Продолжительность (финансы)

Взвешенный срок будущих денежных потоков

В финансах длительность финансового актива , состоящего из фиксированных денежных потоков , например, облигации , представляет собой средневзвешенное значение времени до получения этих фиксированных денежных потоков. Когда цена актива рассматривается как функция доходности , длительность также измеряет чувствительность цены к доходности, скорость изменения цены по отношению к доходности или процентное изменение цены для параллельного сдвига доходности. ^{[1] [2] [3]}

Двойное использование слова «дюрация» как средневзвешенного времени до погашения и как процентного изменения цены часто вызывает путаницу. Строго говоря, дюрация Маколея — это название, данное средневзвешенному времени до получения денежных потоков, и измеряется в годах. Модифицированная дюрация — это название, данное ценовой чувствительности. Она равна (-1) раз скорости изменения цены облигации как функции изменения ее доходности. ^[4]

Обе меры называются «дюрацией» и имеют одинаковое (или близкое к одинаковому) числовое значение, но важно помнить о концептуальных различиях между ними. ^[5] Дюрация Маколея — это мера времени с единицами в годах, которая действительно имеет смысл только для инструмента с фиксированными денежными потоками. Для стандартной облигации дюрация Маколея будет находиться в диапазоне от 0 до срока погашения облигации. Она равна сроку погашения, если и только если облигация является облигацией с нулевым купоном .

Модифицированная дюрация, с другой стороны, является математической производной (скоростью изменения) цены и измеряет процентную скорость изменения цены по отношению к доходности. (Чувствительность цены по отношению к доходности также может быть измерена в абсолютных ( доллар или евро и т. д.) терминах, а абсолютная чувствительность часто упоминается как долларовая (евро) дюрация, DV01, BPV или дельта (δ или Δ) риск). Концепция модифицированной дюрации может быть применена к инструментам, чувствительным к процентной ставке, с нефиксированными денежными потоками и, таким образом, может быть применена к более широкому спектру инструментов, чем дюрация Маколея. Модифицированная дюрация используется чаще, чем дюрация Маколея в современных финансах. ^[6]

Для повседневного использования равенство (или почти равенство) значений для Маколея и модифицированной дюрации может быть полезным подспорьем для интуиции. ^[7] Например, стандартная десятилетняя купонная облигация будет иметь дюрацию Маколея немного, но не значительно меньше 10 лет, и из этого мы можем сделать вывод, что модифицированная дюрация (чувствительность к цене) также будет немного, но не значительно меньше 10%. Аналогично, двухлетняя купонная облигация будет иметь дюрацию Маколея немного меньше 2 лет и модифицированную дюрацию немного меньше 2%. ^[7]

Продолжительность Маколея

Дюрация Маколея , названная в честь Фредерика Маколея , который ввел эту концепцию, представляет собой средневзвешенный срок погашения денежных потоков , в котором время получения каждого платежа взвешивается по текущей стоимости этого платежа. Знаменатель — это сумма весов, которая в точности равна цене облигации. ^[8] Рассмотрим некоторый набор фиксированных денежных потоков. Текущая стоимость этих денежных потоков равна:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}}$

Длительность Маколея определяется как: ^{[1] [2] [3] [9]}

(1)      ${\displaystyle {\text{Macaulay duration}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}}$

где:

• ${\displaystyle i}$индексирует денежные потоки,
• ${\displaystyle PV_{i}}$это текущая стоимость го денежного платежа от актива , ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$время в годах до получения го платежа, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$текущая стоимость всех будущих денежных выплат по активу.

Во втором выражении дробный член — это отношение денежного потока к общей приведенной стоимости. Эти члены в сумме дают 1,0 и служат весами для средневзвешенного значения. Таким образом, общее выражение — это средневзвешенное значение времени до выплат денежного потока, причем вес — это доля текущей стоимости актива, обусловленная денежным потоком . ${\displaystyle PV_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {PV_{i}}{V}}}$ ${\displaystyle i}$

Для набора полностью положительных фиксированных денежных потоков средневзвешенное значение будет находиться между 0 (минимальное время) или, точнее, (время до первого платежа) и временем окончательного денежного потока. Дюрация Маколея будет равна окончательному сроку погашения, если и только если есть только один платеж при погашении. В символах, если денежные потоки, в порядке, , то: ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle (t_{1},...,t_{n})}$

${\displaystyle t_{1}\leq {\text{Macaulay duration}}\leq t_{n},}$

с неравенствами, которые являются строгими, если только у него нет единого денежного потока. В терминах стандартных облигаций (для которых денежные потоки фиксированы и положительны), это означает, что дюрация Маколея будет равна сроку погашения облигации только для облигации с нулевым купоном.

Длительность Маколея имеет схематическую интерпретацию, показанную на рисунке 1.

Рис. 1: Длительность Маколея

Это представляет собой облигацию, обсуждаемую в примере ниже — двухлетний срок погашения с купоном 20% и непрерывной сложной доходностью 3,9605%. Круги представляют текущую стоимость платежей, причем купонные платежи становятся меньше по мере их отдаления в будущем, а последний крупный платеж включает как купонный платеж, так и окончательное погашение основного долга. Если бы эти круги были помещены на коромысло, точка опоры (сбалансированный центр) коромысла представляла бы средневзвешенное расстояние (время до платежа), которое в данном случае составляет 1,78 года.

Для большинства практических расчетов дюрация Маколея рассчитывается с использованием доходности к погашению для расчета : ${\displaystyle PV(i)}$

(2)      ${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}$

(3)      ${\displaystyle {\text{Macaulay duration}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}}$

где:

• ${\displaystyle i}$индексирует денежные потоки,
• ${\displaystyle PV_{i}}$это текущая стоимость й денежной выплаты от актива, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle CF_{i}}$это денежный поток го платежа от актива, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y}$это доходность к погашению (непрерывно начисляемая) для актива,
• ${\displaystyle t_{i}}$время в годах до получения го платежа, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$текущая стоимость всех денежных выплат по активу до наступления срока погашения.

Маколей дал две альтернативные меры:

• Выражение (1) представляет собой дюрацию Фишера-Вейля , которая использует цены облигаций с нулевым купоном в качестве коэффициентов дисконтирования, и
• Выражение (3), которое использует доходность облигации к погашению для расчета коэффициентов дисконтирования.

Ключевое различие между двумя дюрациями заключается в том, что дюрация Фишера-Вейля допускает возможность наклонной кривой доходности, тогда как вторая форма основана на постоянном значении доходности , не меняющемся в зависимости от срока платежа. ^[10] При использовании компьютеров обе формы могут быть рассчитаны, но выражение (3), предполагающее постоянную доходность, используется более широко из-за применения к измененной дюрации. ^[11] ${\displaystyle y}$

Продолжительность против средневзвешенного срока службы

Сходства в значениях и определениях дюрации Маколея и средневзвешенной жизни могут привести к путанице в цели и расчете этих двух показателей. ^[12] Например, 5-летняя облигация с фиксированной процентной ставкой будет иметь средневзвешенную жизнь 5, а дюрация Маколея должна быть очень близкой. Ипотечные кредиты ведут себя аналогично. Различия между ними следующие:

1. Дюрация Маколея измеряет только фиксированные денежные потоки, средневзвешенный срок жизни учитывает все основные денежные потоки, будь то фиксированные или плавающие. Таким образом, для ипотечных кредитов с фиксированным периодом Hybrid ARM, для целей моделирования, весь фиксированный период заканчивается в дату последнего фиксированного платежа или в месяце перед сбросом. ^[13]
2. Дюрация Маколея дисконтирует все денежные потоки по соответствующей стоимости капитала. Средневзвешенный срок службы не дисконтирует. ^[14]
3. Дюрация Маколея использует как основную сумму, так и проценты при взвешивании денежных потоков. Средневзвешенная продолжительность жизни использует только основную сумму. ^[13]

Измененная продолжительность

В отличие от дюрации Маколея, модифицированная дюрация (иногда сокращенно MD) является мерой ценовой чувствительности, определяемой как процентная производная цены по отношению к доходности (логарифмическая производная цены облигации по отношению к доходности). ^[15] Модифицированная дюрация применяется, когда облигация или другой актив рассматривается как функция доходности. В этом случае можно измерить логарифмическую производную по отношению к доходности: ^[16]

${\displaystyle ModD(y)\equiv -{\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}=-{\frac {\partial \ln(V)}{\partial y}}}$

Когда доходность выражается непрерывно сложным процентом, дюрация Маколея и модифицированная дюрация численно равны. ^[17] Чтобы увидеть это, если мы возьмем производную цены или текущей стоимости, выражение (2), относительно непрерывно сложного процентного дохода, мы увидим, что: ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y}}=-\sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}=-MacD\cdot V,}$

Другими словами, для доходности, выраженной непрерывно,

${\displaystyle ModD=MacD}$. ^[1]

где:

• ${\displaystyle i}$индексирует денежные потоки,
• ${\displaystyle t_{i}}$время в годах до получения го платежа, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$текущая стоимость всех денежных выплат по активу.

Периодически усложняется

На финансовых рынках доходность обычно выражается периодически (например, ежегодно или раз в полгода), а не непрерывно. ^[18] Тогда выражение (2) становится:

${\displaystyle V(y_{k})=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

${\displaystyle MacD=\sum _{i=1}^{n}{\frac {t_{i}}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

Чтобы найти модифицированную дюрацию, когда мы берем производную от значения по отношению к периодически начисляемой доходности, мы находим ^[19] ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}=-{\frac {1}{(1+y_{k}/k)}}\cdot \sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}=-{\frac {MacD\cdot V(y_{k})}{(1+y_{k}/k)}}}$

Перестановка (разделение обеих частей на -V ) дает:

${\displaystyle {\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}=-{\frac {1}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}\equiv ModD}$

что представляет собой хорошо известную взаимосвязь между модифицированной длительностью и длительностью Маколея:

${\displaystyle ModD={\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}}$

где:

• ${\displaystyle i}$индексирует денежные потоки,
• ${\displaystyle k}$- частота начисления процентов в год (1 для годовых, 2 для полугодовых, 12 для ежемесячных, 52 для еженедельных и т. д.),
• ${\displaystyle CF_{i}}$это денежный поток го платежа от актива, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$- это время в годах до получения го платежа (например, двухлетний полугодовой платеж будет представлен индексом 0,5, 1,0, 1,5 и 2,0), ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t_{i}}$
• ${\displaystyle y_{k}}$это доходность к погашению актива, периодически начисляемая
• ${\displaystyle V}$текущая стоимость всех денежных выплат по активу.

Это дает хорошо известную связь между дюрацией Маколея и модифицированной дюрацией, указанную выше. Следует помнить, что, хотя дюрация Маколея и модифицированная дюрация тесно связаны, они концептуально различны. Дюрация Маколея — это средневзвешенное время до погашения (измеряемое в единицах времени, таких как годы), в то время как модифицированная дюрация — это мера ценовой чувствительности, когда цена рассматривается как функция доходности, процентное изменение цены по отношению к доходности.

Единицы

Продолжительность Маколея измеряется годами.

Модифицированная дюрация измеряется как процентное изменение цены на единицу (процентный пункт ) изменения доходности за год (например, доходность увеличивается с 8% в год (y = 0,08) до 9% в год (y = 0,09)). Это даст модифицированной дюрации числовое значение, близкое к дюрации Маколея (и равное ей, когда ставки непрерывно начисляются).

Формально, модифицированная длительность является полуэластичностью , процентным изменением цены на единицу изменения доходности, а не эластичностью , которая является процентным изменением выпуска на процентное изменение затрат. Модифицированная длительность является скоростью изменения, процентным изменением цены на изменение доходности.

Нефиксированные денежные потоки

Модифицированная дюрация может быть распространена на инструменты с нефиксированными денежными потоками, тогда как дюрация Маколея применяется только к инструментам с фиксированным денежным потоком. Модифицированная дюрация определяется как логарифмическая производная цены по доходности, и такое определение будет применяться к инструментам, зависящим от доходности, независимо от того, фиксированы ли денежные потоки.

Конечные изменения доходности

Модифицированная дюрация определена выше как производная (поскольку этот термин относится к исчислению) и, таким образом, основана на бесконечно малых изменениях. Модифицированная дюрация также полезна как мера чувствительности рыночной цены облигации к конечным изменениям процентной ставки (т. е. доходности). Для небольшого изменения доходности, , ${\displaystyle \Delta y}$

${\displaystyle ModD\approx -{\frac {1}{V}}{\frac {\Delta V}{\Delta y}}\Rightarrow \Delta V\approx -V\cdot ModD\cdot \Delta y}$

Таким образом, модифицированная дюрация приблизительно равна процентному изменению цены для данного конечного изменения доходности. Таким образом, 15-летняя облигация с дюрацией Маколея 7 лет будет иметь модифицированную дюрацию примерно 7 лет и упадет примерно на 7% в стоимости, если процентная ставка увеличится на один процентный пункт (скажем, с 7% до 8%). ^[20]

Продолжительность Фишера-Вейля

Дюрация Фишера-Вейля является уточнением дюрации Маколея, которая учитывает временную структуру процентных ставок. Дюрация Фишера-Вейля вычисляет текущую стоимость соответствующих денежных потоков (более строго) с использованием нулевой купонной доходности для каждого соответствующего срока погашения. ^[21]

Продолжительность ключевой ставки

Дюрации ключевой ставки (также называемые частичными DV01 или частичными дюрациями) являются естественным расширением общей модифицированной дюрации для измерения чувствительности к сдвигам различных частей кривой доходности. Дюрации ключевой ставки могут быть определены, например, относительно ставок с нулевым купоном со сроком погашения «1M», «3M», «6M», «1Y», «2Y», «3Y», «5Y», «7Y», «10Y», «15Y», «20Y», «25Y», «30Y». Томас Хо (1992) ^[22] ввел термин «дюрация ключевой ставки». Рейтано рассмотрел многофакторные модели кривой доходности еще в 1991 году ^[23] и вернулся к этой теме в недавнем обзоре. ^[24]

Длительности ключевой ставки требуют, чтобы мы оценивали инструмент по кривой доходности и требуют построения кривой доходности. Первоначальная методология Хо была основана на оценке инструментов по нулевой или спотовой кривой доходности и использовала линейную интерполяцию между «ключевыми ставками», но идея применима к кривым доходности, основанным на форвардных ставках, номинальных ставках и т. д. Многие технические проблемы возникают для длительностей ключевой ставки (частичные DV01), которые не возникают для стандартной общей модифицированной длительности из-за зависимости длительностей ключевой ставки от конкретного типа кривой доходности, используемой для оценки инструментов (см. Coleman, 2011 ^[3] ).

Формулы Бонда

Для стандартной облигации с фиксированными полугодовыми выплатами формула дюрации облигации в закрытом виде выглядит следующим образом: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle {\text{Dur}}={\frac {1}{P}}\left(C{\frac {(1+ai)(1+i)^{m}-(1+i)-(m-1+a)i}{i^{2}(1+i)^{(m-1+a)}}}+{\frac {FV(m-1+a)}{(1+i)^{(m-1+a)}}}\right)}$

• FV = номинальная стоимость
• C = купонный платеж за период (полугодие)
• i = ставка дисконтирования за период (полугодие)
• a = доля периода, оставшегося до следующей выплаты купона
• m = количество полных купонных периодов до погашения
• P = цена облигации (текущая стоимость денежных потоков, дисконтированных по ставке i )

Для облигации с купонным периодом , но целым числом периодов (чтобы не было дробного периода выплаты), формула упрощается до: ^[25] ${\displaystyle k}$

${\displaystyle MacD=\left[{\frac {(1+y/k)}{y/k}}-{\frac {100(1+y/k)+m(c/k-100y/k)}{(c/k)[(1+y/k)^{m}-1]+100y/k}}\right]/k}$

где

• y = Доходность (в год, в процентах),
• c = Купон (в год, в десятичной форме),
• m = Количество купонных периодов.

Пример 1

Рассмотрим 2-летнюю облигацию с номинальной стоимостью $100, 20% полугодовым купоном и доходностью 4% полугодовой сложной. Общая текущая стоимость будет:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y/k)^{k\cdot t_{i}}}}=\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1+.04/2)^{i}}}+{\frac {100}{(1+.04/2)^{4}}}}$

${\displaystyle =9.804+9.612+9.423+9.238+92.385=130.462}$

Тогда длительность Маколея составит

${\displaystyle {\text{MacD}}=0.5\cdot {\frac {9.804}{130.462}}+1.0\cdot {\frac {9.612}{130.462}}+1.5\cdot {\frac {9.423}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {9.238}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {92.385}{130.462}}=1.777\,{\text{years}}}$.

Простая формула выше дает (y/k = .04/2 = .02, c/k = 20/2 = 10):

${\displaystyle {\text{MacD}}=\left[{\frac {(1.02)}{0.02}}-{\frac {100(1.02)+4(10-2)}{10[(1.02)^{4}-1]+2}}\right]/2=1.777\,{\text{years}}}$

Модифицированная дюрация, измеряемая как процентное изменение цены на один процентный пункт изменения доходности, составляет:

${\displaystyle {\text{ModD}}={\frac {\text{MacD}}{(1+y/k)}}={\frac {1.777}{(1+.04/2)}}=1.742}$(% изменения цены на 1 процентный пункт изменения доходности)

DV01, измеряемый как изменение цены облигации номиналом 100 долларов США в долларах США при изменении доходности на один процентный пункт, составляет

${\displaystyle {\text{DV01}}={\frac {{\text{ModD}}\cdot 130.462}{100}}=2.27}$($ за изменение доходности на 1 процентный пункт)

где деление на 100 происходит потому, что измененная длительность представляет собой процентное изменение.

Пример 2

Рассмотрим облигацию с номинальной стоимостью 1000 долларов, купонной ставкой 5% и годовой доходностью 6,5% со сроком погашения 5 лет. ^[26] Шаги для вычисления дюрации следующие:

1. Оцените стоимость облигации Купоны составят $50 в годы 1, 2, 3 и 4. Затем, в год 5, облигация выплатит купон и основную сумму, в общей сложности $1050. Дисконтируя к текущей стоимости по ставке 6,5%, стоимость облигации составит $937,66. Подробности следующие:

Год 1: 50 долл. / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95

Год 2: 50 долл. / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08

Год 3: 50 долл. / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39

Год 4: 50 долл. / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87

Год 5: 1050 долл. / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37

2. Умножьте время получения каждого денежного потока на его текущую стоимость.

Год 1: 1 * 46,95 долл. = 46,95

Год 2: 2 * 44,08 долл. = 88,17

Год 3: 3 * 41,39 долл. = 124,18

Год 4: 4 * 38,87 долл. = 155,46

Год 5: 5 * 766,37 = 3831,87

ИТОГО: 4246.63

3. Сравните итоговую сумму из шага 2 со стоимостью облигации (шаг 1)

Продолжительность Маколея: 4246,63 / 937,66 = 4,53

Продолжительность денег

Theденежная продолжительность , илибазисный пункт или BloombergРиск ^{[ требуется ссылка ]}, также называемыйдоллар продолжительность илиDV01 в США определяется как отрицательная производная значения по доходности:

${\displaystyle D_{\$}=DV01=-{\frac {\partial V}{\partial y}}.}$^{[ необходима ссылка ]}

так что это произведение измененной продолжительности и цены (стоимости):

${\displaystyle D_{\$}=DV01=BPV=V\cdot ModD/100}$($ за изменение доходности на 1 процентный пункт)

или

${\displaystyle D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000}$($ за изменение доходности на 1 базисный пункт)

DV01 аналогичен дельте в ценообразовании деривативов (один из «греков» ) — это отношение изменения цены на выпуск (доллары) к изменению единицы на входе (базисный пункт доходности). Долларовая дюрация или DV01 — это изменение цены в долларах, а не в процентах. Она показывает изменение стоимости облигации в долларах на единицу изменения доходности. Она часто измеряется на 1 базисный пункт — DV01 является сокращением от «долларовая стоимость 01» (или 1 базисный пункт). Также используется название BPV ( базисная стоимость ) или Bloomberg «Риск», часто применяемое к изменению доллара на условную сумму в 100 долларов при изменении доходности на 100 базисных пунктов — давая те же единицы, что и дюрация. Иногда используется PV01 (текущая стоимость 01), хотя PV01 более точно относится к стоимости аннуитета в один доллар или один базисный пункт. (Для номинальной облигации и плоской кривой доходности DV01, производная цены по доходности, и PV01, стоимость однодолларовой ренты, фактически будут иметь одинаковое значение. ^{[ необходима ссылка ]} ) DV01 или долларовая дюрация может использоваться для инструментов с нулевой первоначальной стоимостью, таких как процентные свопы , где процентные изменения и измененная дюрация менее полезны.

Применение к оценке рисковой стоимости (VaR)

Долларовая дюрация обычно используется для расчета стоимости под риском (VaR). Чтобы проиллюстрировать применение к управлению рисками портфеля, рассмотрим портфель ценных бумаг, зависящих от процентных ставок как факторов риска, и пусть ${\displaystyle D_{\$}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

${\displaystyle V=V(r_{1},\ldots ,r_{n})\,}$

обозначим стоимость такого портфеля. Тогда вектор экспозиции имеет компоненты ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})}$

${\displaystyle \omega _{i}=-D_{\$,i}:={\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}.}$

Соответственно, изменение стоимости портфеля можно приблизительно оценить как

${\displaystyle \Delta V=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\,\Delta r_{i}+\sum _{1\leq i,j\leq n}O(\Delta r_{i}\,\Delta r_{j}),}$

то есть компонент, который является линейным в изменениях процентной ставки, плюс ошибка, которая является по крайней мере квадратичной. Эту формулу можно использовать для расчета VaR портфеля, игнорируя члены более высокого порядка. Обычно кубические или более высокие члены усекаются. Квадратичные члены, если они включены, могут быть выражены в терминах (многомерной) выпуклости облигаций. Можно сделать предположения о совместном распределении процентных ставок, а затем рассчитать VaR с помощью моделирования Монте-Карло или, в некоторых особых случаях (например, гауссовское распределение, предполагающее линейное приближение), даже аналитически. Формулу также можно использовать для расчета DV01 портфеля (см. ниже), и ее можно обобщить, включив факторы риска помимо процентных ставок.

Риск – длительность как чувствительность к процентной ставке

Основное применение дюрации (модифицированной дюрации) — измерение чувствительности или подверженности процентной ставке. Думать о риске с точки зрения процентных ставок или доходности очень полезно, поскольку это помогает нормализовать в ином случае разрозненные инструменты. Рассмотрим, например, следующие четыре инструмента, каждый из которых имеет 10-летний срок окончательного погашения:

Все четыре имеют срок погашения 10 лет, но чувствительность к процентным ставкам, а значит и риск, будут разными: облигация с нулевым купоном имеет самую высокую чувствительность, а аннуитетная — самую низкую. ^{[ необходима ссылка ]}

Рассмотрим сначала инвестиции в размере 100 долларов в каждую, что имеет смысл для трех облигаций (купонная облигация, аннуитет, облигация с нулевым купоном — это не имеет смысла для процентного свопа, для которого нет первоначальных инвестиций). Модифицированная дюрация — полезная мера для сравнения чувствительности процентной ставки по всем трем облигациям. Облигация с нулевым купоном будет иметь самую высокую чувствительность, изменяясь со скоростью 9,76% на каждые 100 базисных пунктов изменения доходности. Это означает, что если доходность вырастет с 5% до 5,01% (рост на 1 базисный пункт), цена должна упасть примерно на 0,0976% или изменение цены с 61,0271 доллара за условные 100 долларов до примерно 60,968 долларов. Первоначальные инвестированные 100 долларов упадут примерно до 99,90 долларов. Аннуитет имеет самую низкую чувствительность, примерно вдвое меньше, чем облигация с нулевым купоном, с модифицированной дюрацией 4,72%.

В качестве альтернативы мы могли бы рассмотреть условную стоимость $100 каждого из инструментов. В этом случае BPV или DV01 (долларовая стоимость 01 или долларовой дюрации) является более естественной мерой. BPV в таблице — это изменение цены в долларах для условной стоимости $100 при изменении доходности на 100 базисных пунктов. BPV будет иметь смысл для процентного свопа (для которого модифицированная дюрация не определена), а также для трех облигаций.

Модифицированная дюрация измеряет размер чувствительности процентной ставки. Иногда мы можем ошибочно думать, что она измеряет, к какой части кривой доходности инструмент чувствителен. В конце концов, модифицированная дюрация (% изменения цены) почти равна дюрации Маколея (своего рода средневзвешенное количество лет до погашения). Например, аннуитет выше имеет дюрацию Маколея 4,8 года, и мы можем подумать, что он чувствителен к 5-летней доходности. Но у него есть денежные потоки до 10 лет, и, таким образом, он будет чувствителен к 10-летней доходности. Если мы хотим измерить чувствительность к частям кривой доходности, нам нужно рассмотреть дюрации ключевой ставки.

Для облигаций с фиксированным денежным потоком изменение цены может быть вызвано двумя источниками:

1. Течение времени (сходимость к номиналу). Это, конечно, полностью предсказуемо, и, следовательно, не является риском.
2. Изменение доходности. Это может быть связано с изменением базовой доходности и/или изменением спреда доходности.

Соотношение доходности и цены является обратным, и модифицированная длительность обеспечивает очень полезную меру чувствительности цены к доходности. Как первая производная она обеспечивает линейное приближение. Для больших изменений доходности можно добавить выпуклость , чтобы обеспечить квадратичное или второе приближение. В качестве альтернативы, и часто более полезно, выпуклость можно использовать для измерения того, как изменяется модифицированная длительность при изменении доходности. Аналогичные меры риска (первого и второго порядка), используемые на рынках опционов, — это дельта и гамма .

Модифицированная дюрация и DV01 как меры чувствительности к процентным ставкам также полезны, поскольку их можно применять к инструментам и ценным бумагам с переменными или условными денежными потоками, например, к опционам.

Встроенные опции и эффективная продолжительность

Для облигаций, имеющих встроенные опционы , таких как облигации с правом досрочного погашения и облигации с правом отзыва, измененная дюрация не будет правильно аппроксимировать движение цены для изменения доходности к погашению . ^[27]

Рассмотрим облигацию со встроенным опционом пут. В качестве примера возьмем облигацию номиналом 1000 долларов, которая может быть выкуплена держателем по номиналу в любое время до погашения облигации (т. е. американский опцион пут). Независимо от того, насколько высокими станут процентные ставки, цена облигации никогда не опустится ниже 1000 долларов (игнорируя риск контрагента ). Чувствительность цены этой облигации к изменению процентной ставки отличается от чувствительности цены облигации без права пут с в остальном идентичными денежными потоками.

Для оценки таких облигаций необходимо использовать ценообразование опционов для определения стоимости облигации, а затем можно вычислить ее дельту (и, следовательно, ее лямбду), которая является дюрацией. Эффективная дюрация является дискретным приближением к последней и потребует модели ценообразования опционов .

${\displaystyle {\text{Effective duration}}={\frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_{0})\Delta y}}}$

где Δ  y — величина изменения доходности, а и — значения, которые примет облигация, если доходность упадет на y или вырастет на y соответственно. ( «Параллельный сдвиг» ; обратите внимание, что это значение может меняться в зависимости от значения, используемого для Δ  y .) ${\displaystyle V_{-\Delta y}}$ ${\displaystyle V_{+\Delta y}}$

Эти значения обычно рассчитываются с использованием древовидной модели, построенной для всей кривой доходности (в отличие от одной доходности к погашению) и, следовательно, отражающей поведение исполнения в каждой точке срока действия опциона как функцию как времени, так и процентных ставок; см. Решетчатая модель (финансы) § Производные процентных ставок .

Продолжительность спреда

Дюрация спреда — это чувствительность рыночной цены облигации к изменению спреда с поправкой на опцион (OAS). Таким образом, индекс или базовая кривая доходности остаются неизменными. Активы с плавающей ставкой, которые привязаны к индексу (например, 1-месячный или 3-месячный LIBOR) и периодически переустанавливаются, будут иметь эффективную дюрацию, близкую к нулю, но дюрацию спреда, сопоставимую с в остальном идентичной облигацией с фиксированной ставкой. ^{[ необходима цитата ]}

Средняя продолжительность

Чувствительность портфеля облигаций , например, паевого инвестиционного фонда облигаций , к изменениям процентных ставок также может быть важна. Средняя дюрация облигаций в портфеле часто сообщается. Дюрация портфеля равна средневзвешенному сроку погашения всех денежных потоков в портфеле. Если каждая облигация имеет одинаковую доходность к погашению, это равно средневзвешенному сроку погашения облигаций портфеля, с весами, пропорциональными ценам облигаций. ^[1] В противном случае средневзвешенное значение сроков погашения облигаций является всего лишь хорошим приближением, но его все равно можно использовать для вывода о том, как изменится стоимость портфеля в ответ на изменения процентных ставок. ^[28]

Выпуклость

Дюрация — это линейная мера того, как цена облигации изменяется в ответ на изменение процентной ставки. При изменении процентных ставок цена не изменяется линейно, а скорее является выпуклой функцией процентных ставок. Выпуклость — это мера кривизны того, как цена облигации изменяется при изменении процентной ставки. В частности, дюрация может быть сформулирована как первая производная функции цены облигации по отношению к рассматриваемой процентной ставке, а выпуклость — как вторая производная. ^{[ необходима цитата ]}

Выпуклость также дает представление о распределении будущих денежных потоков. (Точно так же, как длительность дает дисконтированный средний срок, выпуклость можно использовать для расчета дисконтированного стандартного отклонения, скажем, доходности.)

Обратите внимание, что выпуклость может быть положительной или отрицательной. Облигация с положительной выпуклостью не будет иметь никаких функций отзыва — т. е. эмитент должен погасить облигацию в срок — это означает, что по мере падения ставок ее дюрация и цена будут расти.

С другой стороны, облигация с функциями колл-опциона — то есть, когда эмитент может досрочно погасить облигацию — считается имеющей отрицательную выпуклость , поскольку ставки приближаются к страйку опциона, то есть ее дюрация будет сокращаться по мере падения ставок, и, следовательно, ее цена будет расти не так быстро. Это связано с тем, что эмитент может погасить старую облигацию по высокому купону и перевыпустить новую облигацию по более низкой ставке, тем самым предоставляя эмитенту ценную опциональность. Подобно вышесказанному, в этих случаях может быть более правильным рассчитать эффективную выпуклость .

Примерами отзывных облигаций являются ценные бумаги, обеспеченные ипотекой (транзитные предварительные выплаты основного долга по ипотеке) с использованием в качестве обеспечения 15- или 30-летних ипотечных кредитов с фиксированной ставкой, как в США.

Коэффициент Шермана

«Коэффициент Шермана» — это предлагаемая доходность на единицу срока действия облигации, названная в честь главного инвестиционного директора DoubleLine Capital Джеффри Шермана. ^[29] Его называют «самым страшным показателем рынка облигаций», и 31 декабря 2020 года он достиг исторического минимума в 0,1968 для индекса корпоративных облигаций США Bloomberg Barclays. ^[30] Коэффициент — это просто предлагаемая доходность (в процентах), деленная на срок действия облигации (в годах). ^[31]

Смотрите также

• Выпуклость связи
• Оценка облигаций
• CS01
• Соглашение о подсчете дней
• Разрыв в продолжительности
• Атрибуция с фиксированным доходом § Первые принципы против пертурбационной атрибуции
• Иммунизация (финансы)
• Список тем по финансам
• Продолжительность запаса

Примечания

Ссылки

1. Халл, Джон К. (1993), Опционы, фьючерсы и другие производные ценные бумаги (второе издание), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 99–101
2. Brealey, Richard A.; Myers, Stewart C.; Allen, Franklin (2011), Principles of Corporate Finance (Десятое изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Irwin, стр. 50–53
3. Коулман, Томас (15 января 2011 г.). «Руководство по дюрации, DV01 и трансформации риска кривой доходности». SSRN  1733227.
4. "Дюрация Маколея, денежная дюрация и модифицированная дюрация". cfastudyguide.com . Получено 10 декабря 2021 г. .
5. При непрерывном начислении процентов дюрация Маколея и модифицированная дюрация будут численно равны. При периодическом начислении процентов дюрация Маколея и модифицированная дюрация будут немного отличаться, и между ними существует простая связь.
6. Хиллиард, Джимми Э. (1984). «Хеджирование риска процентной ставки с помощью фьючерсных портфелей в условиях влияния временной структуры». Журнал финансов . 39 (5). Wiley : 1547–1569. doi :10.1111/j.1540-6261.1984.tb04924.x. ISSN  0022-1082.
7. Grantier, Bruce J. (1988). «Выпуклость и эффективность облигаций: чем больше изгиб, тем лучше». Financial Analysts Journal . 44 (6). Taylor & Francis : 79–81. doi : 10.2469/faj.v44.n6.79. ISSN  0015-198X.
8. Фабоцци, Фрэнк Дж. (2015-10-23). ​​Рынки капитала: институты, инструменты и управление рисками. MIT Press. ISBN 978-0-262-33159-3.
9. Маррисон, Крис (2002), Основы измерения риска , Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill, стр. 57–58.
10. Ханг, Чулсун (1979). «Иммунизация облигаций, когда краткосрочные процентные ставки колеблются сильнее, чем долгосрочные». Журнал финансового и количественного анализа . 14 (5): 1085–1090. doi :10.2307/2330309. ISSN  0022-1090. JSTOR  2330309.
11. де Фаро, Кловис (1981-01-05). «Закрытые выражения для приближенной оценки процентных ставок: расширения для случая геометрической последовательности платежей». The Engineering Economist . 27 (1). Taylor & Francis : 80–89. doi : 10.1080/00137918108956025. ISSN  0013-791X.
12. Кокс, Джон К.; Ингерсолл, Джонатан Э.; Росс, Стивен А. (1979). «Длительность и измерение базисного риска». Журнал бизнеса . 52 (1). JSTOR : 51–61. doi : 10.1086/296033. ISSN  0021-9398. JSTOR  2352663.
13. Babcock, Guilford C. (1984-10-31). «Продолжительность как связь между доходностью и стоимостью*: резюме». Журнал управления портфелем . 11 (1): 97–98. doi :10.3905/jpm.1984.408981. ISSN  0095-4918.
14. Howard Finch, J.; Payne, Thomas H. (1996). «Выбор ставки дисконтирования и применение продолжительности для решений по бюджетированию капиталовложений». The Engineering Economist . 41 (4). Taylor & Francis : 369–375. doi : 10.1080/00137919608967502. ISSN  0013-791X.
15. Handforth, Frank (2004-01-01). «Продолжительность и выпуклость ипотечных кредитов в контексте анализа инвестиций в недвижимость». Журнал управления портфелем недвижимости . 10 (3): 187–202. doi :10.1080/10835547.2004.12089702. ISSN  1083-5547.
16. Штутцер, Майкл (1989). «Обзор рынков облигаций, анализ и стратегии». Журнал финансов . 44 (4): 1108–1110. doi :10.2307/2328630. ISSN  0022-1082. JSTOR  2328630.
17. Явиц, Джесс Б. (1977). «Относительная важность дюрации и волатильности доходности для волатильности цен облигаций: комментарий». Журнал «Деньги, кредит и банковское дело» . 9 (1): 97–102. doi :10.2307/1992003. ISSN  0022-2879. JSTOR  1992003 – через JSTOR .
18. Колин Доддс, Дж. (1982-01-01). «Временная структура процентных ставок: обзор теорий и эмпирических доказательств». Управленческие финансы . 8 (2). Emerald Group Publishing : 22–31. doi :10.1108/eb013503. ISSN  0307-4358.
19. Берк, Джонатан; ДеМарзо, Питер (2011), Корпоративные финансы (второе издание), Бостон, Массачусетс: Prentice Hall, стр. 966–969
20. «Длительность Маколея» Фионы Маклахлан, Проект демонстраций Вольфрама .
21. "Преодоление риска колебаний процентных ставок: доходы держателей облигаций от наивных и оптимальных стратегий". Лоуренс Фишер и Роман Л. Вейл; Журнал бизнеса, 1971, 44(4), стр. 408-31. JSTOR  2352056
22. Хо, Томас SY (сентябрь 1992 г.). «Продолжительность действия ключевой ставки: меры рисков процентной ставки». Журнал фиксированного дохода . 2 (2): 29–44. doi :10.3905/jfi.1992.408049. S2CID  154576274.
23. Рейтано, Роберт Р. (январь 1991 г.). «Многомерный анализ продолжительности» (PDF) . Сделки Общества актуариев . XLIII : 335–391.
24. Рейтано, Роберт Р. (2008). Фабоцци, Фрэнк Дж. (ред.). «Управление рисками кривой доходности». Справочник по финансам . 3. Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley and Sons: 215.
25. Боди; Кейн; Маркус (1993), Инвестиции (Второе издание), стр. 478
26. Рохас Арсу, Дж. и Рока, Флоренсия, Управление рисками и деривативы, объяснение , первое издание, Amazon Kindle Direct Publishing , 2018, стр. 41
27. См., например, «Эффективная продолжительность и выпуклость», Глава 14. в Frank J. Fabozzi , ред. (2008). «Справочник по финансам: оценка, финансовое моделирование и количественные инструменты». Wiley. ISBN 9780470078167 . 
28. "Блог Magnate Invest". magnateinvest.com . Получено 2022-07-08 .
29. Чаппатта, Брайан (9 января 2020 г.). «Это самый страшный показатель для рынка облигаций». Bloomberg Opinion . Архивировано из оригинала 20.02.2020 . Получено 23 апреля 2022 г.
30. Чаппатта, Брайан (14 января 2021 г.). «Самый страшный показатель рынка облигаций хуже, чем когда-либо». Мнение Bloomberg . Архивировано из оригинала 10 марта 2021 г. Получено 23 апреля 2022 г.
31. Шерман, Джеффри. «Коэффициент Шермана» (PDF) . DoubleLine Capital . Получено 15 февраля 2021 г.

Дальнейшее чтение

• Фабоцци, Фрэнк Дж. (1999), «Основы дюрации и выпуклости», Дюрация, выпуклость и другие меры риска облигаций , Серия Фрэнка Дж. Фабоцци, т. 58, John Wiley and Sons, ISBN 9781883249632
• Мейл, Ян (1994), Стандартные методы расчета ценных бумаг: Формулы для аналитических показателей по ценным бумагам с фиксированным доходом , т. 2 (1-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков , ISBN 1-882936-01-9. Стандартный справочник по соглашениям, применимым к ценным бумагам США.

• Рохас Арсу, Хорхе; Рока, Флоренсия (декабрь 2018 г.), Risk Management and Derivatives Explained, Amazon Kindle Direct Publishing , стр. 43–44, ISBN 9781791814342

Внешние ссылки

• Энциклопедия риска для хорошего объяснения многочисленных определений длительности и их происхождения.
• Пошаговое видеоруководство
• Объяснение длительности Investopedia