В логике и математике обратное категорического или импликационного утверждения является результатом перестановки двух его составляющих утверждений. Для импликации P → Q обратное есть Q → P. Для категорического суждения Все S есть P обратное есть Все P есть S. В любом случае истинность обратного утверждения, как правило, независима от истинности исходного утверждения. [1]
Пусть S — утверждение вида P влечет Q ( P → Q ). Тогда обратным к S является утверждение Q влечет P ( Q → P ). В общем случае истинность S ничего не говорит об истинности его обратного [2], если только антецедент P и консеквент Q не являются логически эквивалентными.
Например, рассмотрим истинное утверждение: «Если я человек, то я смертен». Обратное этому утверждению: «Если я смертен, то я человек», что не обязательно является истинным .
Однако обратное утверждение с взаимовключающими терминами остается верным, учитывая истинность исходного предложения. Это эквивалентно утверждению, что обратное определение является верным. Таким образом, утверждение «Если я треугольник, то я трехсторонний многоугольник» логически эквивалентно утверждению «Если я трехсторонний многоугольник, то я треугольник», поскольку определение «треугольника» — «трехсторонний многоугольник».
Таблица истинности ясно показывает, что S и обратное ему выражение логически не эквивалентны, если только оба термина не подразумевают друг друга:
Переход от утверждения к его обратному является ошибкой утверждения следствия . Однако, если утверждение S и его обратное эквивалентны (т.е. P истинно тогда и только тогда, когда Q также истинно), то утверждение следствия будет верным.
Обратная импликация логически эквивалентна дизъюнкции и
На естественном языке это можно перевести как «не Q без P ».
В математике обратная теорема вида P → Q будет Q → P . Обратное может быть верным или нет, и даже если верно, доказательство может быть сложным. Например, теорема о четырех вершинах была доказана в 1912 году, но ее обратная теорема была доказана только в 1997 году. [3]
На практике при определении обратной математической теоремы аспекты антецедента могут быть приняты как устанавливающие контекст. То есть, обратная фраза "Дано P, если Q, то R " будет "Дано P, если R, то Q " . Например, теорему Пифагора можно сформулировать так:
Дан треугольник со сторонами длиной , и , если угол, противолежащий стороне длины, является прямым, то .
Обратное утверждение, которое также встречается в «Началах » Евклида (книга I, предложение 48), можно сформулировать так:
Дан треугольник со сторонами длиной , и , если , то угол, противолежащий стороне длины, является прямым углом.
Если — бинарное отношение с , то обратное отношение также называется транспонированием . [4]
Обратное выражение импликации P → Q может быть записано как Q → P , , но может также быть обозначено как , или "B pq " (в нотации Бохеньского ). [ необходима цитата ]
В традиционной логике процесс замены субъектного термина предикатным термином называется конверсией . Например, переход от «Ни одно S не есть P» к его обратному «Ни одно P не есть S» . По словам Асы Махана :
«Исходное предложение называется exposita; преобразованное предложение называется converse. Преобразование действительно тогда и только тогда, когда в converse не утверждается ничего, что не утверждается или не подразумевается в exposita». [5]
«Exposita» чаще называют «convertend». В своей простой форме преобразование действительно только для предложений E и I : [6]
Действительность простого преобразования только для предложений E и I может быть выражена ограничением, что «Ни один термин не должен быть распределён в обратном предложении, которое не было бы распределёно в преобразуемом». [7] Для предложений E и подлежащее, и предикат являются распределёнными , тогда как для предложений I ни то, ни другое не являются распределёнными.
Для предложений A субъект распределен, а предикат — нет, и поэтому вывод из утверждения A к его обратному утверждению недействителен. Например, для предложения A «Все кошки — млекопитающие» обратное утверждение «Все млекопитающие — кошки» очевидно ложно. Однако более слабое утверждение «Некоторые млекопитающие — кошки» истинно. Логики определяют преобразование per accidens как процесс получения этого более слабого утверждения. Вывод из утверждения к его обратному per accidens , как правило, действителен. Однако, как и в случае с силлогизмами , этот переход от всеобщего к частному вызывает проблемы с пустыми категориями: «Все единороги — млекопитающие» часто принимается за истину, в то время как обратное per accidens «Некоторые млекопитающие — единороги» явно ложно.
В исчислении предикатов первого порядка утверждение «Все S суть P» можно представить как [8] . Поэтому ясно, что категориальное обратное утверждение тесно связано с импликационным обратным утверждением, и что S и P нельзя поменять местами в утверждении «Все S суть P» .
