Эффект бабочки

Идея о том, что малые причины могут иметь большие последствия

График странного аттрактора Лоренца для значений ρ = 28, σ = 10, β = 8/3. Эффект бабочки или чувствительная зависимость от начальных условий — это свойство динамической системы , при котором, начиная с любого из различных произвольно близких альтернативных начальных условий на аттракторе, итерируемые точки будут произвольно разнесены друг от друга.

Экспериментальная демонстрация эффекта бабочки с шестью записями одного и того же двойного маятника . В каждой записи маятник стартует с почти одинаковым начальным состоянием. Со временем различия в динамике растут от почти незаметных до радикальных.

В теории хаоса эффект бабочки представляет собой чувствительную зависимость от начальных условий , при которой небольшое изменение в одном состоянии детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в последующем состоянии.

Термин тесно связан с работой математика и метеоролога Эдварда Нортона Лоренца . Он отметил, что эффект бабочки выводится из примера деталей торнадо ( точного времени формирования, точного пути), на которые влияют незначительные возмущения, такие как взмах крыльев далекой бабочки несколькими неделями ранее. Лоренц изначально использовал чайку, вызывающую шторм, но к 1972 году его убедили сделать это более поэтичным с использованием бабочки и торнадо. ^{[1] [2]} Он обнаружил эффект, когда наблюдал за прогонами своей погодной модели с начальными данными, которые были округлены, казалось бы, несущественным образом. Он отметил, что погодная модель не сможет воспроизвести результаты прогонов с неокругленными начальными данными. Очень небольшое изменение начальных условий создало существенно иной результат. ^[3]

Идея о том, что малые причины могут иметь большие последствия для погоды, ранее была признана французским математиком и физиком Анри Пуанкаре . Американский математик и философ Норберт Винер также внес свой вклад в эту теорию. Работа Лоренца поместила концепцию нестабильности земной атмосферы на количественную основу и связала концепцию нестабильности со свойствами больших классов динамических систем, которые подвергаются нелинейной динамике и детерминированному хаосу . ^[4]

С тех пор концепция эффекта бабочки используется вне контекста метеорологии как широкий термин для обозначения любой ситуации, в которой небольшое изменение предположительно может стать причиной более масштабных последствий.

История

В труде «Призвание человека» (1800) Иоганн Готлиб Фихте говорит: «Нельзя сдвинуть ни одной песчинки с места, не изменив при этом... чего-то во всех частях неизмеримого целого».

Теория хаоса и чувствительная зависимость от начальных условий были описаны в многочисленных формах литературы. Об этом свидетельствует случай задачи трех тел Пуанкаре в 1890 году. ^[5] Позднее он предположил, что такие явления могут быть обычными, например, в метеорологии. ^[6]

В 1898 году Жак Адамар отметил общую расходимость траекторий в пространствах отрицательной кривизны. Пьер Дюгем обсуждал возможное общее значение этого в 1908 году. ^[5]

В 1950 году Алан Тьюринг заметил: «Смещение одного электрона на миллиардную долю сантиметра в один момент может иметь решающее значение для человека, погибнет ли он под лавиной год спустя или спасется». ^[7]

Идея о том, что смерть одной бабочки может в конечном итоге иметь далеко идущие последствия для последующих исторических событий, впервые появилась в рассказе Рэя Брэдбери « И грянул гром » 1952 года . В рассказе «И грянул гром» описывается путешествие во времени. ^[8]

Но если говорить точнее, то почти точная идея и точная формулировка — о крыле крошечного насекомого, влияющем на все ветры атмосферы — были опубликованы в детской книге, которая стала чрезвычайно успешной и известной во всем мире в 1962 году, за год до публикации Лоренца:

«...все, что мы делаем, влияет на все и всех, пусть даже и самым незначительным образом. Ведь когда муха машет крыльями, ветерок облетает весь мир».

-- Принцесса Чистого Разума

—  Нортон Джастер, «Призрачная будка для взимания платы»

В 1961 году Лоренц запускал численную компьютерную модель, чтобы переделать прогноз погоды из середины предыдущего запуска в качестве сокращения. Он ввел начальное условие 0,506 из распечатки вместо ввода значения полной точности 0,506127. Результатом стал совершенно другой погодный сценарий. ^[9]

Лоренц написал:

В какой-то момент я решил повторить некоторые вычисления, чтобы более подробно изучить происходящее. Я остановил компьютер, ввел строку чисел, которые он распечатал некоторое время назад, и снова запустил его. Я спустился в холл за чашкой кофе и вернулся примерно через час, за это время компьютер смоделировал около двух месяцев погоды. Распечатанные числа были совсем не похожи на старые. Я сразу же заподозрил слабую электронную лампу или какую-то другую проблему с компьютером, что было не редкостью, но перед тем, как позвонить в сервис, я решил посмотреть, где именно произошла ошибка, зная, что это может ускорить процесс обслуживания. Вместо внезапного сбоя я обнаружил, что новые значения сначала повторяли старые, но вскоре после этого отличались на одну, а затем на несколько единиц в последнем [десятичном] разряде, а затем начали отличаться в предпоследнем разряде, а затем и в разряде перед ним. Фактически, различия более или менее стабильно удваивались каждые четыре дня или около того, пока все сходство с исходным выводом не исчезло где-то во втором месяце. Этого было достаточно, чтобы понять, что произошло: числа, которые я ввел, не были точными исходными числами, а округленными значениями, которые появились в исходной распечатке. Первоначальные ошибки округления были виновниками; они неуклонно усиливались, пока не стали доминировать в решении.

—  EN Lorenz, The Essence of Chaos , U. Washington Press, Сиэтл (1993), стр. 134 ^[10]

В 1963 году Лоренц опубликовал теоретическое исследование этого эффекта в часто цитируемой основополагающей статье под названием «Детерминированный непериодический поток» ^{[3] [11]} (расчеты выполнялись на компьютере Royal McBee LGP-30 ). ^{[12] [13]} В другом месте он заявил:

Один метеоролог заметил, что если бы теория была верна, одного взмаха крыльев чайки было бы достаточно, чтобы изменить ход погоды навсегда. Спор еще не улажен, но последние доказательства, похоже, говорят в пользу чаек. ^[13]

Следуя предложениям коллег, в более поздних выступлениях и статьях Лоренц использовал более поэтичное слово «бабочка» . По словам Лоренца, когда он не смог придумать название для доклада, который он должен был представить на 139-м заседании Американской ассоциации содействия развитию науки в 1972 году, Филипп Мерилеес придумал название « Вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?» . ^[1] Хотя бабочка, взмахивающая крыльями, оставалась постоянной в выражении этой концепции, местоположение бабочки, последствия и местоположение последствий сильно различались. ^[14]

Фраза относится к эффекту крыльев бабочки, создающих крошечные изменения в атмосфере , которые в конечном итоге могут изменить путь торнадо или задержать, ускорить или даже предотвратить возникновение торнадо в другом месте. Бабочка не приводит в действие и не создает торнадо напрямую, но этот термин подразумевает, что взмах крыльев бабочки может вызвать торнадо: в том смысле, что взмах крыльев является частью начальных условий взаимосвязанной сложной сети; один набор условий приводит к торнадо, а другой — нет. Взмах крыльев создает небольшое изменение в начальном состоянии системы, которое каскадом приводит к крупномасштабным изменениям событий (сравните: эффект домино ). Если бы бабочка не взмахнула крыльями, траектория системы могла бы быть совершенно иной, но также возможно, что набор условий без взмахов крыльев бабочки является набором, который приводит к торнадо.

Эффект бабочки представляет собой очевидную проблему для прогнозирования, поскольку начальные условия для такой системы, как погода, никогда не могут быть известны с полной точностью. Эта проблема побудила к развитию ансамблевого прогнозирования , в котором ряд прогнозов делается из возмущенных начальных условий. ^[15]

Некоторые ученые с тех пор утверждают, что погодная система не так чувствительна к начальным условиям, как считалось ранее. ^[16] Дэвид Оррелл утверждает, что основным фактором, влияющим на ошибку прогноза погоды, является ошибка модели, а чувствительность к начальным условиям играет относительно небольшую роль. ^{[17] [18]} Стивен Вольфрам также отмечает, что уравнения Лоренца сильно упрощены и не содержат членов, представляющих вязкие эффекты; он считает, что эти члены будут иметь тенденцию гасить небольшие возмущения. ^[19] Недавние исследования с использованием обобщенных моделей Лоренца , которые включают дополнительные диссипативные члены и нелинейность, показали, что для возникновения хаоса требуется больший параметр нагрева. ^[20]

Хотя «эффект бабочки» часто объясняется как синоним чувствительной зависимости от начальных условий, описанной Лоренцем в его статье 1963 года (и ранее наблюдавшейся Пуанкаре), метафора бабочки была первоначально применена ^[1] к работе, опубликованной им в 1969 году ^[21], которая продвинула эту идею на шаг дальше. Лоренц предложил математическую модель того, как крошечные движения в атмосфере масштабируются, чтобы повлиять на более крупные системы. Он обнаружил, что системы в этой модели могут быть предсказаны только до определенной точки в будущем, и после этого уменьшение ошибки в начальных условиях не увеличит предсказуемость (пока ошибка не равна нулю). Это показало, что детерминированная система может быть «наблюдательно неотличима» от недетерминированной с точки зрения предсказуемости. Недавние повторные проверки этой статьи показывают, что она предложила значительный вызов идее о том, что наша Вселенная детерминирована, сопоставимый с вызовами, предлагаемыми квантовой физикой. ^{[22] [23]}

В книге под названием «Сущность хаоса» , опубликованной в 1993 году, ^[24] Лоренц определил эффект бабочки как: «Явление, при котором небольшое изменение состояния динамической системы приведет к тому, что последующие состояния будут сильно отличаться от состояний, которые последовали бы без изменения». Эта особенность совпадает с чувствительной зависимостью решений от начальных условий (SDIC) в . ^[3] В той же книге Лоренц применил деятельность лыжного спорта и разработал идеализированную модель лыжного спорта для выявления чувствительности изменяющихся во времени траекторий к начальным положениям. Горизонт предсказуемости определяется до наступления SDIC. ^[25]

Иллюстрации

Теория и математическое определение

Повторяемость , приблизительное возвращение системы к ее начальным условиям, вместе с чувствительной зависимостью от начальных условий, являются двумя основными ингредиентами хаотического движения. Они имеют практическое последствие, делая сложные системы , такие как погода , трудно предсказуемыми за пределами определенного временного диапазона (приблизительно неделя в случае погоды), поскольку невозможно измерить начальные атмосферные условия совершенно точно.

Динамическая система проявляет чувствительную зависимость от начальных условий, если точки, произвольно близкие друг к другу, разделяются с течением времени с экспоненциальной скоростью. Определение не топологическое, а по сути метрическое. Лоренц ^[24] определил чувствительную зависимость следующим образом:

Свойство, характеризующее орбиту (т. е. решение), если большинство других орбит, проходящих близко к ней в какой-то момент, не остаются близкими к ней с течением времени.

Если M — пространство состояний для отображения , то демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий, если для любого x в M и любого δ > 0 существуют y в M с расстоянием d (. , .) таким, что и таким, что ${\displaystyle f^{t}}$ ${\displaystyle f^{t}}$ ${\displaystyle 0<d(x,y)<\delta }$

${\displaystyle d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)}$

для некоторого положительного параметра a . Определение не требует, чтобы все точки из окрестности были отделены от базовой точки x , но оно требует одного положительного показателя Ляпунова . В дополнение к положительному показателю Ляпунова, ограниченность является еще одной важной особенностью в хаотических системах. ^[26]

Простейшая математическая структура, демонстрирующая чувствительную зависимость от начальных условий, обеспечивается конкретной параметризацией логистического отображения :

${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,}$

которая, в отличие от большинства хаотических отображений, имеет решение в замкнутой форме :

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

где начальный параметр условия задается как . Для рационального , после конечного числа итераций отображается в периодическую последовательность . Но почти все являются иррациональными, а для иррационального , никогда не повторяется – он непериодический. Это уравнение решения наглядно демонстрирует две ключевые особенности хаоса – растяжение и сворачивание: множитель 2 ⁿ показывает экспоненциальный рост растяжения, что приводит к чувствительной зависимости от начальных условий (эффект бабочки), в то время как квадрат синусоидальной функции сохраняет свернутость в диапазоне [0, 1]. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

В физических системах

В погоде

Обзор

Эффект бабочки наиболее известен в плане погоды; его можно легко продемонстрировать в стандартных моделях прогнозирования погоды, например. Климатологи Джеймс Аннан и Уильям Коннолли объясняют, что хаос важен в разработке методов прогнозирования погоды; модели чувствительны к начальным условиям. Они добавляют оговорку: «Разумеется, существование неизвестной бабочки, хлопающей крыльями, не имеет прямого отношения к прогнозам погоды, поскольку потребуется слишком много времени, чтобы такое небольшое возмущение выросло до значительных размеров, и у нас есть еще много непосредственных неопределенностей, о которых нужно беспокоиться. Поэтому прямое влияние этого явления на прогнозирование погоды часто оказывается несколько неверным». ^[27]

Различение типов эффектов бабочки

Концепция эффекта бабочки охватывает несколько явлений. Два вида эффектов бабочки, включая чувствительную зависимость от начальных условий ^[3] и способность крошечного возмущения создавать организованную циркуляцию на больших расстояниях ^[1] , не совсем одинаковы. ^[28] В работе Палмера и др. ^[22] представлен новый тип эффекта бабочки, подчеркивающий потенциальное влияние мелкомасштабных процессов на конечную предсказуемость в модели Лоренца 1969 года. Кроме того, выявление плохо обусловленных аспектов модели Лоренца 1969 года указывает на практическую форму конечной предсказуемости. ^[25] Эти два различных механизма, предполагающие конечную предсказуемость в модели Лоренца 1969 года, в совокупности называются третьим видом эффекта бабочки. ^[29] Авторы работы ^[29] рассмотрели предложения Палмера и др. и стремились представить свою точку зрения, не выдвигая конкретных аргументов.

Третий вид эффекта бабочки с конечной предсказуемостью, как обсуждалось в ^[22], был изначально предложен на основе сходящейся геометрической серии, известной как формулы Лоренца и Лилли. Продолжающиеся дискуссии касаются обоснованности этих двух формул для оценки пределов предсказуемости в ^{[30] .}

Было задокументировано сравнение двух видов эффектов бабочки ^{[1] [3]} и третьего вида эффекта бабочки ^{[21] [22] [23] . [29]} В недавних исследованиях ^{[25] [31]} сообщалось, что как метеорологические, так и неметеорологические линейные модели показали, что нестабильность играет роль в возникновении эффекта бабочки, который характеризуется кратковременным, но значительным экспоненциальным ростом в результате небольшого возмущения.

Недавние дебаты об эффекте бабочки

Первый вид эффекта бабочки (BE1), известный как SDIC (чувствительная зависимость от начальных условий), широко признан и продемонстрирован с помощью идеализированных хаотических моделей. Однако мнения расходятся относительно второго вида эффекта бабочки, в частности, влияния взмахов крыльев бабочки на формирование торнадо, как указано в двух статьях 2024 года. ^{[32] [33]} В более поздних обсуждениях, опубликованных Physics Today , ^{[34] [35]} признается, что второй вид эффекта бабочки (BE2) никогда не был строго проверен с использованием реалистичной модели погоды. Хотя исследования показывают, что BE2 маловероятен в реальной атмосфере, ^{[32] [34]} его недействительность в этом контексте не отрицает применимости BE1 в других областях, таких как пандемии или исторические события. ^[36]

Для третьего типа эффекта бабочки ограниченная предсказуемость в модели Лоренца 1969 объясняется масштабными взаимодействиями в одной статье ^[22] и плохой обусловленностью системы в другом более позднем исследовании. ^[25]

Конечная предсказуемость в хаотических системах

Согласно Лайтхиллу (1986), ^[37] наличие SDIC (широко известного как эффект бабочки) подразумевает, что хаотические системы имеют конечный предел предсказуемости. В обзоре литературы ^[38] было обнаружено, что точка зрения Лоренца на предел предсказуемости может быть сжата в следующее утверждение:

• (A). Модель Лоренца 1963 года качественно раскрыла сущность конечной предсказуемости в хаотической системе, такой как атмосфера. Однако она не определила точного предела предсказуемости атмосферы.
• (B). В 1960-х годах предел предсказуемости в две недели первоначально оценивался на основе времени удвоения в пять дней в моделях реального мира. С тех пор этот вывод был задокументирован в работе Чарни и др. (1966) ^{[39] [40]} и стал консенсусом.

Недавно был создан короткий видеоролик, представляющий точку зрения Лоренца на предел предсказуемости. ^[41]

Недавнее исследование ссылается на двухнедельный предел предсказуемости, первоначально рассчитанный в 1960-х годах с пятидневным временем удвоения модели Минца-Аракавы, как на «гипотезу предела предсказуемости». ^[42] Вдохновленный законом Мура, этот термин признает совместный вклад Лоренца, Минца и Аракавы под руководством Чарни. Гипотеза поддерживает исследование предсказаний в расширенном диапазоне с использованием как физических методов, основанных на частных дифференциальных уравнениях (PDE), так и методов искусственного интеллекта (ИИ).

Пересмотренные взгляды на хаотические и нехаотические системы

Выявив сосуществующие хаотические и нехаотические аттракторы в моделях Лоренца, Шен и его коллеги предложили пересмотренную точку зрения, согласно которой «погода обладает хаосом и порядком», в отличие от общепринятой точки зрения «погода хаотична». ^{[43] [44] [45]} В результате чувствительная зависимость от начальных условий (SDIC) проявляется не всегда. А именно, SDIC проявляется, когда две орбиты (т. е. решения) становятся хаотическим аттрактором; она не проявляется, когда две орбиты движутся к одному и тому же точечному аттрактору. Приведенная выше анимация для движения двойного маятника дает аналогию. При больших углах качания движение маятника часто хаотично. ^{[46] [47]} Для сравнения, при малых углах качания движения нехаотичны. Мультистабильность определяется, когда система (например, система двойного маятника ) содержит более одного ограниченного аттрактора, который зависит только от начальных условий. Мультистабильность была проиллюстрирована с использованием каякинга на рисунке справа (т. е. рисунок 1 из ^[48] ), где появление сильных течений и застойной области предполагает нестабильность и локальную устойчивость соответственно. В результате, когда две байдарки движутся вдоль сильных течений, их пути демонстрируют SDIC. С другой стороны, когда две байдарки движутся в застойную область, они оказываются в ловушке, не показывая типичного SDIC (хотя может возникнуть хаотический переходный процесс). Такие особенности SDIC или отсутствия SDIC предполагают два типа решений и иллюстрируют природу мультистабильности.

Принимая во внимание изменяющуюся во времени мультистабильность, связанную с модуляцией крупномасштабных процессов (например, сезонного воздействия) и совокупной обратной связью мелкомасштабных процессов (например, конвекции), приведенное выше пересмотренное представление уточняется следующим образом:

«Атмосфера обладает хаосом и порядком; она включает в себя, в качестве примеров, возникающие организованные системы (такие как торнадо) и изменяющиеся во времени воздействия повторяющихся сезонов». ^{[48] [49]}

В квантовой механике

Потенциал чувствительной зависимости от начальных условий (эффект бабочки) изучался в ряде случаев в полуклассической и квантовой физике , включая атомы в сильных полях и анизотропную задачу Кеплера . ^{[50] [51]} Некоторые авторы утверждали, что экстремальная (экспоненциальная) зависимость от начальных условий не ожидается в чисто квантовых трактовках; ^{[52] [53]} однако чувствительная зависимость от начальных условий, продемонстрированная в классическом движении, включена в полуклассические трактовки, разработанные Мартином Гуцвиллером ^[54] и Джоном Б. Делосом и их коллегами. ^[55] Теория случайных матриц и моделирование с помощью квантовых компьютеров доказывают, что некоторые версии эффекта бабочки в квантовой механике не существуют. ^[56]

Другие авторы предполагают, что эффект бабочки можно наблюдать в квантовых системах. Збышек П. Каркушевски и др. рассматривают временную эволюцию квантовых систем, которые имеют немного разные гамильтонианы . Они исследуют уровень чувствительности квантовых систем к небольшим изменениям в их заданных гамильтонианах. ^[57] Дэвид Пулен и др. представили квантовый алгоритм для измерения распада точности, который «измеряет скорость, с которой идентичные начальные состояния расходятся при воздействии немного разной динамики». Они считают распад точности «ближайшим квантовым аналогом (чисто классического) эффекта бабочки». ^[58] В то время как классический эффект бабочки рассматривает эффект небольшого изменения положения и/или скорости объекта в заданной гамильтоновой системе , квантовый эффект бабочки рассматривает эффект небольшого изменения в гамильтоновой системе с заданным начальным положением и скоростью. ^{[59] [60]} Этот квантовый эффект бабочки был продемонстрирован экспериментально. ^[61] Квантовые и полуклассические трактовки чувствительности системы к начальным условиям известны как квантовый хаос . ^{[52] [59]}

В популярной культуре

Эффект бабочки проявился в таких областях, как литература (например, «И грянул гром» ), фильмы и телевидение (например, «Симпсоны» ), видеоигры (например, «Life Is Strange» ), веб-комиксы (например , «Homestuck »), расширяющиеся языковые модели, управляемые искусственным интеллектом, и многое другое.

Смотрите также

• Эффект лавины
• Поведенческий пик
• Каскадный отказ
• Теория катастроф
• Причинность
• Цепная реакция
• Клапотис
• Детерминизм
• Эффект домино
• Динамическая система
• Фрактал
• Великий спор о стремени
• Инновационная бабочка
• синдром Кесслера
• Купол Нортона
• Численный анализ
• Точка расхождения
• Положительный отзыв
• Потенциальность и действительность
• Эвристика репрезентативности
• Эффект ряби
• Эффект снежного кома
• Пробки на дорогах
• Тропический циклогенез
• Непредвиденные последствия

Ссылки

1. «Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 23 декабря 2021 .
2. «Когда Лоренц открыл эффект бабочки». 22 мая 2015 г. Получено 23 декабря 2021 г.
3. Лоренц, Эдвард Н. (март 1963 г.). "Детерминированный непериодический поток". Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. Bibcode :1963JAtS...20..130L. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:dnf>2.0.co;2 .
4. Рувас-Николис, Кэтрин; Николис, Грегуар (4 мая 2009 г.). "Эффект бабочки". Scholarpedia . Том 4. стр. 1720. Bibcode : 2009SchpJ...4.1720R. doi : 10.4249/scholarpedia.1720 . Архивировано из оригинала 2016-01-02 . Получено 2016-01-02 .
5. Некоторые исторические заметки: История теории хаоса Архивировано 19 июля 2006 г. на Wayback Machine
6. Стивс, Бонни; Мациевски, А.Дж. (сентябрь 2001 г.). The Restless Universe Applications of Gravitational N-Body Dynamics to Planetary Stellar and Galactic Systems. США: CRC Press. ISBN 0750308222. Получено 6 января 2014 г. .
7. Вычислительная техника и интеллект
8. Флам, Фэй (2012-06-15). "Физика "Звука грома" Рэя Брэдбери". The Philadelphia Inquirer . Архивировано из оригинала 2015-09-24 . Получено 2015-09-02 .
9. Глейк, Джеймс (1987). Хаос: Создание новой науки . Viking. стр. 16. ISBN 0-8133-4085-3.
10. Motter, Adilson E.; Campbell, David K. (2013). «Хаос в пятьдесят». Physics Today . 66 (5): 27–33. arXiv : 1306.5777 . Bibcode : 2013PhT....66e..27M. doi : 10.1063/PT.3.1977. S2CID  54005470.
11. Запись цитирования Google Scholar
12. "Part19". Cs.ualberta.ca. 1960-11-22. Архивировано из оригинала 2009-07-17 . Получено 2014-06-08 .
13. Lorenz, Edward N. (1963). "The Predictability of Hydrodynamic Flow" (PDF) . Transactions of the New York Academy of Sciences . 25 (4): 409–432. doi :10.1111/j.2164-0947.1963.tb01464.x. Архивировано (PDF) из оригинала 10 октября 2014 г. . Получено 1 сентября 2014 г. .
14. "The Butterfly Effects: Variations on a Meme". AP42 ...и всё остальное . Архивировано из оригинала 11 ноября 2011 года . Получено 3 августа 2011 года .
15. Вудс, Остин (2005). Среднесрочное прогнозирование погоды: Европейский подход; История Европейского центра среднесрочных прогнозов погоды . Нью-Йорк: Springer. С. 118. ISBN 978-0387269283.
16. Оррелл, Дэвид; Смит, Леонард; Баркмейер, Ян; Палмер, Тим (2001). «Ошибка модели в прогнозировании погоды». Нелинейные процессы в геофизике . 9 (6): 357–371. Bibcode :2001NPGeo...8..357O. doi : 10.5194/npg-8-357-2001 .
17. Оррелл, Дэвид (2002). «Роль метрики в росте ошибок прогноза: насколько хаотична погода?». Tellus . 54A (4): 350–362. Bibcode : 2002TellA..54..350O. doi : 10.3402/tellusa.v54i4.12159 .
18. Оррелл, Дэвид (2012). Истина или красота: наука и поиски порядка . Нью-Хейвен: Yale University Press. стр. 208. ISBN 978-0300186611.
19. Вольфрам, Стивен (2002). Новый вид науки . Wolfram Media. стр. 998. ISBN 978-1579550080.
20. Шен, Бо-Вен (2019). «Агрегированная отрицательная обратная связь в обобщенной модели Лоренца». Международный журнал бифуркации и хаоса . 29 (3): 1950037–1950091. Bibcode : 2019IJBC...2950037S. doi : 10.1142/S0218127419500378 . S2CID  132494234.
21. Lorenz, Edward N. (июнь 1969). «Предсказуемость потока, обладающего множеством масштабов движения». Tellus . XXI (3): 289–297. Bibcode :1969Tell...21..289L. doi :10.1111/j.2153-3490.1969.tb00444.x.
22. Тим, Палмер (19 мая 2017 г.). «Эффект бабочки – что он на самом деле означает?». Канал на YouTube Оксфордского университета . Архивировано из оригинала 2021-10-31 . Получено 13 февраля 2019 г.
23. Emanuel, Kerry (26 марта 2018 г.). «Эдвард Н. Лоренц и конец декартовой Вселенной». Канал Youtube кафедры наук о Земле, атмосфере и планетах Массачусетского технологического института . Архивировано из оригинала 2021-10-31 . Получено 13 февраля 2019 г.
24. Лоренц, Эдвард Н. (1993). Сущность хаоса. Лондон: UCL Press. ISBN 0-203-21458-7. OCLC  56620850.
25. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин (2022-05-07). «Одна седловая точка и два типа чувствительности в моделях Лоренца 1963 и 1969 годов». Атмосфера . 13 (5): 753. Bibcode : 2022Atmos..13..753S. doi : 10.3390/atmos13050753 . ISSN  2073-4433.
26. W., Jordan, Dominic (2011). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: введение для ученых и инженеров. Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-920825-8. OCLC  772641393.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
27. "Хаос и климат". RealClimate. 4 ноября 2005 г. Архивировано из оригинала 2014-07-02 . Получено 2014-06-08 .
28. Шен, Бо-Вен (2014-05-01). «Нелинейная обратная связь в пятимерной модели Лоренца». Журнал атмосферных наук . 71 (5): 1701–1723. Bibcode :2014JAtS...71.1701S. doi :10.1175/JAS-D-13-0223.1. ISSN  0022-4928. S2CID  123683839.
29. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Цуй, Цзялинь; Фаги-Наини, Сара; Паксон, Вэй; Атлас, Роберт (2022-07-04). "Три вида эффектов бабочки в моделях Лоренца". Энциклопедия . 2 (3): 1250–1259. doi : 10.3390/encyclopedia2030084 . ISSN  2673-8392.
30. Шен, Бо-Вен; Пильке-старший, Роджер; Цзэн, Сюбин (2024-07-24). «Пересмотр эмпирических формул Лоренца и Лилли для оценок предсказуемости». EGUsphere : 1–0. doi :10.13140/RG.2.2.32941.15849.
31. Сайки, Ёситака; Йорк, Джеймс А. (2023-05-02). «Может ли взмах крыльев бабочки переместить торнадо в Техас — без хаоса?». Атмосфера . 14 (5): 821. Bibcode : 2023Atmos..14..821S. doi : 10.3390/atmos14050821 . ISSN  2073-4433.
32. Pielke Sr., Roger; Shen, Bo-Wen; Zeng, Xubin (2024-05-01). «Эффект бабочки: может ли бабочка в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». Weatherwise . 77 (3): 14–18. doi :10.1080/00431672.2024.2329521.
33. Палмер, Тим (2024-05-01). «Настоящий эффект бабочки и червивые яблоки». Physics Today . 77 (5): 30–35. Bibcode : 2024PhT....77e..30P. doi : 10.1063/pt.eike.hsbz . ISSN  0031-9228.
34. Pielke, Roger A.; Shen, Bo-Wen; Zeng, Xubin (2024-09-01). "Эффекты бабочки". Physics Today . 77 (9): 10. Bibcode : 2024PhT....77Q..10P. doi : 10.1063/pt.ifge.djjy . ISSN  0031-9228.
35. Палмер, Тим (01.09.2024). «Эффекты бабочки». Physics Today . 77 (9): 10. Bibcode : 2024PhT....77R..10P. doi : 10.1063/pt.oktn.zdwa. ISSN  0031-9228.
36. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер; Сюбинь Цзэн (2024-09-02). «Краткое изложение двух видов эффектов бабочки». Технический отчет . doi :10.13140/RG.2.2.32401.24163.
37. Лайтхилл, Джеймс (1986-09-08). «Недавно признанный провал предсказуемости в ньютоновской динамике». Труды Лондонского королевского общества. A. Mathematical and Physical Sciences . 407 (1832): 35–50. Bibcode : 1986RSPSA.407...35L. doi : 10.1098/rspa.1986.0082. ISSN  0080-4630. S2CID  86552243.
38. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Цзэн, Сипин (2023-07-22). «Взгляд Лоренца на предел предсказуемости атмосферы». Энциклопедия . 3 (3): 887–899. doi : 10.3390/encyclopedia3030063 . ISSN  2673-8392. В данной статье использован текст из этого источника, доступный по лицензии CC BY 4.0.
39. Возможность проведения глобального эксперимента по наблюдению и анализу. 1966-01-01. doi :10.17226/21272. ISBN 978-0-309-35922-1.
40. GARP (1969-03-01). "Руководство по GARP". Bull. Amer. Meteor. Soc . 50 (3): 136–141. Bibcode :1969BAMS...50..136.. doi : 10.1175/1520-0477-50.3.136 .
41. Шэнь, Бо-Вэнь; Пильке, старший, Роджер; Цзэн, Сюбинь; Цзэн, Сипин (2023-09-13). "Взгляд Лоренца на предел предсказуемости". Encyclopedia pub . Получено 2023-09-13 .
42. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Цзэн, Сипин (2024-07-16). «Изучение происхождения предела двухнедельной предсказуемости: пересмотр исследований предсказуемости Лоренца в 1960-х годах». Атмосфера . 15 (7): 837. Bibcode : 2024Atmos..15..837S. doi : 10.3390/atmos15070837 . ISSN  2073-4433.
43. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Байк, Чон-Джин; Фаги-Наини, Сара; Куй, Цзялинь; Атлас, Роберт (01.01.2021). «Является ли погода хаотичной?: Сосуществование хаоса и порядка в рамках обобщенной модели Лоренца». Бюллетень Американского метеорологического общества . 102 (1): E148–E158. Bibcode : 2021BAMS..102E.148S. doi : 10.1175/BAMS-D-19-0165.1 . ISSN  0003-0007. S2CID  208369617.
44. Шен, Бо-Вен; Пильке, РА-старший; Цзэн, X.; Байк, Дж.-Дж.; Фаги-Наини, С.; Куй, Дж.; Атлас, Р.; Рейес, ТАЛ (2021). «Является ли погода хаотичной? Сосуществование хаотических и нехаотических аттракторов в моделях Лоренца». В Skiadas, Христос Х.; Димотикалис, Яннис (ред.). 13-я Международная конференция по хаотическому моделированию и имитации . Труды Springer по сложности. Cham: Springer International Publishing. стр. 805–825. doi :10.1007/978-3-030-70795-8_57. ISBN 978-3-030-70795-8. S2CID  245197840.
45. Антес, Ричард А. (14.08.2022). «Предсказуемость и предсказания». Атмосфера . 13 (8): 1292. Bibcode : 2022Atmos..13.1292A. doi : 10.3390/atmos13081292 . ISSN  2073-4433.
46. Рихтер, PH; Шольц, H.-J. (1984), "Хаос в классической механике: двойной маятник", Стохастические явления и хаотическое поведение в сложных системах , Springer Series in Synergetics, т. 21, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 86–97, doi :10.1007/978-3-642-69591-9_9, ISBN 978-3-642-69593-3, получено 2022-07-11
47. Shinbrot, Troy, Celso A Grebogi, Jack Wisdom, James A Yorke (1992). «Хаос в двойном маятнике». American Journal of Physics . 60 (6): 491–499. Bibcode : 1992AmJPh..60..491S. doi : 10.1119/1.16860.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
48. Shen, Bo-Wen; Pielke Sr., Roger Pielke; Zeng, Xubin; Cui, Jialin; Faghih-Naini, Sara; Paxson, Wei; Kesarkar, Amit; Zeng, Xiping; Atlas, Robert (12.11.2022). "Двойственная природа хаоса и порядка в атмосфере". Атмосфера . 13 (11): 1892. Bibcode : 2022Atmos..13.1892S. doi : 10.3390/atmos13111892 . ISSN  2073-4433. Текст скопирован из этого источника, который доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International.
49. Шен, Бо-Вен (21 февраля 2023 г.). «Исследование теории хаоса для моностабильности и мультистабильности». YouTube .
50. Хеллер, Э. Дж.; Томсович, С. (июль 1993 г.). «Постмодернистская квантовая механика». Physics Today . 46 (7): 38–46. Bibcode : 1993PhT....46g..38H. doi : 10.1063/1.881358.
51. Гуцвиллер, Мартин К. (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97173-4.
52. Rudnick, Ze'ev (январь 2008 г.). "Что такое... квантовый хаос?" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . Архивировано (PDF) из оригинала 2009-10-02.
53. Берри, Майкл (1989). «Квантовая хаология, а не квантовый хаос». Physica Scripta . 40 (3): 335–336. Bibcode : 1989PhyS...40..335B. doi : 10.1088/0031-8949/40/3/013. S2CID  250776260.
54. Гуцвиллер, Мартин К. (1971). «Периодические орбиты и классические условия квантования». Журнал математической физики . 12 (3): 343. Bibcode : 1971JMP....12..343G. doi : 10.1063/1.1665596.
55. Гао, Дж. и Делос, Дж. Б. (1992). «Теория осцилляций на замкнутых орбитах в сечениях атомного фотопоглощения в сильном электрическом поле. II. Вывод формул». Physical Review A. 46 ( 3): 1455–1467. Bibcode : 1992PhRvA..46.1455G. doi : 10.1103/PhysRevA.46.1455. PMID  9908268. S2CID  7877923.
56. Ян, Бин; Синицын, Николай А. (2020). «Восстановление поврежденной информации и несвоевременно упорядоченные корреляторы». Physical Review Letters . 125 (4): 040605. arXiv : 2003.07267 . Bibcode : 2020PhRvL.125d0605Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.125.040605. PMID  32794812. S2CID  212725801.
57. Каркушевский, Збышек П.; Яржинский, Кристофер; Журек, Войцех Х. (2002). «Квантовые хаотические среды, эффект бабочки и декогеренция». Physical Review Letters . 89 (17): 170405. arXiv : quant-ph/0111002 . Bibcode : 2002PhRvL..89q0405K. doi : 10.1103/PhysRevLett.89.170405. PMID  12398653. S2CID  33363344.
58. Пулен, Дэвид; Блюм-Кохаут, Робин; Лафламм, Рэймонд и Оливье, Гарольд (2004). «Экспоненциальное ускорение с одним битом квантовой информации: измерение ухудшения средней точности». Physical Review Letters . 92 (17): 177906. arXiv : quant-ph/0310038 . Bibcode : 2004PhRvL..92q7906P. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.177906. PMID  15169196. S2CID  6218604.
59. Poulin, David. "A Rough Guide to Quantum Chaos" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2010-11-04.
60. Перес, А. (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Дордрехт: Kluwer Academic.
61. Ли, Джэ-Сын и Хитрин, АК (2004). «Квантовый усилитель: измерение с запутанными спинами». Журнал химической физики . 121 (9): 3949–51. Bibcode : 2004JChPh.121.3949L. doi : 10.1063/1.1788661 . PMID  15332940.

Дальнейшее чтение

• Джеймс Глейк , Хаос: Создание новой науки , Нью-Йорк: Viking, 1987. 368 стр.
• Девани, Роберт Л. (2003). Введение в хаотические динамические системы . Westview Press. ISBN 0670811785.
• Хилборн, Роберт С. (2004). «Чайки, бабочки и кузнечики: краткая история эффекта бабочки в нелинейной динамике». American Journal of Physics . 72 (4): 425–427. Bibcode : 2004AmJPh..72..425H. doi : 10.1119/1.1636492.
• Брэдбери, Рэй. «Раскат грома». Collier's. 28 июня 1952 г.

Внешние ссылки

• Погода и хаос: работа Эдварда Н. Лоренца. Короткий документальный фильм, объясняющий «эффект бабочки» в контексте работы Лоренца.
• The Chaos Hypertextbook. Вводный курс по хаосу и фракталам.
• Дизикес, Питер (08.06.2008). «Значение бабочки. Почему поп-культура любит «эффект бабочки» и понимает его совершенно неправильно». The Boston Globe . Бостон, Массачусетс . Получено 19.06.2022 .
• Институт сложных систем Новой Англии - Концепции: Эффект бабочки
• ChaosBook.org. Расширенный учебник для выпускников по хаосу (без фракталов)
• Вайсштейн, Эрик В. «Эффект бабочки». MathWorld .