отношение Маккамбера

Соотношение Маккамбера (или теория Маккамбера) — это соотношение между эффективными сечениями поглощения и испускания света в физике твердотельных лазеров . ^{[1] [2]} Оно названо в честь Дина Маккамбера, который предложил это соотношение в 1964 году.

Определение

Пусть будет эффективное сечение поглощения, будут эффективные сечения испускания на частоте , и пусть будет эффективная температура среды. Соотношение Маккамбера имеет вид ${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}(\omega )}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle ~T~}$

(1) ${\displaystyle {\frac {\sigma _{\rm {e}}(\omega )}{\sigma _{\rm {a}}(\omega )}}\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)=\left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)}$

где - термическое стационарное отношение популяций; частота называется частотой "нулевой линии"; ^{[3] [4]} - постоянная Планка , а - постоянная Больцмана . Обратите внимание, что правая часть уравнения (1) не зависит от . ${\displaystyle \left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {z}}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle ~\omega ~}$

Прирост

Характерно, что свойства лазерной генерации среды определяются температурой и заселенностью возбужденного лазерного уровня и не чувствительны к способу возбуждения, используемому для его достижения. В этом случае сечение поглощения и сечение испускания на частоте могут быть связаны с усилением лазеров таким образом, что усиление на этой частоте может быть определено следующим образом: ${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}(\omega )}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}(\omega )}$ ${\displaystyle ~\omega ~}$

(2) ${\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~G(\omega )=N_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )-N_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )}$

DEMcCumber постулировал эти свойства и обнаружил, что сечения испускания и поглощения не являются независимыми; ^{[1] [2]} они связаны с уравнением (1).

Идеализированные атомы

В случае идеализированного двухуровневого атома детальный баланс для излучения и поглощения , который сохраняет формулу Планка для излучения черного тела, приводит к равенству сечения поглощения и излучения. В твердотельных лазерах расщепление каждого из лазерных уровней приводит к уширению, которое значительно превышает естественную ширину спектральной линии. В случае идеального двухуровневого атома произведение ширины линии на время жизни имеет порядок единицы, что подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга . В твердотельных лазерных материалах ширина линии на несколько порядков больше, поэтому спектры излучения и поглощения определяются распределением возбуждения по подуровням, а не формой спектральной линии каждого отдельного перехода между подуровнями. Это распределение определяется эффективной температурой в пределах каждого из лазерных уровней. Гипотеза Маккамбера заключается в том, что распределение возбуждения по подуровням является тепловым. Эффективная температура определяет спектры излучения и поглощения (Эффективную температуру ученые называют температурой , даже если возбужденная среда в целом довольно далека от теплового состояния).

Вывод соотношения Маккамбера

Рис.1. Эскиз подуровней

Рассмотрим набор активных центров (рис.1.). Предположим быстрый переход между подуровнями внутри каждого уровня и медленный переход между уровнями. Согласно гипотезе Маккамбера, сечения и не зависят от населенностей и . Поэтому мы можем вывести соотношение, предполагая тепловое состояние. ${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$

Пусть — групповая скорость света в среде, произведение — спектральная скорость вынужденного излучения , а — спектральная скорость поглощения; — спектральная скорость спонтанного излучения . (Обратите внимание, что в этом приближении нет такого понятия, как спонтанное поглощение). Баланс фотонов дает: ${\displaystyle ~v(\omega )~}$ ${\displaystyle ~n_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~}$ ${\displaystyle ~n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~}$ ${\displaystyle a(\omega )n_{2}}$

(3) ${\displaystyle ~~~n_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )+n_{2}a(\omega )=n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(balance)}}}$

Что можно переписать как

(4) ${\displaystyle ~~~D(\omega )={\frac {\frac {a(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )}}{{\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}-1}}~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(D1)}}}$

Тепловое распределение плотности фотонов следует из излучения черного тела ^[5]

(5) ${\displaystyle ~~~D(\omega )~=~{\frac {{\frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}}{\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}~~~~~{\rm {(D2)}}}$

Оба соотношения (4) и (5) справедливы для всех частот . Для случая идеализированных двухуровневых активных центров , и , что приводит к соотношению между спектральной скоростью спонтанного излучения и сечением излучения . ^[5] (Мы сохраняем термин вероятность излучения для величины , которая является вероятностью излучения фотона в пределах малого спектрального интервала в течение короткого интервала времени , предполагая, что в момент времени атом возбужден.) Соотношение (D2) является фундаментальным свойством спонтанного и стимулированного излучения и, возможно, единственным способом запретить спонтанное нарушение теплового равновесия в тепловом состоянии возбуждений и фотонов. ${\displaystyle ~\omega ~}$ ${\displaystyle ~\sigma _{\rm {a}}(\omega )=\sigma _{\rm {e}}(\omega )~}$ ${\displaystyle ~n_{1}/n_{2}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)}$ ${\displaystyle a(\omega )}$ ${\displaystyle ~\sigma _{\rm {e}}(\omega )~}$ ${\displaystyle ~a(\omega ){\rm {d}}\omega {\rm {d}}t~}$ ${\displaystyle ~(\omega ,\omega +{\rm {d}}\omega )~}$ ${\displaystyle ~(t,t+{\rm {d}}t)~}$ ${\displaystyle ~t~}$

Для каждого номера узла , для каждого номера подуровня , парциальная спектральная вероятность излучения может быть выражена из рассмотрения идеализированных двухуровневых атомов: ^[5] ${\displaystyle ~s~}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle ~a_{s,j}(\omega )~}$

(6) ${\displaystyle ~~~a_{s,j}(\omega )=\sigma _{s,j}(\omega ){\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~.~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {comparison1}}~~{\rm {partial}}}$

Пренебрегая кооперативными когерентными эффектами, эмиссия является аддитивной: для любой концентрации узлов и для любой частичной заселенности подуровней сохраняется та же пропорциональность между и для эффективных сечений: ${\displaystyle ~q_{s}~}$ ${\displaystyle ~n_{s,j}~}$ ${\displaystyle ~a~}$ ${\displaystyle ~\sigma _{\rm {e}}~}$

(7) ${\displaystyle {\frac {a(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}={\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~({\rm {comparison)(av)}}}$

Тогда сравнение (D1) и (D2) дает соотношение

(8) ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)~~.~~~~~~~~{\rm {(n1n2)(mc1)}}}$

Это соотношение эквивалентно соотношению МакКамбера (mc), если мы определим частоту нулевой линии как решение уравнения ${\displaystyle \omega _{Z}}$

(9) ${\displaystyle ~\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{\!T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {Z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)~~~~,~~~}$

нижний индекс указывает, что отношение популяций оценивается в термическом состоянии. Частота нулевой линии может быть выражена как ${\displaystyle ~T~}$

(10) ${\displaystyle \omega _{\rm {Z}}={\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar }}\ln \left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{T}~~~~~~~~~~~~~~~~.~~{({\rm {oz)}}}}$

Тогда (n1n2) становится эквивалентом соотношения МакКамбера (mc).

Для соблюдения соотношения МакКамбера не требуется никаких специфических свойств подуровней активной среды. Оно следует из предположения о быстрой передаче энергии между возбужденными лазерными уровнями и между нижними лазерными уровнями. Соотношение МакКамбера (mc) имеет ту же область применимости, что и само понятие сечения испускания.

Подтверждение отношения Маккамбера

Соотношение МакКамбера подтверждается для различных сред. ^{[6] [7]} В частности, соотношение (1) позволяет аппроксимировать две функции частоты, сечения излучения и поглощения с помощью единой подгонки. ^[8]

Нарушение соотношения Маккамбера и вечное движение

Рис.2. Поперечные сечения для Yb:Gd ₂ SiO ₅ в зависимости от ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi c}{\omega }}}$

В 2006 году сильное нарушение соотношения Маккамбера было обнаружено для Yb:Gd ₂ SiO ₅ и описано в 3 независимых журналах. ^{[9] [10] [11]} Типичное поведение представленных сечений показано на рис. 2 жирными кривыми. Сечение испускания практически равно нулю на длине волны 975 нм; это свойство делает Yb:Gd ₂ SiO ₅ превосходным материалом для эффективных твердотельных лазеров .

Однако, сообщаемое свойство (толстые кривые) не совместимо со вторым законом термодинамики . С таким материалом устройство вечного двигателя было бы возможно. Достаточно было бы заполнить коробку с отражающими стенками Yb:Gd2SiO5 _и позволить ему обмениваться излучением с черным телом через спектрально-селективное окно, которое прозрачно вблизи 975 нм и отражает на других длинах волн. Из-за отсутствия излучательной способности _на 975 нм среда должна нагреваться, нарушая тепловое равновесие.

На основе второго закона термодинамики экспериментальные результаты ^{[9] [10] [11]} были опровергнуты в 2007 году. С помощью теории Маккамбера была предложена поправка для эффективного сечения излучения (черная тонкая кривая). ^[3] Затем эта поправка была подтверждена экспериментально. ^[12]

Ссылки

1. DEMcCumber. Соотношения Эйнштейна, связывающие широкополосные спектры излучения и поглощения. PRB 136 (4A), 954–957 (1964)
2. PCBecker, NAOlson, JRSimpson. Усилители на волокне, легированном эрбием: основы и теория (Academic, 1999).
3. D. Kouznetsov (2007). "Комментарий к Efficient diged-pumped Yb:Gd2SiO5 laser (Appl.Phys.Lett.88,221117(2006))". Applied Physics Letters . 90 (6): 066101. Bibcode : 2007ApPhL..90f6101K. doi : 10.1063/1.2435309.
4. Д.Кузнецов (2007). "Материалы широкополосного лазера и соотношение МакКамбера". Chinese Optics Letters . 5 : S240–S242. Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 г.
5. e2
6. RSQuimby (2002). «Диапазон применимости теории МакКамбера в связи с сечениями поглощения и испускания». Журнал прикладной физики . 92 (1): 180–187. Bibcode : 2002JAP....92..180Q. doi : 10.1063/1.1485112.
7. RMMartin; RSQuimby (2006). «Экспериментальное доказательство справедливости теории МакКамбера, связывающей излучение и поглощение для редкоземельных стекол». Журнал Оптического общества Америки B. 23 ( 9): 1770–1775. Bibcode : 2006JOSAB..23.1770M. doi : 10.1364/JOSAB.23.001770.
8. Д.Кузнецов; Ж.-Ф.Биссон; К.Такаичи; К.Уэда (2005). «Одномодовый твердотельный лазер с коротким широким нестабильным резонатором». Журнал оптического общества Америки B. 22 ( 8): 1605–1619. Bibcode : 2005JOSAB..22.1605K. doi : 10.1364/JOSAB.22.001605.
9. W. Li; H. Pan; L. Ding; H. Zeng; et al. (2006). "Эффективный лазер Yb:Gd2SiO5 с диодной накачкой". Applied Physics Letters . 88 (22): 221117. Bibcode : 2006ApPhL..88v1117L. doi : 10.1063/1.2206150.
10. W.Li; H.Pan; L.Ding; H.Zeng; et al. (2006). "Диодная накачка непрерывного излучения и пассивная синхронизация мод Yb:Gd2SiO5-лазер". Optics Express . 14 (2): 686–695. Bibcode : 2006OExpr..14..686L. doi : 10.1364/OPEX.14.000686 . PMID  19503386.
11. C.Yan; G.Zhao; L.Zhang; J.Xu; et al. (2006). "Новый оксиортосиликатный лазерный кристалл, легированный Yb: Yb:Gd ₂ SiO ₅ ". Solid State Communications . 137 (8): 451–455. Bibcode : 2006SSCom.137..451Y. doi : 10.1016/j.ssc.2005.12.023.^{[ мертвая ссылка ]}
12. G.Zhao; L.Su; J.Xua; H.Zeng (2007). "Ответ на комментарий об эффективном лазере на Yb:Gd2SiO5 с диодной накачкой (Appl. Phys. Lett. 90, 066101 2007)". Applied Physics Letters . 90 (6): 066103. Bibcode :2007ApPhL..90f6103Z. doi : 10.1063/1.2435314 .