри »). ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 17.2\%}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$

Определяется точность распределения Эйри резонатора Фабри – Перо, которая отображается зеленой кривой на рисунке «Лоренцева ширина и точность линии в сравнении с шириной линии Эйри и точность резонатора Фабри – Перо» в прямом сравнении с лоренцевой точностью. как ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}.}$

При сканировании длины резонатора Фабри-Перо (или угла падающего света) точность Эйри количественно определяет максимальное количество распределений Эйри, создаваемых светом на отдельных частотах в свободном спектральном диапазоне резонатора Фабри-Перо, соседние пики которого можно однозначно различить спектроскопически, т. е. они не перекрываются на полувысоте (см. рисунок «Физический смысл изящества Эйри»). Это определение утонченности Эйри согласуется с критерием Тейлора разрешения спектрометра. Поскольку понятие ширины линии на полувысоте нарушается при , следовательно, точность Эйри определяется только до тех пор , пока , см. рисунок «Лоренцева ширина линии и точность в сравнении с шириной линии Эйри и точность резонатора Фабри – Перо». ${\displaystyle \nu _{m}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$

Часто при вычислении ширины линии Эйри делается ненужное приближение . В отличие от точного решения, приведенного выше, это приводит к ${\displaystyle \sin {(\phi )}\approx \phi }$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}\approx \Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.}$

Это приближение ширины линии Эйри, отображенное в виде красной кривой на рисунке «Лоренцева ширина и тонкость линии в сравнении с шириной и тонкостью линии Эйри резонатора Фабри – Перо», отклоняется от правильной кривой при низких коэффициентах отражения и ошибочно не нарушается при . Это приближение обычно также используется для расчета точности Эйри. ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}>\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$

Частотно-зависимая отражательная способность зеркала

Более общий случай резонатора Фабри – Перо с частотно-зависимой зеркальной отражательной способностью можно рассматривать с помощью тех же уравнений, что и выше, за исключением того, что время затухания фотона и ширина линии теперь становятся локальными функциями частоты. Хотя время распада фотона все еще является четко определенной величиной, ширина линии теряет свой смысл, поскольку напоминает спектральную полосу, значение которой теперь меняется в пределах этой самой полосы. Также в этом случае каждое распределение Эйри представляет собой сумму всех основных профилей мод, которые могут быть сильно искажены. ^[9] Пример распределения Эйри и некоторых лежащих в его основе профилей мод приведен на рисунке «Пример резонатора Фабри – Перо с частотно-зависимой зеркальной отражательной способностью». ${\displaystyle \tau _{c}(\nu )}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}(\nu )}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }(\nu )}$

Резонатор Фабри – Перо с собственными оптическими потерями.

Собственные потери распространения внутри резонатора можно определить количественно с помощью коэффициента потерь интенсивности на единицу длины или, что то же самое, с помощью собственных потерь на оба пути, таких, что ^[13] ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}}$ ${\displaystyle L_{\rm {RT}},}$

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-\alpha _{\rm {loss}}2\ell }=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}.}$

Дополнительные потери сокращают время распада фотона резонатора: ^[13] ${\displaystyle \tau _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{\rm {RT}}}}+c\alpha _{\rm {loss}}.}$

где скорость света в резонаторе. Затем общее распределение Эйри или коэффициент усиления внутреннего резонанса получается, как указано выше, путем включения потерь распространения через коэффициент амплитудных потерь : ^[13] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$ ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}/2}$

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(\alpha _{\rm {loss}}/2)2\ell }e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }}}\Rightarrow }$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Другие распределения Эйри затем могут быть получены, как указано выше, путем дополнительного учета потерь при распространении. В частности, передаточная функция с потерями принимает вид ^[13]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\rm {trans}}}{I_{\rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }A_{\rm {circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Описание резонатора Фабри – Перо в пространстве длин волн.

Эталон Фабри–Перо. Свет попадает в эталон и претерпевает множественные внутренние отражения.

Пропускание эталона как функция длины волны. Эталон с высокой точностью (красная линия) показывает более острые пики и более низкие минимумы передачи, чем эталон с низкой точностью (синяя).

Утонченность как функция отражательной способности. Очень высокие коэффициенты утонченности требуют зеркал с высокой отражающей способностью.

Анализ переходных процессов кремниевого ( n = 3,4) эталона Фабри – Перо при нормальном падении. Верхняя анимация предназначена для толщины эталона, выбранной для обеспечения максимальной передачи, а нижняя анимация — для толщины, выбранной для обеспечения минимальной передачи.

Переходный процесс ложного цвета для диэлектрической пластины с высоким показателем преломления в воздухе. Толщина/частоты были выбраны таким образом, чтобы красный (сверху) и синий (снизу) обеспечивали максимальную передачу, тогда как зеленый (средний) обеспечивал минимальную передачу.

Изменение функции пропускания эталона вызвано интерференцией многократного отражения света между двумя отражающими поверхностями. Конструктивная интерференция возникает, если передаваемые лучи находятся в фазе , и это соответствует высокому пику передачи эталона. Если передаваемые лучи не совпадают по фазе, возникают деструктивные помехи, что соответствует минимуму передачи. Синфазны ли многократно отраженные лучи или нет, зависит от длины волны (λ) света (в вакууме), угла, под которым свет проходит через эталон (θ), толщины эталона ( ℓ ) и показателя преломления света . материал между отражающими поверхностями ( n ).

Разность фаз между каждой последовательно передаваемой парой (т. е. T ₂ и T ₁ на диаграмме) определяется выражением ^[14]

${\displaystyle \delta =\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)2n\ell \cos \theta .}$

Если обе поверхности имеют коэффициент отражения R , функция пропускания эталона определяется выражением

${\displaystyle T_{e}={\frac {(1-R)^{2}}{1-2R\cos \delta +R^{2}}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}\left({\frac {\delta }{2}}\right)}},}$

где

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

это коэффициент утонченности .

Максимальная передача ( ) происходит, когда разность длин оптического пути ( ) между каждым передаваемым лучом является целым кратным длины волны. В отсутствие поглощения коэффициент отражения эталона Re является дополнением к коэффициенту пропускания, так что _. Максимальная отражательная способность определяется выражением ${\displaystyle T_{e}=1}$ ${\displaystyle 2nl\cos \theta }$ ${\displaystyle T_{e}+R_{e}=1}$

${\displaystyle R_{\max }=1-{\frac {1}{1+F}}={\frac {4R}{(1+R)^{2}}},}$

и это происходит, когда разность длин пути равна половине нечетного кратного длины волны.

Расстояние между длинами волн между соседними пиками пропускания называется свободным спектральным диапазоном (FSR) эталона, Δλ, и определяется выражением:

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta }},}$

где λ0 _— центральная длина волны ближайшего пика пропускания, — групповой показатель преломления . ^[15] FSR связан с полувысотой полной ширины δλ любой полосы пропускания величиной, известной как утонченность : ${\displaystyle n_{\mathrm {g} }}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {F}}}\right)}}.}$

Обычно это аппроксимируется (для R  > 0,5) выражением

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{\frac {1}{2}}}{1-R}}.}$

Если два зеркала не равны, изящество становится

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi \left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{4}}}{1-\left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.}$

Эталоны с высокой точностью демонстрируют более острые пики передачи с более низкими минимальными коэффициентами передачи. В случае наклонного падения точность будет зависеть от состояния поляризации луча, поскольку значение R , заданное уравнениями Френеля , обычно различно для p- и s-поляризаций.

На схеме справа показаны два луча, один из которых (Т ₀ ) передается через эталон, а другой (Т ₁ ) дважды отражается перед передачей. При каждом отражении амплитуда уменьшается на , а при каждом прохождении через интерфейс амплитуда уменьшается на . Предполагая отсутствие поглощения, сохранение энергии требует T  +  R  = 1. В приведенном ниже выводе n — показатель преломления внутри эталона, а n ₀ — показатель преломления вне эталона. Предполагается, что n > n ₀ . Амплитуда падения в точке а принимается равной единице, а для представления амплитуды излучения используются векторы . Тогда передаваемая амплитуда в точке b будет равна ${\displaystyle {\sqrt {R}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {T}}}$

${\displaystyle t_{0}=T\,e^{ik\ell /\cos \theta },}$

где – волновое число внутри эталона, λ – длина волны в вакууме. В точке c передаваемая амплитуда будет равна ${\displaystyle k=2\pi n/\lambda }$

${\displaystyle t'_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta }.}$

Суммарная амплитуда обоих лучей будет равна сумме амплитуд двух лучей, измеренных вдоль линии, перпендикулярной направлению луча. Следовательно, амплитуда t ₀ в точке b может быть добавлена ​​к t ' ₁ , отставающему по фазе на величину , где – волновое число вне эталона. Таким образом ${\displaystyle k_{0}\ell _{0}}$ ${\displaystyle k_{0}=2\pi n_{0}/\lambda }$

${\displaystyle t_{1}=TR\,e^{\left(3ik\ell /\cos \theta \right)-ik_{0}\ell _{0}},}$

где ℓ ₀

${\displaystyle \ell _{0}=2\ell \tan \theta \sin \theta _{0}.}$

Разность фаз между двумя лучами равна

${\displaystyle \delta ={2k\ell \over \cos \theta }-k_{0}\ell _{0}.}$

Связь между θ и θ ₀ определяется законом Снелла :

${\displaystyle n\sin \theta =n_{0}\sin \theta _{0},}$

так что разность фаз можно записать как

${\displaystyle \delta =2k\ell \,\cos \theta .}$

С точностью до постоянного мультипликативного фазового коэффициента амплитуду m -го передаваемого луча можно записать как

${\displaystyle t_{m}=TR^{m}e^{im\delta }.}$

Общая передаваемая амплитуда представляет собой сумму амплитуд всех отдельных лучей:

${\displaystyle t=\sum _{m=0}^{\infty }t_{m}=T\sum _{m=0}^{\infty }R^{m}\,e^{im\delta }.}$

Ряд представляет собой геометрическую прогрессию , сумму которой можно выразить аналитически. Амплитуду можно переписать как

${\displaystyle t={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}.}$

Интенсивность луча будет всего в t раз больше его комплексно-сопряженной величины . Поскольку предполагалось, что падающий луч имеет интенсивность, равную единице, это также даст функцию пропускания:

${\displaystyle T_{e}=tt^{*}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}.}$

Для асимметричного резонатора, т. е. резонатора с двумя разными зеркалами, общий вид функции пропускания имеет вид

${\displaystyle T_{e}={\frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \delta }}.}$

Интерферометр Фабри-Перо отличается от эталона Фабри-Перо тем, что расстояние ℓ между пластинами можно настраивать, чтобы изменить длины волн, на которых в интерферометре возникают пики пропускания. Из-за угловой зависимости пропускания пики также можно смещать путем вращения эталона относительно луча.

Другое выражение для функции пропускания уже было получено при описании в частотном пространстве как бесконечная сумма всех продольных профилей мод. Определение приведенного выше выражения можно записать как ${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {1}{R}}\right)}$

${\displaystyle T_{e}={\frac {T^{2}}{1-R^{2}}}\left({\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos \delta }}\right).}$

Второй член пропорционален свернутому лоренцеву распределению , так что передаточную функцию можно записать как серию лоренцевых функций :

${\displaystyle T_{e}={\frac {2\pi \,T^{2}}{1-R^{2}}}\,\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }L(\delta -2\pi \ell ;\gamma ),}$

где

${\displaystyle L(x;\gamma )={\frac {\gamma }{\pi \left(x^{2}+\gamma ^{2}\right)}}.}$

Смотрите также

• Интерферометр Люммера – Герке
• Эталон Жирес – Турнуа
• Атомный сетевой фильтр
• СТРЕЛКА волновод
• Распределенный отражатель Брэгга
• Волоконная решетка Брэгга
• Оптический микрорезонатор
• Тонкопленочная интерференция
• Ширина линии лазера

Примечания

1. Перо часто писал свое имя с акцентом — Перо — в научных публикациях, поэтому название интерферометра обычно пишется с акцентом. Метивье, Франсуаза (сентябрь – октябрь 2006 г.). «Жан-Батист Альфред Перо» (PDF) . Photoniques (на французском языке) (25). Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2007 г. Проверено 2 октября 2007 г.Страница 2: «Перо или Перо?»
2. Фабри, К; Перо, А (1899). «Теория и приложения нового метода интерференционной спектроскопии». Анна. Хим. Физ . 16 (7).
3. Перо, А; Фабри, К. (1899). «О применении интерференционных явлений для решения различных задач спектроскопии и метрологии». Астрофизический журнал . 9 : 87. Бибкод :1899ApJ.....9...87P. дои : 10.1086/140557 .
4. Оксфордский словарь английского языка
5. Уильямс, Бенджамин С. (2007). «Терагерцовые квантово-каскадные лазеры» (PDF) . Природная фотоника . 1 (9): 517–525. Бибкод : 2007NaPho...1..517W. дои : 10.1038/nphoton.2007.166. hdl : 1721.1/17012 . ISSN  1749-4885. S2CID  29073195.
6. Мукунт, Васудеван (15 декабря 2016 г.). «В приборе по метану миссии ISRO Mars Orbiter произошел сбой» . Провод . Проверено 21 декабря 2019 г.
7. Клотц, Ирен (07 декабря 2016 г.). «У индийской миссии орбитального корабля на Марс возникла проблема с метаном» . Искатель.com . Проверено 21 декабря 2019 г.
8. Мик, JLH (2019). «Кольцевой волоконно-оптический резонатор высокой передачи для спектральной фильтрации усилителей мощности задающего генератора». ОСА Континуум . 2 (8): 2487. дои : 10.1364/osac.2.002487 . hdl : 2440/126128 . S2CID  201269198 . Проверено 24 июня 2022 г.
9. Исмаил, Н.; Корес, CC; Гескус, Д.; Полнау, М. (2016). «Резонатор Фабри – Перо: формы спектральных линий, общие и связанные с ними распределения Эйри, ширина линий, точность и характеристики при низкой или частотно-зависимой отражательной способности». Оптика Экспресс . 24 (15): 16366–16389. Бибкод : 2016OExpr..2416366I. дои : 10.1364/OE.24.016366 . ПМИД  27464090.
10. Полнау, М. (2018). «Встречные моды в резонаторе типа Фабри – Перо». Оптические письма . 43 (20): 5033–5036. Бибкод : 2018OptL...43.5033P. дои : 10.1364/OL.43.005033. PMID  30320811. S2CID  52983022.
11. AE Siegman, «Лазеры», University Science Books, Милл-Вэлли, Калифорния, 1986, гл. 11.3, стр. 413-428.
12. О. Свелто, «Принципы лазеров», 5-е изд., Спрингер, Нью-Йорк, 2010, гл. 4.5.1, стр. 142-146.
13. Полнау, М.; Эйххорн, М. (2020). «Спектральная когерентность, Часть I: Ширина линии пассивного резонатора, основная ширина линии лазера и приближение Шавлоу-Таунса». Прогресс в квантовой электронике . 72 : 100255. Бибкод : 2020PQE....7200255P. doi : 10.1016/j.pquantelec.2020.100255 .
14. Липсон, С.Г.; Липсон, Х.; Тангейзер, Д.С. (1995). Оптическая физика (3-е изд.). Лондон: Cambridge UP, стр. 248. ISBN. 0-521-06926-2.
15. Колдрен, Луизиана; Корзин, Юго-Запад; Машанович, МЛ (2012). Диодные лазеры и фотонные интегральные схемы (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 58. ИСБН 978-0-470-48412-8.

Рекомендации

• Эрнандес, Г. (1986). Интерферометры Фабри–Перо . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-32238-3.

Внешние ссылки

• Усовершенствованный дизайн эталонов — от Precision Photonics Corporation