Тонкий кардинал

В математике тонкие кардинальные числа и эфирные кардинальные числа являются тесно связанными видами больших кардинальных чисел.

Кардинал называется тонким, если для любого замкнутого и неограниченного и для любой последовательности длины такой, что для всех (где - -й элемент), существуют , принадлежащие , причем , такие, что . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subset \kappa }$ ${\displaystyle (A_{\delta })_{\delta <\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A_{\delta }\subset \delta }$ ${\displaystyle \delta <\kappa }$ ${\displaystyle A_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle A_{\alpha }=A_{\beta }\cap \alpha }$

Кардинал называется эфирным, если для любого замкнутого и неограниченного и для любой последовательности длины такой, что и имеет ту же мощность, что и для произвольного , существуют , принадлежащие , причем , такие, что . ^[1] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subset \kappa }$ ${\displaystyle (A_{\delta })_{\delta <\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A_{\delta }\subset \delta }$ ${\displaystyle A_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta <\kappa }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle {\textrm {card}}(\alpha )=\mathrm {card} (A_{\beta }\cup A_{\alpha })}$

Тонкие кардиналы были введены Йенсеном и Куненом (1969). Эфирные кардиналы были введены Кетоненом (1974). Любой тонкий кардинал является эфирным, ^{[1] стр. 388} и любой строго недоступный эфирный кардинал является тонким. ^{[1] стр. 391}

Характеристика

Известны некоторые свойства, эквивалентные тонкости.

Связь с принципом Вопенки

Тонкие кардиналы эквивалентны слабой форме кардиналов Вопенки . А именно, недоступный кардинал является тонким тогда и только тогда, когда в , любая логика имеет стационарно много слабых кардиналов компактности. ^[2] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa +1}}$

Сам принцип Вопенки можно сформулировать как существование сильного кардинала компактности для каждой логики.

Цепи в транзитивных множествах

Существует тонкий кардинал тогда и только тогда, когда каждое транзитивное множество мощности содержит и такое, что является собственным подмножеством и и . ^{[3] Следствие 2.6} Бесконечный ординал является тонким тогда и только тогда, когда для каждого , каждое транзитивное множество мощности включает цепочку (по включению) типа порядка . ${\displaystyle \leq \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x\neq \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda }$

Расширения

Гипертонкий кардинал — это тонкий кардинал, который имеет стационарный набор тонких кардиналов ниже себя. ^{[4] стр.1014}

Смотрите также

• Список крупных кардинальных свойств

Ссылки

• Фридман, Харви (2001), «Тонкие кардиналы и линейные упорядочения», Annals of Pure and Applied Logic , 107 (1–3): 1–34, doi : 10.1016/S0168-0072(00)00019-1
• Йенсен, Р. Б.; Кунен, К. (1969), Некоторые комбинаторные свойства L и V, неопубликованная рукопись

Цитаты

1. Кетонен, Юсси (1974), "Некоторые комбинаторные принципы" (PDF) , Труды Американского математического общества , 188 , Труды Американского математического общества, т. 188: 387–394, doi : 10.2307/1996785 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1996785, MR  0332481
2. W. Boney, S. Dimopoulos, V. Gitman, M. Magidor «Повторный взгляд на модельно-теоретические характеристики больших кардиналов»
3. Х. Фридман , «Результаты примитивной независимости» (2002). Доступ 18 апреля 2024 г.
4. C. Henrion, «Свойства тонких кардиналов. Журнал символической логики, т. 52, № 4 (1987), стр. 1005–1019».