Правила дифференциации

Правила вычисления производных функций

Это краткое изложение правил дифференцирования , то есть правил вычисления производной функции в исчислении .

Элементарные правила дифференциации

Если не указано иное, все функции являются функциями действительных чисел ( R ) , которые возвращают действительные значения; хотя в более общем плане приведенные ниже формулы применяются везде, где они четко определены ^{[1] [2]} — включая случай комплексных чисел ( C ) . ^[3]

Правило постоянного срока

Для любого значения , где , если является постоянной функцией, заданной , то . ^[4] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=c}$ ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=0}$

Доказательство

Пусть и . По определению производной ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}}$

Это показывает, что производная любой постоянной функции равна 0.

Интуитивное (геометрическое) объяснение

Производная функции в точке — это наклон линии, касательной к кривой в этой точке. Наклон постоянной функции равен нулю, поскольку касательная к постоянной функции горизонтальна, а ее угол равен нулю.

Другими словами, значение постоянной функции y не изменится при увеличении или уменьшении значения x.

В каждой точке производная представляет собой наклон линии , касательной к кривой в этой точке. Примечание. Производная в точке A положительна , если она зеленая и штрихпунктирная, отрицательна , если красная и пунктирная, и равна нулю , если черная и сплошная.

Дифференциация линейная

Для любых функций и любых действительных чисел и производная функции по равна : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}$

В обозначениях Лейбница это записывается так: $${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$$

К особым случаям относятся:

• Правило постоянного фактора $${\displaystyle (af)'=af'}$$
• Правило сумм $${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$$
• Правило разницы $${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$$

Правило продукта

Для функций и производная функции по равна В обозначениях Лейбница это записывается ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$$ $${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}$$

Правило цепочки

Производная функции равна ${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ $${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$

В обозначениях Лейбница это записывается так: часто сокращается до $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$$ $${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$$

Сосредоточив внимание на понятии карт и дифференциале, являющемся картой , это можно записать более кратко: ${\displaystyle {\text{D}}}$ $${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}$$

Правило обратной функции

Если функция f имеет обратную функцию g , то это означает, что и тогда ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle f(g(y))=y,}$ $${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$$

В обозначениях Лейбница это записывается как $${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$$

Степенные законы, полиномы, частные и обратные величины

Полиномиальное или элементарное степенное правило

Если для любого действительного числа то ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle r\neq 0,}$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$

Когда это становится особым случаем, что если тогда ${\displaystyle r=1,}$ ${\displaystyle f(x)=x,}$ ${\displaystyle f'(x)=1.}$

Сочетание степенного правила с правилами сумм и постоянных кратных позволяет вычислить производную любого многочлена.

Правило взаимности

Производная для любой (неисчезающей) функции f равна: ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$везде, где f не равно нулю.

В обозначениях Лейбница это записано

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$

Правило взаимности может быть получено либо из правила фактора, либо из комбинации правила власти и правила цепочки.

Правило частного

Если f и g — функции, то:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$везде, где g не равно нулю.

Это можно вывести из правила произведения и правила взаимности.

Обобщенное правило власти

Элементарное правило власти значительно обобщает. Наиболее общим степенным правилом является функциональное степенное правило : для любых функций f и g

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$

везде, где обе стороны четко определены.

Особые случаи

• Если , то когда a — любое ненулевое действительное число и x положительно. ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$ ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$
• Правило взаимности может быть выведено как особый случай, когда . ${\textstyle g(x)=-1\!}$

Производные показательных и логарифмических функций

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

приведенное выше уравнение верно для всех c , но производная для дает комплексное число. ${\textstyle c<0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1}$

уравнение выше также верно для всех c , но дает комплексное число, если . ${\textstyle c<0\!}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e}.\qquad }$где функция Ламберта W ${\displaystyle W(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}}$

Логарифмические производные

Логарифмическая производная — это еще один способ формулировки правила дифференцирования логарифма функции (с использованием правила цепочки):

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$везде, где f положительно.

Логарифмическое дифференцирование — это метод, который использует логарифмы и правила дифференцирования для упрощения определенных выражений перед фактическим применением производной. ^{[ нужна цитата ]}

Логарифмы можно использовать для удаления показателей степени, преобразования произведений в суммы и преобразования деления в вычитание — каждое из этих действий может привести к упрощенному выражению для получения производных.

Производные тригонометрических функций

Производные в таблице выше предназначены для случаев, когда диапазон обратного секанса равен и когда диапазон обратного косеканса равен ${\displaystyle [0,\pi ]\!}$ ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Обычно дополнительно определяют функцию обратного тангенса с двумя аргументами . Ее значение лежит в диапазоне и отражает квадрант точки. Для первого и четвертого квадранта (т. е. ) есть его частные производные: ${\displaystyle \arctan(y,x).}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle (x,y).}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x).}$

${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Производные гиперболических функций

См. «Гиперболические функции» , чтобы узнать об ограничениях на эти производные.

Производные специальных функций

Гамма-функция

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}}$

это дигамма -функция , выраженная в скобках справа от строки выше. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$

Дзета-функция Римана

${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$

Производные интегралов

Предположим, что требуется продифференцировать по x функцию

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

где функции и обе непрерывны в обеих и в некоторой области плоскости , включая , а функции и обе непрерывны и обе имеют непрерывные производные для . Тогда для : ${\displaystyle f(x,t)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t,x)}$ ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ ${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$

Эта формула представляет собой общую форму интегрального правила Лейбница и может быть получена с использованием фундаментальной теоремы исчисления .

Производные n-го порядка

Существуют некоторые правила вычисления n -й производной функций, где n — целое положительное число. К ним относятся:

Формула Фаа ди Бруно

Если f и g n -раз дифференцируемы , то где и множество состоит из всех неотрицательных целых решений диофантова уравнения . $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}$$ ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$

Правило генерала Лейбница

Если f и g n -раз дифференцируемы, то $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$$

Смотрите также

• Дифференцируемая функция  - математическая функция, производная которой существует.
• Дифференциал функции  - понятие в исчислении
• Дифференцирование интегралов  — Задача по математике
• Дифференцирование под знаком интеграла  – Формула дифференцирования под знаком интегралаPages displaying short descriptions of redirect targets
• Гиперболические функции  – собирательное название шести математических функций.
• Обратные гиперболические функции  – Математические функции
• Обратные тригонометрические функции  – обратные функции sin, cos, tan и т. д.
• Списки интегралов
• Список математических функций
• Матричное исчисление  - специализированные обозначения для исчисления с несколькими переменными.
• Тригонометрические функции  – Функции угла
• Тождества векторного исчисления  - Математические тождества

Рекомендации

1. Исчисление (5-е издание) , Ф. Эйрес, Э. Мендельсон, Серия набросков Шаума, 2009, ISBN  978-0-07-150861-2 .
2. Расширенное исчисление (3-е издание) , Р. Вреде, М. Р. Шпигель, Серия обзоров Шаума, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7 . 
3. Комплексные переменные , М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Дж. Дж. Шиллер, Д. Спеллман, Серия «Очерки Шаума», McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3 
4. «Правила дифференциации». Университет Ватерлоо — открытые курсы CEMC . Проверено 3 мая 2022 г.

Источники и дальнейшее чтение

Эти правила приводятся во многих книгах как по элементарному, так и по углубленному исчислению, по чистой и прикладной математике. Те, что в этой статье (помимо приведенных выше ссылок), можно найти в:

• Математический справочник формул и таблиц (3-е издание) , С. Липшуц, М. Р. Шпигель, Дж. Лю, Серия обзоров Шаума, 2009 г., ISBN 978-0-07-154855-7 . 
• Кембриджский справочник физических формул , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Математические методы в физике и технике , К. Ф. Райли, М. П. Хобсон, С. Дж. Бенс, издательство Кембриджского университета, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
• Справочник NIST по математическим функциям , Ф.В.Дж. Олвер, Д.В. Лозьер, Р.Ф. Бойсверт, К.В. Кларк, издательство Кембриджского университета, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 . 

Внешние ссылки

• Калькулятор производной с упрощением формулы