Прецессия Лензе–Тирринга

Прецессия гироскопа из-за вращения близлежащего небесного тела, влияющего на пространство-время

В общей теории относительности прецессия Лензе–Тирринга или эффект Лензе–Тирринга ( австр . нем.: [ˈlɛnsɛ ˈtɪrɪŋ] ; назван в честь Йозефа Лензе и Ганса Тирринга ) — релятивистская поправка к прецессии гироскопа вблизи большой вращающейся массы, такой как Земля. Это эффект гравитомагнитного увлечения системы отсчёта . Это предсказание общей теории относительности, состоящее из вековых прецессий долготы восходящего узла и аргумента перицентра пробной частицы, свободно вращающейся вокруг центральной вращающейся массы, наделённой угловым моментом . ${\displaystyle S}$

Разница между прецессией де Ситтера и эффектом Лензе–Тирринга заключается в том, что эффект де Ситтера обусловлен просто наличием центральной массы, тогда как эффект Лензе–Тирринга обусловлен вращением центральной массы. Общая прецессия вычисляется путем объединения прецессии де Ситтера с прецессией Лензе–Тирринга.

Согласно историческому анализу, проведенному Гербертом Пфистером в 2007 году ^[1] , этот эффект следует переименовать в эффект Эйнштейна – Тирринга – Лензе.

Метрика Лензе–Тирринга

Гравитационное поле вращающегося сферического тела постоянной плотности изучалось Лензе и Тиррингом в 1918 году в приближении слабого поля . Они получили метрику ^{[2] [3]} , где символы представляют: $${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-\left(1+{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)\,\mathrm {d} \sigma ^{2}+4G\epsilon _{ijk}S^{k}{\frac {x^{i}}{c^{3}r^{3}}}c\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x^{j},}$$

• ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$метрика ,​
• ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}}$элемент линии плоского пространства в трех измерениях,
• ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$«радиальное» положение наблюдателя,
• ${\displaystyle c}$скорость света ,
• ${\displaystyle G}$гравитационная постоянная ,
• ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты ,
• ${\textstyle M=\int T^{00}\,\mathrm {d} ^{3}x}$масса вращающегося тела,
• ${\textstyle S_{k}=\int \epsilon _{klm}x^{l}T^{m0}\,\mathrm {d} ^{3}x}$момент импульса вращающегося тела,
• ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$тензор энергии -импульса .

Вышеизложенное представляет собой приближение слабого поля полного решения уравнений Эйнштейна для вращающегося тела, известное как метрика Керра , которое из-за сложности решения не было получено до 1965 года.

Кориолисов член

Эффект увлечения рамки можно продемонстрировать несколькими способами. Один из способов — решить геодезические ; тогда они будут демонстрировать силу Кориолиса, подобную выражению, за исключением того, что в этом случае (в отличие от стандартной силы Кориолиса) сила не вымышленная, а возникает из-за увлечения рамки, вызванного вращающимся телом. Так, например, (мгновенно) радиально падающая геодезическая на экваторе будет удовлетворять уравнению ^[2] , где $${\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}+2{\frac {GJ}{c^{2}r^{3}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=0,}$$

• ${\displaystyle t}$это время,
• ${\displaystyle \varphi }$- азимутальный угол (продольный угол),
• ${\displaystyle J=\Vert S\Vert }$— величина момента импульса вращающегося массивного тела.

Вышеприведенное можно сравнить со стандартным уравнением для движения, подверженного силе Кориолиса : где - угловая скорость вращающейся системы координат. Обратите внимание, что в любом случае, если наблюдатель не находится в радиальном движении, т.е. если , на наблюдателя не оказывается никакого воздействия. $${\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}+2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=0,}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dr/dt=0}$

Прецессия

Эффект перетаскивания рамки заставит гироскоп прецессировать . Скорость прецессии определяется по формуле ^[3], где: $${\displaystyle \Omega ^{k}={\frac {G}{c^{2}r^{3}}}\left[S^{k}-3{\frac {(S\cdot x)x^{k}}{r^{2}}}\right],}$$

• ${\displaystyle \Omega }$— угловая скорость прецессии, вектор, и один из его компонентов, ${\displaystyle \Omega _{k}}$
• ${\displaystyle S_{k}}$момент импульса вращающегося тела, как и прежде,
• ${\displaystyle S\cdot x}$обычное плоско-метрическое внутреннее произведение положения и момента импульса.

То есть, если момент импульса гироскопа относительно неподвижных звезд равен , то он прецессирует как ${\displaystyle L^{i}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L^{i}}{\mathrm {d} t}}=\epsilon _{ijk}\Omega ^{j}L^{k}.}$$

Скорость прецессии определяется как , где — символ Кристоффеля для указанной выше метрики. Гравитация Мизнера, Торна и Уиллера ^[3] дает подсказки о том, как проще всего это вычислить. $${\displaystyle \epsilon _{ijk}\Omega ^{k}=\Gamma _{ij0},}$$ ${\displaystyle \Gamma _{ij0}}$

Гравитоэлектромагнитный анализ

В некоторых кругах популярно использовать гравитоэлектромагнитный подход к линеаризованным уравнениям поля . Причина этой популярности должна быть сразу очевидна ниже, если сравнить ее с трудностями работы с уравнениями выше. Линеаризованную метрику можно прочитать из метрики Лензе–Тирринга, приведенной выше, где , и . В этом подходе линеаризованную метрику, заданную в терминах гравитомагнитных потенциалов и , записывают и где — гравитоэлектрический потенциал, а — гравитомагнитный потенциал. Здесь — трехмерная пространственная координата наблюдателя, а — угловой момент вращающегося тела, точно так же, как определено выше. Соответствующие поля относятся к гравитоэлектрическому полю, а — гравитомагнитное поле. Затем нужно подставить и переставить, чтобы получить гравитомагнитное поле. Обратите внимание, что это половина частоты прецессии Лензе–Тирринга. В этом контексте прецессию Лензе–Тирринга можно по существу рассматривать как форму прецессии Лармора . Множитель 1/2 предполагает, что правильный гравитомагнитный аналог g -фактора равен 2. Этот множитель 2 можно объяснить полностью аналогично g - фактору электрона, принимая во внимание релятивистские расчеты. ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ $${\displaystyle h_{00}={\frac {-2\phi }{c^{2}}}}$$ $${\displaystyle h_{0i}={\frac {2A_{i}}{c^{2}}},}$$ $${\displaystyle \phi ={\frac {-GM}{r}}}$$ $${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {G}{2r^{3}c}}{\vec {S}}\times {\vec {r}}}$$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {S}}}$ $${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$$ $${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$$ $${\displaystyle {\vec {B}}=-{\frac {G}{2cr^{3}}}\left[{\vec {S}}-3{\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}}{r^{2}}}\right]}$$

Гравитомагнитный аналог силы Лоренца в нерелятивистском пределе определяется выражением, где — масса пробной частицы, движущейся со скоростью . Это можно использовать простым способом для вычисления классического движения тел в гравитомагнитном поле. Например, радиально падающее тело будет иметь скорость ; прямая подстановка дает член Кориолиса, приведенный в предыдущем разделе. $${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {E}}+m{\frac {\vec {v}}{c}}\times {\vec {B}},}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}=-{\hat {r}}\,dr/dt}$

Пример: маятник Фуко

Чтобы получить представление о величине эффекта, вышеизложенное можно использовать для вычисления скорости прецессии маятника Фуко , расположенного на поверхности Земли.

Для твердого шара однородной плотности, такого как Земля, радиусом момент инерции определяется выражением , так что абсолютное значение момента импульса равно угловой скорости вращающегося шара. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 2MR^{2}/5,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Vert S\Vert =2MR^{2}\omega /5,}$ ${\displaystyle \omega }$

Направление вращения Земли можно принять за ось z , тогда как ось маятника перпендикулярна поверхности Земли в радиальном направлении. Таким образом, можно принять , где - широта . Аналогично, местоположение наблюдателя находится на поверхности Земли . Это оставляет скорость прецессии как ${\displaystyle {\hat {z}}\cdot {\hat {r}}=\cos \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \Omega _{\text{LT}}={\frac {2}{5}}{\frac {GM\omega }{c^{2}R}}\cos \theta .}$$

В качестве примера для справки использована широта города Неймеген в Нидерландах. Эта широта дает значение прецессии Лензе-Тирринга $${\displaystyle \Omega _{\text{LT}}=2.2\cdot 10^{-4}{\text{ arcseconds}}/{\text{day}}.}$$

При такой скорости маятник Фуко должен был бы колебаться более 16000 лет, чтобы прецессировать на 1 градус. Несмотря на то, что он довольно мал, он все равно на два порядка больше прецессии Томаса для такого маятника.

Вышеуказанное не включает прецессию де Ситтера ; ее необходимо добавить, чтобы получить общие релятивистские прецессии на Земле.

Экспериментальная проверка

Эффект Лензе-Тирринга и эффект перетаскивания кадров в целом продолжают изучаться экспериментально. Существуют две основные настройки для экспериментальных тестов: прямое наблюдение через спутники и космические аппараты, вращающиеся вокруг Земли, Марса или Юпитера, и косвенное наблюдение путем измерения астрофизических явлений, таких как аккреционные диски, окружающие черные дыры и нейтронные звезды , или астрофизические струи от них.

Набор научных инструментов космического корабля Juno в первую очередь будет характеризовать и исследовать трехмерную структуру полярной магнитосферы Юпитера , полярные сияния и состав массы. ^[4] Поскольку Juno является миссией на полярной орбите, будет возможно измерить орбитальное увлечение системы отсчета , известное также как прецессия Лензе-Тирринга, вызванное угловым моментом Юпитера. ^[5]

Результаты астрофизических исследований представлены после следующего раздела.

Астрофизическая обстановка

Звезда, вращающаяся вокруг вращающейся сверхмассивной черной дыры, испытывает прецессию Лензе-Тирринга, в результате чего ее орбитальная линия узлов прецессирует со скоростью ^[6] , где $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} t}}={\frac {2GS}{c^{2}a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {2G^{2}M^{2}\chi }{c^{3}a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}}},}$$

• a и e — большая полуось и эксцентриситет орбиты,
• M — масса черной дыры,
• χ — безразмерный параметр спина (0 <  χ  < 1).

Прецессирующие звезды также оказывают крутящий момент на черную дыру, заставляя ее ось вращения прецессировать со скоростью ^[7] , где $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {S} }{\mathrm {d} t}}={\frac {2G}{c^{2}}}\sum _{j}{\frac {\mathbf {L} _{j}\times \mathbf {S} }{a_{j}^{3}\left(1-e_{j}^{2}\right)^{3/2}}},}$$

• L _j — момент импульса j -й звезды ,
• a _j и e _j — его большая полуось и эксцентриситет.

Газообразный аккреционный диск , наклоненный относительно вращающейся черной дыры, будет испытывать прецессию Лензе–Тирринга со скоростью, заданной приведенным выше уравнением, после установки e  = 0 и идентификации a с радиусом диска. Поскольку скорость прецессии меняется с расстоянием от черной дыры, диск будет «сворачиваться», пока вязкость не вытеснит газ в новую плоскость, выровненную с осью вращения черной дыры. ^[8]

Астрофизические тесты

Ориентация астрофизической струи может быть использована в качестве доказательства для определения ориентации аккреционного диска ; быстро меняющаяся ориентация струи предполагает переориентацию аккреционного диска, как описано выше. Точно такое изменение наблюдалось в 2019 году с рентгеновской двойной черной дырой в V404 Cygni . ^[9]

Пульсары испускают быстро повторяющиеся радиоимпульсы с чрезвычайно высокой регулярностью, которую можно измерить с точностью до микросекунды в течение временных интервалов в годы и даже десятилетия. Исследование 2020 года сообщает о наблюдении пульсара на тесной орбите с белым карликом с точностью до миллисекунды в течение двух десятилетий. Точное определение позволяет изучать изменение орбитальных параметров; они подтверждают работу эффекта Лензе-Тирринга в этой астрофизической обстановке. ^[10]

Эффект Лензе-Тирринга может быть обнаружен путем долгосрочного измерения орбиты звезды S2 вокруг сверхмассивной черной дыры в центре Млечного Пути с использованием инструмента GRAVITY Очень Большого Телескопа . ^[11] Звезда вращается с периодом 16 лет, и должно быть возможно ограничить угловой момент черной дыры, наблюдая за звездой в течение двух-трех периодов (от 32 до 48 лет). ^[12]

Смотрите также

• Гравитационный зонд B

Ссылки

1. Пфистер, Герберт (ноябрь 2007 г.). «Об истории так называемого эффекта Лензе–Тирринга». Общая теория относительности и гравитация . 39 (11): 1735–1748. Bibcode :2007GReGr..39.1735P. CiteSeerX  10.1.1.693.4061 . doi :10.1007/s10714-007-0521-4. S2CID  22593373.
2. Рональд Адлер; Морис Базен; Менахем Шиффер (1965). "Раздел 7.7". Введение в общую теорию относительности . McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-000423-4.
3. Чарльз В. Мизнер; Кип С. Торн; Джон Арчибальд Уилер (1973). "Глава 19". Гравитация . WH Freeman. ISBN 0-7167-0334-3.
4. "Juno Science Objectives". Университет Висконсин-Мэдисон . Архивировано из оригинала 16 октября 2008 г. Получено 13 октября 2008 г.
5. Иорио, Л. (август 2010 г.). «Юнона, угловой момент Юпитера и эффект Лензе–Тирринга». Новая астрономия . 15 (6): 554–560. arXiv : 0812.1485 . Bibcode : 2010NewA...15..554I. doi : 10.1016/j.newast.2010.01.004.
6. Мерритт, Дэвид (2013). Динамика и эволюция ядер галактик. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . стр. 169. ISBN 978-1-4008-4612-2.
7. Мерритт, Дэвид ; Васильев, Евгений (ноябрь 2012 г.). "Спиновая эволюция сверхмассивных черных дыр и ядер галактик". Physical Review D. 86 ( 10): 102002. arXiv : 1205.2739 . Bibcode : 2012PhRvD..86j2002M. doi : 10.1103/PhysRevD.86.022002. S2CID  118452256.
8. Бардин, Джеймс М.; Петтерсон, Якобус А. (январь 1975 г.). «Эффект Линзы–Тирринга и аккреционные диски вокруг черных дыр Керра». The Astrophysical Journal Letters . 195 : L65. Bibcode : 1975ApJ...195L..65B. doi : 10.1086/181711 .
9. Джеймс CA Миллер-Джонс; Александра Дж. Тетаренко; Грегори Р. Сивакофф; Мэтью Дж. Миддлтон; Диего Альтамирано; Джемма Э. Андерсон; Томазо М. Беллони; Роб П. Фендер; Питер Г. Йонкер; Элмар Г. Кёрдинг; Ханс А. Кримм; Дипанкар Майтра; Сера Маркофф; Симоне Мильяри; Кунал П. Мули; Майкл П. Рупен; Дэвид М. Рассел; Томас Д. Рассел; Крейг Л. Саразин; Роберто Сория; Валериу Тудосе (29 апреля 2019 г.). «Быстро меняющаяся ориентация струи в системе чёрной дыры звёздной массы V404 Cygni» (PDF) . Nature . 569 (7756): 374–377. arXiv : 1906.05400 . Bibcode : 2019Natur.569..374M. doi : 10.1038/s41586-019-1152-0. PMID  31036949. S2CID  139106116.
10. «Пространство-время закручивается вокруг мертвой звезды, снова доказывая правоту Эйнштейна». Space.com . 2020-01-30.
11. Эйзенхауэр, Франк и др. (март 2011 г.). «ГРАВИТАЦИЯ: наблюдение за Вселенной в движении». The Messenger . 143 : 16–24. Bibcode : 2011Msngr.143...16E.
12. Гроулд, Мэрион; Винсент, Фредерик А.; Помар, Тибо; Перрен, Гай (2016). «Обнаружение релятивистских эффектов на орбите S2 с помощью ГРАВИТАЦИИ». Труды Международного астрономического союза . 11 (S322). Cambridge University Press (CUP): 25–30. doi : 10.1017/s174392131601245x . ISSN  1743-9213.

Внешние ссылки

• (на немецком языке) объяснение эффекта Тирринга–Ленсе; имеются изображения для примера со спутником.